二階領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng)事件觸發(fā)一致性

羅毅平，蔡 聰，肖 星，林國(guó)漢

（湖南工程學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院，湘潭411104）

0 前言

多智能體系統(tǒng)一致性在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如電網(wǎng)［1］、無(wú)人機(jī)編隊(duì)［2-3］、生物系統(tǒng)［4］等領(lǐng)域.由于其通信成本低、效率高，受到了大量科研人員的關(guān)注，成為了控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).

大量科研人員投入到智能體的研究熱潮中，并通過(guò)不同的角度、不同的模型充分地研究一階多智能體系統(tǒng)，并獲得了許多成果［5-7］.然而在上述成果中，考慮的都是一階智能體系統(tǒng).但在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)都是二階甚至高階系統(tǒng)，僅僅考慮位移一致性是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，特別是同時(shí)受位置和速度控制的智能體，比如編隊(duì)控制中的無(wú)人機(jī)，必須同時(shí)保證智能體的位移和速度一致，才能精確地保證狀態(tài)一致.Ren等［8］也指出二階智能體系統(tǒng)與一階系統(tǒng)不同，生成樹(shù)的存在并不是二階智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致的充要條件.由此表明，將一階一致性算法簡(jiǎn)單地應(yīng)用在二階系統(tǒng)上是不合適的，換句話說(shuō)，從一階系統(tǒng)擴(kuò)展到二階系統(tǒng)，并不是在一階模型上的簡(jiǎn)單延伸，因此，研究二階系統(tǒng)是非常有挑戰(zhàn)性的，也是很有必要的.

近年來(lái)，已有許多學(xué)者對(duì)二階多智能系統(tǒng)的一致性控制進(jìn)行了研究［9-12］，研究?jī)?nèi)容主要圍繞一致性算法展開(kāi)，一般來(lái)說(shuō)，二階智能一致性算法分為無(wú)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性算法和只有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性算法.例如文獻(xiàn)［9-10］，就是通過(guò)無(wú)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性算法解決了二階系統(tǒng)達(dá)成一致性問(wèn)題.文獻(xiàn)［11-12］討論了在一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的情況下，跟隨者在控制協(xié)議作用下追蹤領(lǐng)導(dǎo)者，最后與領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)達(dá)成一致.需要注意的是在上述文獻(xiàn)中都是基于多智能體系統(tǒng)是線性的前提下進(jìn)行研究的.然而，在智能體系統(tǒng)模型中各個(gè)智能體內(nèi)部諸因素之間更多地呈現(xiàn)出一種非線性關(guān)系，如在無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制系統(tǒng)中，各個(gè)無(wú)人機(jī)內(nèi)部因素肯定是一個(gè)非線性因素.因此，研究帶有非線性因素的智能體系統(tǒng)是非常有實(shí)際意義的.為了解決非線性因素對(duì)一致性問(wèn)題帶來(lái)的影響，Li等［13］利用Lipschitz公式對(duì)非線性因素進(jìn)行線性化處理，最后得出多智能體系統(tǒng)達(dá)成二階一致的充分條件，在Li的基礎(chǔ)上，Wang等［14］研究了非均勻擾動(dòng)的二階非線性系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，提出線性化處理的前提，并不再要求非線性函數(shù)滿足任何全局Lipschitz條件，這也大大弱化了線性化處理的要求.這樣，線性化處理很快地被引入到多智能體系統(tǒng)控制中，并迅速地產(chǎn)生了大量研究成果.

然而，上述研究成果都沒(méi)有考慮系統(tǒng)中的時(shí)延.由于智能體之間需要相互通信，這樣智能體之間的信息傳輸就不可避免的產(chǎn)生時(shí)間延遲.時(shí)延的產(chǎn)生必將影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制性能.目前，已有許多論文研究了帶有時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)一致性控制問(wèn)題，如Li等［15］研究離散系統(tǒng)中的步長(zhǎng)和時(shí)滯參數(shù)一致性，給出了系統(tǒng)達(dá)成一致的參數(shù)集，并證明了該研究結(jié)果也適用于具有輸入時(shí)滯的系統(tǒng)中.需要指出的是，以上分析帶有時(shí)滯的多智能體一致性控制的文獻(xiàn)中，都只是關(guān)注一階系統(tǒng)的一致性.涉及時(shí)延二階系統(tǒng)中的一致性控制這方面的研究很少.Ma等［16］研究在不確定時(shí)滯下，二階智能體系統(tǒng)魯棒一致性，但僅限于非領(lǐng)導(dǎo)跟隨模型.目前，具有時(shí)滯的二階智能體系統(tǒng)仍有許多問(wèn)題需要更深入地研究.

