論黎曼猜想的證明問題

王海東

【摘要】黎曼猜想存在兩個錯誤：第一，把無定義函數(shù)值當(dāng)成了定義函數(shù)值;第二，沒有找到所有無定義函數(shù)值的準(zhǔn)確位置.這兩個錯誤告訴我們：雖然黎曼ζ函數(shù)可以成立，但是用黎曼ζ函數(shù)不能證明黎曼猜想的成立，除非我們可以修改黎曼猜想的斷言，將這個斷言改為：黎曼ζ函數(shù)的無定義函數(shù)值分布在σ=1的直線上.

【關(guān)鍵詞】黎曼猜想;黎曼ζ函數(shù);復(fù)數(shù)表示定理

令n代表正整數(shù)，s代表復(fù)數(shù)，黎曼猜想的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

這個數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為黎曼ζ函數(shù).黎曼ζ函數(shù)是一個復(fù)變函數(shù)，這個復(fù)變函數(shù)包含著一個復(fù)數(shù)公式：

其中，σ代表s的實(shí)部即Re（s），t代表s的虛部即Im（s），Re（s）和Im（s）則分別代表構(gòu)成s的兩個實(shí)數(shù).這兩個實(shí)數(shù)與構(gòu)成s的虛數(shù)具有不同關(guān)系，前者與構(gòu)成s的虛數(shù)具有加法關(guān)系，后者與構(gòu)成s的虛數(shù)具有乘法關(guān)系，兩者構(gòu)成了一個包含虛數(shù)的線性組合，s就等于這個線性組合的代數(shù)和.

從這個復(fù)數(shù)公式來看，雖然s是由Re（s）和Im（s）共同構(gòu)成的，但是黎曼ζ函數(shù)卻僅僅給出了Re（s）的定義域，而沒有同時給出Re（s）和Im（s）的定義域.由于黎曼ζ函數(shù)沒有同時給出Re（s）和Im（s）的定義域，所以我們不僅無法根據(jù)現(xiàn)有信息確定黎曼ζ函數(shù)的定義域，也無法根據(jù)現(xiàn)有信息確定黎曼ζ函數(shù)的值域.在這種情況下，我們從黎曼ζ函數(shù)的推導(dǎo)過程中得出的任何一個結(jié)論，都不能成為證明黎曼猜想的理論依據(jù).

由此可見，證明黎曼猜想的關(guān)鍵問題并不在于怎樣從黎曼ζ函數(shù)的推導(dǎo)過程中得出一個正確結(jié)論，而在于怎樣從Re（s）的定義域中正確地推導(dǎo)出黎曼ζ函數(shù)的定義域.因?yàn)橹挥袕腞e（s）的定義域中正確地推導(dǎo)出黎曼ζ函數(shù)的定義域，才能從黎曼ζ函數(shù)的推導(dǎo)過程中得出一個正確結(jié)論.

那么，怎樣才能解決這個關(guān)鍵問題呢？顯然，要想解決這個關(guān)鍵問題，就必須用Re（s）來表示s.要想用Re（s）來表示s，就必須用Re（s）來表示Im（s）.要想用Re（s）來表示Im（s），就必須弄清Re（s）和Im（s）的內(nèi)在聯(lián)系.要想弄清Re（s）和Im（s）的內(nèi)在聯(lián)系，就必須引進(jìn)兩個十分重要的數(shù)學(xué)定理.這兩個數(shù)學(xué)定理就是虛數(shù)產(chǎn)生定理和負(fù)實(shí)數(shù)開方定理.

虛數(shù)產(chǎn)生定理是指： 所有負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算都會產(chǎn)生一個虛數(shù).

令-x代表任意負(fù)實(shí)數(shù)，y代表負(fù)實(shí)數(shù)的開方，i代表虛數(shù)，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明虛數(shù)產(chǎn)生定理.

第一步，假定-x=-1.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-1=i.

第二步，假定-x=-n且0

y=-n=-1×n=-1×n=in.

