以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”
——2020年全國(guó)Ⅰ卷的兩道動(dòng)態(tài)類(lèi)題

何彥雨 李富恩 陳 菁

(1. 北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083； 2. 澳門(mén)城市大學(xué)教育學(xué)院,澳門(mén) 999078；3. 華北油田第三中學(xué),河北 任丘 062552)

1 原題呈現(xiàn)

圖1 2020年全國(guó)Ⅰ卷18題圖

答案: (C)．

2 動(dòng)態(tài)圖解法探析

粒子僅受洛倫茲力,在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),

可得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,則有

則對(duì)于給定的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無(wú)關(guān),僅由圓心角決定,軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ越大,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越長(zhǎng)．筆者通過(guò)改變圓的半徑來(lái)解決該問(wèn)題,粒子垂直ac射入磁場(chǎng),軌跡圓心必在ac這條直線(xiàn)上,現(xiàn)將粒子的軌跡半徑由0逐漸放大分別進(jìn)行討論．

(a)

當(dāng)0.5R

粒子運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為

故選(C)．

圖3 當(dāng)0.5R

另外,在解答本題時(shí)如果沒(méi)有考慮到“動(dòng)態(tài)圖”的幾何解題方法,那么采用較為常規(guī)的代數(shù)方法來(lái)求解函數(shù)極值的亦可,利用余弦定理來(lái)求得此題目中函數(shù)極值確定時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)的軌跡圓心位置．

圖4 運(yùn)動(dòng)軌跡各邊角示意圖

如圖4所示,由余弦定理可得

R2=r2+(2R-r)2-2r(2R-r)cosθ.

化簡(jiǎn)可得

所以,當(dāng)r=R時(shí)上列式子有最小值,即θ有最大值．因此當(dāng)軌跡半徑等于R時(shí)軌跡圓心角最大．

3 原題呈現(xiàn)

圖5 2020年全國(guó)Ⅰ卷25題圖

(2020年全國(guó)Ⅰ卷第25題)在一柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng),柱的橫截面積是以O(shè)為圓心,半徑為R的圓,AB為圓的直徑,如圖5所示．質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的帶電粒子在紙面內(nèi)自A點(diǎn)先后以不同的速度進(jìn)入電場(chǎng),速度方向與電場(chǎng)的方向垂直．已知?jiǎng)傔M(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度為0的粒子,自圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出電場(chǎng),AC與AB的夾角θ=60°．運(yùn)動(dòng)中粒子僅受電場(chǎng)力作用．求:

(1) 求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小;

(2) 為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)后的動(dòng)能增量最大,該粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度應(yīng)為多大?

注:由于本題第(3)問(wèn)不涉及動(dòng)態(tài)問(wèn)題,所以暫不展示．

4 動(dòng)態(tài)圖解法探析

(1) 由題意知粒子在A點(diǎn)速度為0,它將會(huì)沿著電場(chǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng),因?yàn)閝>0,故電場(chǎng)線(xiàn)的方向由A指向C,由題中條件分析可知

xAC=R.

由動(dòng)能定理

解得

圖6 動(dòng)態(tài)圖解法粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖

(2) 由題意可知,粒子動(dòng)能增量最大,則它必然沿電場(chǎng)線(xiàn)方向移動(dòng)距離最多,粒子的初速度與電場(chǎng)線(xiàn)垂直,則它將做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng),以?huà)伋鳇c(diǎn)為原點(diǎn),初速度的方向?yàn)閤軸正方向,電場(chǎng)線(xiàn)方向?yàn)閥軸正方向建立如圖所示坐標(biāo)系,任找一條運(yùn)動(dòng)軌跡(初速度較大),與圓周交于一點(diǎn)E,通過(guò)E做x、y軸的平行線(xiàn),與y軸的交點(diǎn)為F,則AF即為沿著電場(chǎng)力方向發(fā)生的位移,逐漸減小初速度,則F點(diǎn)將下移,同時(shí)AF也將增大,當(dāng)EF剛好與圓周相切時(shí),沿電場(chǎng)力方向發(fā)生的位移是最大的,繼續(xù)減小初速度,此位移將開(kāi)始將小,所以E1F1與圓相切時(shí)射出時(shí)沿電場(chǎng)線(xiàn)方向移動(dòng)距離最多,在此圖中,切點(diǎn)即為E1點(diǎn),

根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng),結(jié)合幾何關(guān)系有

x=Rsin60°=v1t，

根據(jù)牛頓第二定律有qE=ma.

聯(lián)立解得粒子剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度

5 題型拓展

動(dòng)態(tài)圖解決高中物理問(wèn)題可應(yīng)用于很多情境中,例如在高中物理經(jīng)典的“小船過(guò)河”題目中,就可以應(yīng)用“動(dòng)態(tài)圖”解法進(jìn)行解決．讓我們來(lái)看下面這個(gè)題目.

已知一條小河的水流速度為v水,小河的寬度為L(zhǎng),船在靜水中的航行速度為v2,當(dāng)v2小于v1時(shí),小船應(yīng)該如何行駛,才能使得小船的航行路程最短?

圖7 “小船過(guò)河”各物理量示意圖

若v船

6 結(jié)語(yǔ)

無(wú)論是力學(xué)部分的題目,還是電學(xué)部分的題目,解決動(dòng)態(tài)物理問(wèn)題的思路都應(yīng)該是緊密加深對(duì)理論知識(shí)的理解,教材中的知識(shí)和定義是考生解決高中物理動(dòng)態(tài)問(wèn)題的有效途徑．從上述題目中可以看出運(yùn)用幾何圖形進(jìn)行表述、分析物理問(wèn)題是高考考查的一個(gè)既定方向．[1]例如上述2020年全國(guó)Ⅰ卷中的第18題,整體思路就是運(yùn)用動(dòng)態(tài)圖的解題方法,找出相關(guān)臨界狀態(tài),從而使問(wèn)題得到解決．在高考復(fù)習(xí)中,我們必須加強(qiáng)對(duì)教材中相關(guān)重要圖像的教學(xué),加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)的培養(yǎng),全面提升學(xué)生作圖、識(shí)圖的能力,從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、樹(shù)立良好的數(shù)理思想、建立物理模型,促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境有更加深入的理解,對(duì)物理過(guò)程有更加透徹的分析,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生高階思維的能力和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)．[2-4]