在研究智能體通信時(shí)滯的同時(shí)，還需要考慮智能體之間信息傳輸?shù)耐ǖ佬诺廊萘浚捎谕ㄐ刨Y源是有限的，所以每個(gè)智能體與相鄰智能體之間的通信不可能一直持續(xù).為了節(jié)約通信成本，許多科學(xué)家提出采樣數(shù)據(jù)控制.傳統(tǒng)的采樣系統(tǒng)是通過(guò)預(yù)先設(shè)定采樣周期，同步觸發(fā)控制器更新［17-18］，由于其設(shè)計(jì)的便利性，得到了廣泛應(yīng)用.傳統(tǒng)的采樣控制設(shè)計(jì)重點(diǎn)在于采樣周期取值，若采樣的周期過(guò)短，則會(huì)造成通信資源大量浪費(fèi)，并且產(chǎn)生數(shù)據(jù)冗余，阻塞信道.相反，周期設(shè)定過(guò)長(zhǎng)，系統(tǒng)的控制性能將大大降低.因此時(shí)間觸發(fā)通信系統(tǒng)的采樣周期設(shè)定是保守的，資源利用率較低.

為了提高通信資源利用率，提出事件觸發(fā)通信方式來(lái)提高通信資源利用率，并減少通信負(fù)擔(dān)［19-20］.不同于時(shí)間觸發(fā)方案，事件觸發(fā)不需要預(yù)先設(shè)定觸發(fā)周期，而是設(shè)定一個(gè)系統(tǒng)可承受的誤差閾值，一旦智能體的局部誤差超過(guò)這一閾值，控制器才進(jìn)行更新.這樣大大減少了通信資源損耗，并有效地緩解通信通道的阻塞，同時(shí)又保證了控制性能.近年來(lái)科研人員對(duì)事件觸發(fā)機(jī)制進(jìn)行了充分的研究，并迅速產(chǎn)生大量的成果［21-24］.Liu等［21］基于無(wú)向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，提出事件觸發(fā)機(jī)制，研究了一階系統(tǒng)的平均一致性.Yang等［22］則研究了高階系統(tǒng)下基于觀測(cè)器的領(lǐng)導(dǎo)跟蹤輸出一致性問(wèn)題，并同時(shí)考慮事件觸發(fā)方案.在二階系統(tǒng)中，Xie等［23］分別通過(guò)集中式事件觸發(fā)策略和分散式事件觸發(fā)策略對(duì)二階領(lǐng)導(dǎo)跟隨系統(tǒng)的一致性問(wèn)題進(jìn)行了研究，然而，Xie等人并沒(méi)有考慮系統(tǒng)時(shí)滯和系統(tǒng)的非線性因素，而現(xiàn)實(shí)應(yīng)用系統(tǒng)中，往往這二者都同時(shí)存在，然而在現(xiàn)有的二階一致性文獻(xiàn)中，幾乎都沒(méi)有將二者同時(shí)考慮在內(nèi)，現(xiàn)有的方法可能無(wú)法同時(shí)處理系統(tǒng)中的時(shí)滯與非線性項(xiàng).

受上述啟發(fā)，本文研究一類同時(shí)具有輸入時(shí)滯和非線性動(dòng)力學(xué)因素的二階多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)一致性控制問(wèn)題，本文的貢獻(xiàn)有三個(gè)方面：首先，本文研究的是一類二階領(lǐng)導(dǎo)跟隨模型，在考慮了系統(tǒng)固有的非線性動(dòng)力學(xué)因素基礎(chǔ)上，同時(shí)考慮輸入時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響.其次，針對(duì)具有輸入時(shí)滯和非線性因素的二階領(lǐng)導(dǎo)跟隨模型，獲得了實(shí)現(xiàn)事件觸發(fā)策略下該系統(tǒng)一致性的充分條件，并排除了Zeno行為，有效地降低了通信成本.最后，在仿真結(jié)果中驗(yàn)證了領(lǐng)導(dǎo)者的加速度設(shè)定的大小對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響.

1 預(yù)備知識(shí)與系統(tǒng)描述

1.1 圖論知識(shí)

為了方便問(wèn)題描述，給出以下定義：Rn和Rn×m分別代表n維實(shí)數(shù)矩陣和n×m實(shí)數(shù)矩陣，I和0分別表示為合適維度的單位矩陣和零矩陣.1N表示所有元素為1的列向量，sup表示最小上確界.

1.2 系統(tǒng)問(wèn)題描述

跟隨者的動(dòng)力學(xué)行為：

其中t∈(-τ,+∞)，xi(t)，vi(t)∈RN，分別代表跟隨多智能體i的位置、速度狀態(tài)量.x0(t)、v0(t)分別代表領(lǐng)導(dǎo)者的位置、速度狀態(tài)量.p(t) ∈RN代表智能體i的驅(qū)動(dòng)函數(shù)以及ui(t)∈RN代表智能體i的控制輸入.f(vi(t),t)、f(v0(t),t)代表跟隨者智能體i的動(dòng)力學(xué)特性的連續(xù)可微非線性向量函數(shù)和領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)態(tài)輸入.

