一題多解在不定積分求解中的應(yīng)用

張玉芳

【摘要】一題多解不僅能揭示不同解題方法之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，還可以啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和欣賞能力，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.本文給出了一道三角函數(shù)有理式不定積分的幾種解法：萬能代換法t=tanx2、萬能代換變形法t=cotx2、三角代換法（t=cos x或t=2+cos x或t=1+cos x）、將被積函數(shù)部分分式分解法、使用數(shù)學(xué)軟件Matlab直接積分法，從而展示一題多解在不定積分求解中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】一題多解;不定積分;三角函數(shù)有理式

不定積分是數(shù)學(xué)分析課程的核心內(nèi)容之一.求解不定積分的方法有很多，如基本積分公式表、第一換元積分法（湊微分法）、第二換元積分法（變量代換法）、分部積分法、有理函數(shù)的不定積分法（將有理函數(shù)進(jìn)行部分分式分解，然后求各個(gè)部分分式的不定積分）等.但有一類函數(shù)的不定積分（三角函數(shù)有理式的不定積分）求解方法比較靈活多變，初學(xué)者難以掌握.本文以幾種方法（萬能代換法t=tanx2、萬能代換變形法t=cotx2、三角代換法（t=cos x或t=2+cos x或t=1+cos x）、將被積函數(shù)部分分式分解法、使用數(shù)學(xué)軟件Matlab直接積分法）求解同一道三角函數(shù)有理式的不定積分為例，展示一題多解在不定積分求解中的應(yīng)用.其目的：一是啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，二是培養(yǎng)學(xué)生自主探究問題的能力，從而使學(xué)生能夠感悟數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和欣賞能力，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

例求不定積分∫dx（2+cos x）sin x.

分析不同類型的不定積分一般都有基本的積分方法.對(duì)于三角函數(shù)有理式的不定積分，基本的積分方法是萬能代換公式法.下面的解法1利用萬能代換公式t=tanx2求解.

解法1令t=tanx2，則sin x=2t1+t2，cos x=1-t21+t2，dx=21+t2dt.

∫dx（2+cos x）sin x

=∫21+t2dt2+1-t21+t22t1+t2

=∫1+t2t（3+t2）dt

=∫13·1t+23·13+t2dt

=13lnt+239arctant3+C

=13lntanx2+239arctantanx23+C.

分析因?yàn)檎校╰an）和余切（cot）互為倒數(shù)，解法1令t=tanx2，所以可以考慮令t=cotx2.下面給出解法2.

解法2令t=cotx2，則sin x=2t1+t2，cos x=t2-1t2+1，dx=-21+t2dt.

∫dx（2+cos x）sin x

=∫-21+t2dt2+t2-1t2+12t1+t2

=-∫1+t2t（3t2+1）dt

=-∫1t+-2t3t2+1dt

=-∫1tdt+13∫13t2+1d（3t2+1）

=-lnt+13ln3t2+1+C

=-lncotx2+13ln3cot2x2+1+C.

注解法1、解法2分別使用代換公式t=tan x2與t=cot x2，將三角有理函數(shù)的不定積分問題轉(zhuǎn)化為普通有理函數(shù)的不定積分問題，再使用待定系數(shù)法，將普通有理函數(shù)的不定積分問題轉(zhuǎn)化為能直接套積分公式或可以使用換元積分法、分部積分法求解的不定積分問題.但此過程煩雜，計(jì)算量大，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

分析因?yàn)閟in x和cos x在微積分的運(yùn)算中具有比較好的互逆性，且sin2x+cos2x=1， 所以下面的解法3、解法4、解法5采用了第二換元積分法中的三角代換法（t=cos x或t=2+cos x或t=1+cos x）及公式sin2x+cos2x=1，巧妙地達(dá)到了化簡被積表達(dá)式的目的.

解法3令t=cos x，則dt=-sin xdx.

∫dx（2+cos x）sin x=∫1（2+t）sin x·dt-sin x

=-∫1（2+t）（1-t2）dt

=∫13·12+t-12·11+t-16·11-tdt

=13ln2+t-12ln1+t+16ln1-t+C

=13ln2+cos x-12ln1+cos x+

16ln1-cos x+C.