第三步，假定-x=-n+m且m≥1.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-（n+m）=-1×（n+m）=-1×n+m=in+m.

因?yàn)樯鲜鋈齻€公式覆蓋了所有負(fù)實(shí)數(shù)，所以我們可以推出以下公式：

y=-x=-1×x=-1×x=ix.

負(fù)實(shí)數(shù)開方定理是指：任何絕對值相同的正負(fù)實(shí)數(shù)相乘都會產(chǎn)生負(fù)實(shí)數(shù)開方.

令y和-x含義不變，我們可以用以下方法證明負(fù)實(shí)數(shù)開方定理：

通過虛數(shù)產(chǎn)生定理和負(fù)實(shí)數(shù)開方定理的證明過程，我們可以找到兩個十分重要的數(shù)學(xué)公式.

第一個數(shù)學(xué)公式是：

y=ix，

第二個數(shù)學(xué)公式是：

y=-xy.

把這兩個數(shù)學(xué)公式聯(lián)系起來，我們可以推出一個十分重要的數(shù)學(xué)公式：

ix=-xy.

從這個數(shù)學(xué)公式中我們又可以推出一個十分重要的數(shù)學(xué)公式：

iy=-xx.

推到這里，我們就推出了一個十分重要的數(shù)學(xué)定理.這個數(shù)學(xué)定理就是復(fù)數(shù)表示定理.

復(fù)數(shù)表示定理是指：任何一個復(fù)數(shù)的虛部都可以用這個復(fù)數(shù)的實(shí)部表示出來.

令z代表復(fù)數(shù)，我們可以用以下方法證明復(fù)數(shù)表示定理：

從復(fù)數(shù)表示定理來看，兩個實(shí)數(shù)之間的復(fù)數(shù)關(guān)系就是一種虛數(shù)產(chǎn)生關(guān)系，這種虛數(shù)產(chǎn)生關(guān)系就是一種負(fù)實(shí)數(shù)開方關(guān)系.從這種負(fù)實(shí)數(shù)開方關(guān)系來看，我們既可以用引進(jìn)虛數(shù)的方法來表示復(fù)數(shù)，又可以用消去虛數(shù)的方法來表示復(fù)數(shù).消去虛數(shù)的復(fù)數(shù)可以稱為實(shí)化復(fù)數(shù).實(shí)化復(fù)數(shù)不僅可以把復(fù)數(shù)公式改寫為實(shí)數(shù)公式，而且可以在實(shí)數(shù)運(yùn)算中繼續(xù)保持原有的復(fù)數(shù)性質(zhì).

不過，我們在應(yīng)用復(fù)數(shù)表示定理的時候必須注意：雖然任何一種復(fù)數(shù)公式都可以改寫成實(shí)數(shù)公式，但是改寫出來的實(shí)數(shù)公式卻又與眾不同.當(dāng)x>0時，這種實(shí)數(shù)公式不會通過開方運(yùn)算產(chǎn)生虛數(shù).當(dāng)x<0時，這種實(shí)數(shù)公式將會通過開方運(yùn)算產(chǎn)生虛數(shù).因此，這種實(shí)數(shù)公式具有兩個不同定義域.一個定義域?qū)儆趯?shí)數(shù)定義域，另一個定義域?qū)儆趶?fù)數(shù)定義域.實(shí)數(shù)定義域?yàn)閤>0，復(fù)數(shù)定義域?yàn)閤<0.由于這種實(shí)數(shù)公式具有兩個不同定義域，所以我們不能將這種實(shí)數(shù)公式視為真實(shí)數(shù)公式，只能將這種實(shí)數(shù)公式視為偽實(shí)數(shù)公式.所謂真實(shí)數(shù)公式，就是只有實(shí)數(shù)定義域沒有復(fù)數(shù)定義域的實(shí)數(shù)公式.所謂偽實(shí)數(shù)公式，就是既有實(shí)數(shù)定義域又有復(fù)數(shù)定義域的實(shí)數(shù)公式.