定義1二階領(lǐng)導(dǎo)跟隨系統(tǒng)如果滿足下列條件就說(shuō)明該系統(tǒng)（1）（2）達(dá)到一致性.

引理1對(duì)于任意具有合適維度的向量x,y以及合適維度的對(duì)稱正定矩陣Z，都具有下列不等式：±xTy≤xTZx+yTZ-1y

引理2具有合適維度的矩陣A、B、C、D，利用克羅內(nèi)克積公式，可以得到：

（1）(A+B)?C=A?C+B?C

（2）(A?B)T=AT?BT

（3）(A?B)(C?D)=(AC)?(BD)

引理3舒爾定理：下列對(duì)稱線性不等式：

等價(jià)于下列式子：

假設(shè)1非線性函數(shù)f(vi(t),t)是連續(xù)可微的向量函數(shù)，存在一個(gè)正的標(biāo)量ρ，使得滿足下列不等式：

2 主要結(jié)果

在本篇文章中，將通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制器以及提出集中式事件觸發(fā)機(jī)制來(lái)解決在無(wú)向連接拓?fù)鋱D下的二階領(lǐng)導(dǎo)跟隨系統(tǒng)（1）（2）的一致性問(wèn)題.

2.1 集中式事件觸發(fā)控制策略

在假設(shè)控制器輸入時(shí)滯為固定常時(shí)滯下，提出集中式事件觸發(fā)策略，智能體在滿足事件觸發(fā)條件時(shí)觸發(fā)通信采樣，一般來(lái)說(shuō)，事件觸發(fā)條件是一個(gè)包含全局狀態(tài)測(cè)量誤差閾值的不等式，當(dāng)實(shí)際測(cè)量誤差超過(guò)這一閾值便觸發(fā)控制器更新.其觸發(fā)函數(shù)具體表達(dá)式在式（6）中給出.

為了解決系統(tǒng)（1）（2）的一致性問(wèn)題，設(shè)計(jì)的控制器目的為了解決控制輸入常時(shí)滯與智能體內(nèi)部的非線性因素的影響，其具體控制協(xié)議如（3）式：

其中，κ代表控制增益，且κ＞0，τ為大于0的常數(shù)，代表控制器輸入時(shí)滯，aij＞0為智能體i，j相連的耦合強(qiáng)度，bi＞0以及j∈Ni.tk,tk+1分別代表第k次、第k+1觸發(fā)時(shí)刻.Tk=tk+1-tk代表的是采樣周期，當(dāng)t∈[tk,tk+1)，每個(gè)智能體i在這一期間廣播其狀態(tài)xi(tk)、x0(tk)、vi(tk)和x0(tk)，即在兩次相鄰觸發(fā)時(shí)刻之間，系統(tǒng)的控制輸入保持不變.

將（3）式中控制器帶入(2)式，設(shè)ξi(t)=xi(t)-x0(t)，ηi(t)=vi(t)-v0(t).

e1(t)=ξ(tk)-ξ(t),e2(t)=η(tk)-η(t)，其中誤差量e1(t)，e2(t)∈RN.將誤差量代入，

并令e(t)=[ eT1(t),eT2(t)]T，再設(shè)置y(t)為[ ξT(t),ηT(t)]T，所以我們得到：

其中對(duì)應(yīng)的矩陣表達(dá)式如下：

2.2 事件觸發(fā)機(jī)制

觸發(fā)函數(shù)：

觸發(fā)條件為：

在式（5）（6）中，其中k1、k2、k3都是大于0的常數(shù)，Q、M1、M2、M3為合適維度的矩陣.

在式（6）中的集中式觸發(fā)條件，實(shí)際上是設(shè)定了一個(gè)全局狀態(tài)誤差閾值e(t)，也稱為系統(tǒng)（1）（2）在一致性下所能忍耐的最大誤差值，一旦系統(tǒng)誤差超過(guò)此值，系統(tǒng)一致性便會(huì)被破壞，為了維持系統(tǒng)一致性的穩(wěn)定，此刻事件機(jī)制會(huì)迅速觸發(fā)控制器（3）更新輸入，此刻測(cè)量誤差將重置為0.

定理1對(duì)于無(wú)向連通拓?fù)湎碌亩A多智能體系統(tǒng)（1）（2），如果存在正定對(duì)稱矩陣P,R,Q,W和矩陣M1,M2,M3，使得下列線性矩陣不等式成立，當(dāng)觸發(fā)函數(shù)（5）在滿足觸發(fā)條件（6）下將觸發(fā)控制器（3）更新，該系統(tǒng)達(dá)成一致性.

