幾何畫板在求解一道大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的應(yīng)用

安佰玲　黃雪梅

【摘要】本文以幾何畫板為工具，結(jié)合大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一道題，歸納出求解軌跡方程的基本過(guò)程：動(dòng)態(tài)演示，建立方程，驗(yàn)證方程或圖形.綜合運(yùn)用觀察、猜想、計(jì)算、推導(dǎo)、驗(yàn)證等一系列思維活動(dòng)，使學(xué)生意識(shí)到幾何的直觀性、論證的嚴(yán)密性、計(jì)算的準(zhǔn)確性及猜想的合理性在解決問(wèn)題中的重要性.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板;心形線;反演變換;數(shù)學(xué)競(jìng)賽

【基金項(xiàng)目】安徽省高等學(xué)校質(zhì)量工程項(xiàng)目（2019jyxm0201，2018jyxm0519）;淮北師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（JY18015，JY19020）;高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)研究與發(fā)展中心教改項(xiàng)目（CMC20200206）

一、 引言

解析幾何中的核心思想是數(shù)形結(jié)合思想，其主要任務(wù)之一是通過(guò)圖形（軌跡）的幾何特征，求解其對(duì)應(yīng)的方程，進(jìn)而利用方程解的代數(shù)性質(zhì)研究軌跡的幾何性質(zhì).幾何畫板作為研究解析幾何的重要工具，以運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程中的“基本圖形的性質(zhì)”為基礎(chǔ)，并以軌跡和動(dòng)畫的形式，形象地展示“動(dòng)態(tài)幾何”的魅力和數(shù)學(xué)美的一面.教師借助熟悉的現(xiàn)代信息技術(shù)生動(dòng)形象地展示幾何圖形的各種性質(zhì)，動(dòng)態(tài)演示幾何變換的過(guò)程，有利于學(xué)生直觀把握幾何圖形的性質(zhì)和特征.

二、 問(wèn)題及求解

本文所選的問(wèn)題為2013年第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽（數(shù)學(xué)類）試卷第一題，此題的難度體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：其一是心形線方程的求解，關(guān)鍵是找到適當(dāng)?shù)膮?shù)，如果不借助動(dòng)態(tài)圖，其軌跡形狀并不直觀，因此參數(shù)的尋找比較困難;其二是對(duì)圓的反演變換定義的理解，要從滿足的等式中參悟出具體的幾何意義.

問(wèn)題：平面R2上兩個(gè)半徑為r的圓C1，C2外切于P點(diǎn)，將圓 C2沿 C1的圓周（無(wú)滑動(dòng)）滾動(dòng)一周，這時(shí)C2上的P點(diǎn)也隨C2的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng).記Γ為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，稱為心形線.現(xiàn)設(shè)C為以P的初始位置（切點(diǎn)）為圓心的圓， 其半徑為R.記γ∶R2∪{∞}→R2∪{∞}為圓C的反演變換，它將Q∈R2＼{P}映成射線PQ上的點(diǎn)Q′，滿足PQ·PQ′=R2.求證：γ（Γ）為拋物線.

1.動(dòng)態(tài)演示運(yùn)動(dòng)軌跡

利用幾何畫板可動(dòng)態(tài)演示出心形線的生成過(guò)程.如圖1，引導(dǎo)學(xué)生觀察并構(gòu)建適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，思考并確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的可能參數(shù).坐標(biāo)系與參數(shù)的選取是建立軌跡方程的第一步，也是研究圖形幾何性質(zhì)的關(guān)鍵.坐標(biāo)系及參數(shù)的選取原則是基于圖形的最簡(jiǎn)方程原則，選取的參數(shù)往往具有幾何意義或者物理意義.

2.建立軌跡的方程

構(gòu)建軌跡方程時(shí)，要借助直觀的幾何圖形，構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切?如圖2所示，利用向量的加法表示動(dòng)點(diǎn)Q的向徑，在△OQQ′中，向量OQ=OQ′+Q′Q.事實(shí)上，平面上的一個(gè)非零向量a是由其大小及方向角確定的，即a=a{cos θ，sin θ}，其中θ為a與x軸正向的夾角.因此令θ為OQ′與x軸正向的夾角，于是Q′Q與x軸正向的夾角為θ-（π-θ）=2θ-π，即

OQ′=2r{cos θ，sin θ}，Q′Q=-r{cos 2θ，sin 2θ}，

于是可得心形線的參數(shù)方程為

x=2rcos θ-rcos 2θ，

y=2rsin θ-rsin 2θ，

整理，得

Γ：x=r+2r（1-cos θ）cos θ，

y=2r（1-cos θ）sin θ. （1）

求解動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程的方法往往有多種，可以借助不同線段構(gòu)造不同的三角形得到動(dòng)點(diǎn)向徑的表達(dá)式.因此要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法，如圖3構(gòu)造△OPQ′.