在做好了這些理論準(zhǔn)備之后，我們就可以討論黎曼猜想的證明問題了.

那么，我們應(yīng)當(dāng)從哪里開始討論這個問題呢？顯然，我們的討論應(yīng)當(dāng)從改寫黎曼ζ函數(shù)的復(fù)數(shù)公式開始.因?yàn)?，我們可以根?jù)復(fù)數(shù)表示定理把這個復(fù)數(shù)公式改寫為實(shí)數(shù)公式：

s=σ+it=σ1-1σ.

我們已經(jīng)知道，這個實(shí)數(shù)公式只是一個偽實(shí)數(shù)公式.但是，由于黎曼ζ函數(shù)為它規(guī)定了一個不可逾越的實(shí)數(shù)定義域，這個實(shí)數(shù)定義域排除了存在復(fù)數(shù)定義域的可能性，所以這個實(shí)數(shù)公式又是一個真實(shí)數(shù)公式.

從這個實(shí)數(shù)公式中，我們可以得出兩個重要結(jié)論：第一，σ不可能等于零，如果σ等于零，這個實(shí)數(shù)公式就會出現(xiàn)一個無意義的分?jǐn)?shù);第二，σ不可能小于零，如果σ小于零，這個實(shí)數(shù)公式就會出現(xiàn)一個不該出現(xiàn)的虛數(shù).

從這兩個重要結(jié)論中，我們又可以得出一個重要結(jié)論：如果我們試圖擴(kuò)展這個實(shí)數(shù)公式的定義域，也只能從σ>1擴(kuò)展到σ>0，而不能再從σ>0擴(kuò)展到σ≤0.

從平面直角坐標(biāo)系來看，這個重要結(jié)論的幾何表示就是：我們只能在右平面上擴(kuò)展這個實(shí)數(shù)公式的定義域，不能把這個實(shí)數(shù)公式的定義域從右平面擴(kuò)展到左平面.

在確定了這個實(shí)數(shù)公式的定義域之后，我們就可以進(jìn)一步確定黎曼ζ函數(shù)的定義域了.這個定義域就是：當(dāng)σ=1時，s=0;當(dāng)σ>1時，s>0;當(dāng)σ<1時，s<0.

在確定了黎曼ζ函數(shù)的定義域之后，我們就可以進(jìn)一步確定黎曼ζ函數(shù)的值域了.這個值域就是：當(dāng)s=0時，ζ（s）=1;當(dāng)s>0時，ζ（s）>1;當(dāng)s<0時，ζ（s）>1.

從黎曼ζ函數(shù)的值域來看，如果令s和σ分別代表平面直角坐標(biāo)系的縱軸和橫軸，那么黎曼ζ函數(shù)就可以用兩條穿越橫軸的對數(shù)曲線表示出來.這兩條對數(shù)曲線在橫軸上的交點(diǎn)就是σ=1的坐標(biāo)點(diǎn).這個坐標(biāo)點(diǎn)稱為黎曼ζ函數(shù)的定義基準(zhǔn)點(diǎn).當(dāng)s=0時，定義基準(zhǔn)點(diǎn)代表一個單獨(dú)存在的定義函數(shù)值.當(dāng)s>0時，位于定義基準(zhǔn)點(diǎn)右側(cè)的兩條對數(shù)曲線代表兩組相互對稱的定義函數(shù)值.其中，位于橫軸上方的定義函數(shù)值代表原有函數(shù)值，位于橫軸下方的定義函數(shù)值代表共軛函數(shù)值.當(dāng)s<0時，位于定義基準(zhǔn)點(diǎn)左側(cè)的兩條對數(shù)曲線代表兩組相互對稱的定義函數(shù)值.其中，位于橫軸下方的定義函數(shù)值代表原有函數(shù)值，位于橫軸上方的定義函數(shù)值代表共軛函數(shù)值.由于定義基準(zhǔn)點(diǎn)左右兩側(cè)的定義函數(shù)值不是相互對稱的，所以定義基準(zhǔn)點(diǎn)左右兩側(cè)將會出現(xiàn)兩組相互對稱的無定義函數(shù)值.由于這兩組相互對稱的無定義函數(shù)值與定義基準(zhǔn)點(diǎn)的距離相等，所以兩者相減之后都會出現(xiàn)在垂直穿越定義基準(zhǔn)點(diǎn)的一條直線上.這條直線稱為黎曼ζ函數(shù)的無定義基準(zhǔn)線.