上式子中k1,k2,k3均大于0，當(dāng)g(e(t),t)漸近于0時(shí)，所有跟隨者的控制器將會(huì)被觸發(fā)，每個(gè)多智能體的控制輸入將會(huì)被更新.

證明：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)（4），構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)如下：

對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)后再根據(jù)Jensen不等式可得：

將（4）式代入（9）式后，根據(jù)引理1，并通過(guò)假設(shè)1和引理2中的克羅內(nèi)克積公式可以將帶有 |Fˉ|的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后為了方便計(jì)算，設(shè)定

δ(t)=[ yT(t)yT(t-τ)eT(t-τ)]T，化簡(jiǎn)

寫成矩陣形式：

根據(jù)式（11）可以得到v˙(t)≤δT(t)Jδ(t)≤0，因此閉環(huán)系統(tǒng)（4）漸近穩(wěn)定一致，這也意味著跟隨者智能體位移，速度狀態(tài)與領(lǐng)導(dǎo)者的差值在全局狀態(tài)誤差閾值e(t)范圍內(nèi)，即滿足定義1中xli→m∞‖xi(t)- x0(t)‖=0，xli→m∞‖vi(t)- v0(t)‖=0.證 明成立.

另外需要注意的，除了保證系統(tǒng)（1）（2）在控制器（3）下達(dá)成一致性外，還需要確保在時(shí)間軸上沒(méi)有事件的累積點(diǎn)，即沒(méi)有Zeno行為，這點(diǎn)可以通過(guò)嚴(yán)格采樣周期Tk來(lái)保證，以下給出定理2.

定理2對(duì)于二階多智能體系統(tǒng)（1）（2），假設(shè)無(wú)向拓?fù)鋱D論G是連通的，在任意初始條件下，控制協(xié)議（3）與集中式事件觸發(fā)策略（5）（6）漸進(jìn)解決了多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，另外，通過(guò)式（12）計(jì)算采樣周期的最小值，閉環(huán)系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)Zeno行為.

3 數(shù)值仿真

在本章節(jié)中，主要通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證該集中式事件觸發(fā)協(xié)議的有效性.

該仿真研究的是由1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和5個(gè)跟隨者構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)，其智能體系統(tǒng)拉普拉斯矩陣L和局部度B如下所示.系統(tǒng)的無(wú)向拓?fù)鋱D如圖1所示，其中0代表領(lǐng)導(dǎo)者，數(shù)字1～5代表跟隨者智能體.

圖1 智能體系統(tǒng)的無(wú)向連接拓?fù)鋱D

為了驗(yàn)證系統(tǒng)（1）（2）在控制協(xié)議（3）作用下能夠達(dá)成一致性，我們?cè)O(shè)定智能體的初始狀態(tài)，各智能體的位移分別：x0(t)=1.2683 ,x1(t)=2.7346,x2(t)=-2.432,x3,(t)=4.8951,x4(t)=7.1191,x5(t)=-4.732.

各智能體速度分別為：

v0(t)=-2.71,v1(t)=0.7329,v2(t)=-3.1691, v3(t)=4.112,v4(t)=2.7316,v5(t)=-8.511

對(duì)于系統(tǒng)中的非線性參數(shù)，我們?cè)O(shè)定為

f(vi(t),t)=sin(10t)-0.12vi(t)，輸入時(shí)滯τ=0.01.系統(tǒng)中領(lǐng)導(dǎo)者的加速度p(t)=0.2tsin(10t).控制器參數(shù)k=7.68，定理1中的參數(shù)k1=k2=k3=9.4.其仿真圖如圖2～圖5所示.通過(guò)仿真驗(yàn)證了本文思路的可行性.

圖2 智能體位移狀態(tài)變化圖

圖3 智能體速度狀態(tài)變化圖

圖4 測(cè)量誤差范數(shù)‖ ? e(t)‖變化

圖5 事件觸發(fā)時(shí)間間隔圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究的是一類二階多智能體領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性控制問(wèn)題，給出了該系統(tǒng)達(dá)成一致性的充分條件.該系統(tǒng)同時(shí)考慮了輸入時(shí)滯和存在非線性因素的情況，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論與矩陣不等式設(shè)計(jì)了與時(shí)滯相關(guān)的控制器，并利用事件觸發(fā)機(jī)制，有效地降低了通信成本，提高了資源利用率和系統(tǒng)的控制性能.最后數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的可行性，然而考慮到每個(gè)智能體在執(zhí)行任務(wù)供給的能量有限，如何權(quán)衡能量的消耗與性能的優(yōu)化是我們下一步需要進(jìn)行研究和解決的問(wèn)題.