解法4令t=2+cos x，則dt=-sin xdx.

∫1（2+cos x）sin xdx

=∫1tsin x-dtsin x

=-∫1t[1-（t-2）2]dt=∫1t（t2-4t+3）dt

=∫13·1t-12·1t-1+16·1t-3dt

=13lnt-12lnt-1+16lnt-3+C

=13ln2+cos x-12ln1+cos x+

16lncos x-1+C.

解法5令t=a+cos x（a∈R），則dt=-sin xdx.

∫1（2+cos x）sin xdx

=∫1（t-a+2）sin x-dtsin x

=-∫1（t-a+2）[1-（t-a）2]dt

=∫1（t-a+2）（t-a-1）（t-a+1）dt

=∫13·1t-a+2+16·1t-a-1-12·1t-a+1dt

=13lnt-a+2+16lnt-a-1-12lnt-a+1+C

=13ln2+cos x-12ln1+cos x+

16lncos x-1+C.

注解法3、解法4、解法5直接使用了第二換元積分法，并巧妙地使用了sin2x+cos2x=1，將被積表達(dá)式進(jìn)行了化簡，將三角有理函數(shù)的不定積分問題轉(zhuǎn)化為普通有理函數(shù)的不定積分問題，再使用待定系數(shù)法，將普通有理函數(shù)的不定積分問題轉(zhuǎn)化為能直接套積分公式或可以使用換元積分法、分部積分法求解的不定積分問題.

分析在積分學(xué)中，有理函數(shù)的不定積分最基本的解法是：將有理函數(shù)進(jìn)行部分分式分解，然后求各個(gè)分式的不定積分.下面的解法6就直接想方設(shè)法把被積函數(shù)進(jìn)行部分分式分解，然后求解各個(gè)分式的不定積分.

解法6因?yàn)?（2+cos x）sin x=13-sin x2+cos x+2-cos xsin x=13-sin x2+cos x+2sin x-cos xsin x，

所以

∫dx（2+cos x）sin x

=13∫-sin x2+cos x+2sin x-cos xsin xdx

=13∫12+cos xd（2+cos x）+2∫csc xd x-∫1sin xdsin x

=13ln2+cos x+2lncsc x-cot x-lnsin x+C.

分析三角函數(shù)有理式不定積分的求解方法靈活多樣，Matlab軟件在求解積分方面有很大的優(yōu)勢.下面利用Matlab求解本題.

解法7

Clear

>>syms x c

>>int（1/（2+cos（x））*sin（x））

按回車鍵，得出答案

ans=

log（cos（x） - 1）/6 - log（cos（x） + 1）/2 + log（cos（x） + 2）/3.

綜上所述，解法1、解法2是通過萬能代換公式及其變形，將被積表達(dá)式進(jìn)行了化簡，解法3、解法4及解法5使用了三角換元對(duì)被積表達(dá)式進(jìn)行了化簡.

解法1、解法2、解法3、解法4、解法5都是將三角有理函數(shù)的不定積分問題轉(zhuǎn)化為普通有理函數(shù)的不定積分問題，再結(jié)合待定系數(shù)法，將普通三角函數(shù)的不定積分問題轉(zhuǎn)化為能直接套積分公式或可以使用換元積分法、分部積分法求解的不定積分問題.其中解法1、解法2的求解方法比較通用、直接、簡單，易于掌握，但計(jì)算量偏大，容易計(jì)算出錯(cuò);解法3、解法4、解法5使用的三角換元方法比較熟悉，但化簡被積表達(dá)式比較巧妙，因此有一定的難度;解法6的求解方法比較巧妙，計(jì)算量偏小，但將三角函數(shù)有理式部分分式分解是一個(gè)難點(diǎn)，故此方法不具有通用性;解法7直接借助于數(shù)學(xué)軟件Matlab編程求解，方法簡單，容易得出結(jié)果，也具有通用性，但學(xué)生只知其然不知其所以然，這不是數(shù)學(xué)訓(xùn)練所想達(dá)到的目標(biāo).由此可見，七種方法各有優(yōu)劣，只有通過對(duì)比訓(xùn)練，才能讓學(xué)生更好地理解并掌握所學(xué)知識(shí)，真正體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力.

【參考文獻(xiàn)】

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