那么，怎樣區(qū)分黎曼ζ函數(shù)的定義函數(shù)值和無定義函數(shù)值呢？顯然，如果將黎曼ζ函數(shù)與歐拉乘積公式聯(lián)系起來，黎曼ζ函數(shù)的定義函數(shù)值就不包括任何質(zhì)數(shù)，黎曼ζ函數(shù)的無定義函數(shù)值就包括所有質(zhì)數(shù).

令p代表質(zhì)數(shù)，ζ（s）p代表具有質(zhì)數(shù)性質(zhì)的ζ（s）值，我們可以用以下方法證明這個答案：

根據(jù)以上分析，我們可以得出三個重要結(jié)論：第一，黎曼ζ函數(shù)不僅是一個復(fù)變函數(shù)，而且是一個軸對稱共軛復(fù)變函數(shù);第二，黎曼ζ函數(shù)的所有定義函數(shù)值都大于零，其中既不存在平凡零點(diǎn)也不存在非平凡零點(diǎn);第三，黎曼ζ函數(shù)的平凡零點(diǎn)和非平凡零點(diǎn)都來源于無定義函數(shù)值，這些無定義函數(shù)值代表包含自然數(shù)中的所有質(zhì)數(shù).

黎曼猜想斷言：黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)分布在σ=1/2的直線上.從以上分析來看，這組非平凡零點(diǎn)都是來自定義基準(zhǔn)點(diǎn)左側(cè)的無定義函數(shù)值.由于定義基準(zhǔn)點(diǎn)左右兩側(cè)的無定義函數(shù)值是相互對稱的，所以我們在σ=3/2的直線上同樣可以找到一組非平凡零點(diǎn)，用后者減去前者之后兩者都會分布在σ=1的直線上.

由此可見，黎曼猜想存在兩個錯誤：第一，把無定義函數(shù)值當(dāng)成了定義函數(shù)值;第二，沒有找到所有無定義函數(shù)值的準(zhǔn)確位置.這兩個錯誤告訴我們：雖然黎曼ζ函數(shù)可以成立，但是用黎曼ζ函數(shù)不能證明黎曼猜想的成立，除非我們可以修改黎曼猜想的斷言，將這個斷言改為：黎曼ζ函數(shù)的無定義函數(shù)值分布在σ=1的直線上.

那么，黎曼猜想允許我們做出這種修改嗎？從黎曼猜想的最初動機(jī)來看，黎曼猜想是允許我們做出這種修改的.因?yàn)椋杪孪氲淖畛鮿訖C(jī)就是根據(jù)黎曼ζ函數(shù)的定義，在縱軸右側(cè)尋找一條垂直于橫軸的直線，并用這條直線來表示質(zhì)數(shù)的分布狀態(tài).只要我們能夠通過黎曼ζ函數(shù)發(fā)現(xiàn)這條直線，不管這條直線位于什么坐標(biāo)點(diǎn)，也不管這條直線代表哪種函數(shù)值，黎曼猜想的最初動機(jī)都可以得到滿足.

【參考文獻(xiàn)】

[1]總主編王元，副總主編文蘭、陳木法.數(shù)學(xué)大辭典：第2版[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[2]深圳大學(xué)復(fù)變函數(shù)與場論教研組.復(fù)變函數(shù)與場論簡明教程[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2012.

[3]盧昌海.黎曼猜想漫談[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.