3.驗(yàn)證軌跡的方程

根據(jù)得到的心形線的參數(shù)方程（1），在幾何畫板中輸入心形線的方程（極坐標(biāo)方程），從而生成心形線如圖4，與之前動(dòng)態(tài)圖生成的心形線（圖1）對(duì)比驗(yàn)證，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一與認(rèn)識(shí).學(xué)生在直觀圖形的引導(dǎo)和推動(dòng)下，通過(guò)計(jì)算和推導(dǎo)得到方程，再利用計(jì)算機(jī)軟件驗(yàn)證方程，這一過(guò)程會(huì)激發(fā)學(xué)生積極思考，深刻理解解析幾何中數(shù)形結(jié)合的思想和方法.在問(wèn)題的解決過(guò)程中，學(xué)生綜合運(yùn)用觀察、猜想、計(jì)算、推導(dǎo)、驗(yàn)證等一系列思維活動(dòng)，意識(shí)到幾何的直觀性、論證的嚴(yán)密性、計(jì)算的準(zhǔn)確性及猜想的合理性在解決問(wèn)題中的重要性.

結(jié)合幾何畫板，動(dòng)態(tài)演示、建立方程及驗(yàn)證方程這三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成了研究任意一個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本過(guò)程.基于本題是求解心形線圓的反演曲線的方程，所以我們?cè)黾恿藘蓚€(gè)環(huán)節(jié).

4.求解心形線關(guān)于圓的反演曲線

在原坐標(biāo)系中繪制出心形線及以P為圓心、半徑為R的圓，如圖5所示，動(dòng)點(diǎn)Q′（x′，y′）在射線PQ上，因此只需確定P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)及Q′分線段PQ的定比，利用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式即可確定動(dòng)點(diǎn)Q′的坐標(biāo).

已知Q（r+2r（1-cos θ）cos θ，2r（1-cos θ）sin θ），P（r，0），

設(shè)PQ′=λPQ，由PQ ·PQ′=R2，解得

λ=R24（1-cos θ）2r2，

且Q′分線段PQ的定比為 λ1-λ，于是可得

γ（Γ）：x′=r+R2cos θ2r（1-cos θ），

y′=R2sin θ2r（1-cos θ），

整理得到動(dòng)點(diǎn)Q′的直角坐標(biāo)方程為

y′2=R2rx′+R44r2-R2.（2）

5.生成并驗(yàn)證心形線的反演曲線

在圖4的基礎(chǔ)上，將求得的方程（2）輸入幾何畫板，生成拋物線，如圖6所示（取r=2 cm，R=4 cm）.在心形線上任取一點(diǎn)Q，度量出PQ=8 cm，PQ′=2 cm，于是PQ·PQ′=8×2=16=R2，拖動(dòng)Q使其在心形線上運(yùn)動(dòng)，可以驗(yàn)證PQ ·PQ′=R2成立.這樣我們不僅可以利用圖形的方程證明心形線圓的反演曲線就是一條拋物線，同時(shí)利用題目中的條件驗(yàn)證了所得結(jié)果的正確性.

三、 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)文中的問(wèn)題可以通過(guò)小問(wèn)題的形式引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考與探究，比如可以讓學(xué)生思考下面幾個(gè)問(wèn)題：（1）圓的反演曲線是否為圓？（2）拋物線的反演曲線是否為心形曲線？（3）除了心形線，還能否找到其反演曲線也是拋物線的曲線？（4）反演曲線是拋物線的曲線應(yīng)該具有怎樣的幾何特征？能否用代數(shù)方程表示出這類曲線？

當(dāng)然也可以讓學(xué)生自己設(shè)置問(wèn)題并進(jìn)行思考，不用考慮所設(shè)置的問(wèn)題是否有應(yīng)用價(jià)值，只要學(xué)生在深入思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的魅力，領(lǐng)略到解析幾何這門學(xué)科的內(nèi)容、方法及思想的獨(dú)特性即可.這種有一定深度的數(shù)形互譯的訓(xùn)練，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力和科學(xué)的思維品質(zhì)具有十分重要的意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]安佰玲，黃保軍，盧濤，等.解析幾何教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用[J].淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，31（2）：69-73.

[2]湯志娜.幾何畫板中的繪圖思想探析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（01）：9-11.

[3]李倩，趙臨龍.高考解析幾何化動(dòng)態(tài)問(wèn)題為“靜態(tài)問(wèn)題”[J].課程教育研究，2019（15）：137.