非飽和雙重孔隙介質(zhì)的勢(shì)函數(shù)本構(gòu)方程及應(yīng)用

胡亞元

(浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州 310058)

隨著對(duì)巖土孔隙尺度分布特征的深入了解，發(fā)現(xiàn)許多巖土材料具有明顯的雙重孔隙結(jié)構(gòu)特征[1-2]。巖土工程界把較小尺寸的孔隙仍稱(chēng)為孔隙，把較大尺寸的孔隙稱(chēng)為裂隙，把具有雙重孔隙結(jié)構(gòu)的巖土材料統(tǒng)稱(chēng)為雙重孔隙介質(zhì)?；旌衔锢碚撌欠秋柡碗p重孔隙介質(zhì)常用的建模方法之一[3-8]。Borja等[3]推導(dǎo)了非飽和雙重孔隙介質(zhì)的能量守恒方程，并根據(jù)功共軛量的力學(xué)性質(zhì)提出采用Skempton型有效應(yīng)力、孔隙內(nèi)修正吸力和孔隙間平均修正吸力作為應(yīng)力狀態(tài)變量來(lái)構(gòu)建非飽和雙重孔隙介質(zhì)的本構(gòu)模型。Zhang等[4]基于Borja等[3]的建議，創(chuàng)建了非飽和雙重孔隙土的橫觀各向同性線彈性方程。Li等[5-6]假定固相和吸附水之間存在質(zhì)量交換，通過(guò)變形功公式中的功共軛對(duì)來(lái)選擇應(yīng)力和應(yīng)變變量，建立非飽和雙重孔隙膨脹土的彈塑性模型，較好地揭示了Alonso等[1]試驗(yàn)呈現(xiàn)出的變形和持水特性。Sanchez等[7]把土應(yīng)變拆分成兩個(gè)獨(dú)立的固相應(yīng)變之和，通過(guò)組合這兩個(gè)固相應(yīng)變的本構(gòu)模型來(lái)建立非飽和雙重孔隙土的彈塑性模型。Guo等[8]把Borja等[3]建立的能量守恒方程轉(zhuǎn)化為采用兩個(gè)固相應(yīng)變和兩個(gè)有效應(yīng)力相共軛表示的形式，建立了非飽和雙重孔隙土的雙有效應(yīng)力彈塑性模型。上述研究有力地推動(dòng)了非飽和雙重孔隙介質(zhì)力學(xué)理論和本構(gòu)模型的發(fā)展。

在非飽和多孔介質(zhì)中，固液氣相的賦存空間均與孔隙狀態(tài)密切相關(guān)。孔隙變形同時(shí)影響固液氣三相的應(yīng)變量，協(xié)調(diào)、傳遞和制約流固之間的耦合作用，在多相耦合機(jī)制中處于舉足輕重的關(guān)鍵紐帶地位[9]。然而在以往的混合物理論研究中，卻沒(méi)有把孔隙變形當(dāng)做一個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變量來(lái)對(duì)待，從而忽略了孔隙變形與各相應(yīng)變之間的內(nèi)在關(guān)系，難以揭示多孔介質(zhì)流固耦合作用的力學(xué)本質(zhì)，限制了多孔介質(zhì)力學(xué)理論的進(jìn)一步深入發(fā)展。胡亞元[9]把孔隙變形作為一個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變量來(lái)對(duì)待，較好地解決了非飽和單重孔隙介質(zhì)流固兩相本構(gòu)關(guān)系之間的耦合問(wèn)題。非飽和雙重孔隙介質(zhì)存在兩種尺度的孔隙類(lèi)型，需要兩個(gè)反映孔隙變形的應(yīng)變來(lái)度量。為了實(shí)現(xiàn)這一目的，本文把雙重孔隙介質(zhì)視為兩個(gè)單重孔隙介質(zhì)的嵌套疊加。如在雙重孔隙土中，內(nèi)含孔隙的團(tuán)聚體是一個(gè)單重孔隙介質(zhì)；把內(nèi)含孔隙的團(tuán)聚體整體視為基質(zhì)，把團(tuán)聚體間裂隙視為單重孔隙，又構(gòu)成單重裂隙介質(zhì)。雙重孔隙土可視為單重裂隙介質(zhì)的基質(zhì)中嵌套單重孔隙介質(zhì)而成。又例如，孔隙-裂隙巖體可視為由含有單重孔隙的完整巖塊作為基質(zhì)，以裂隙作為單重裂隙的裂隙巖體。前一個(gè)單重孔隙介質(zhì)(含孔隙的完整巖塊)作為基質(zhì)嵌套在后一個(gè)單重孔隙介質(zhì)(裂隙巖體)之中。根據(jù)上述嵌套思路，本文首先把固相變形拆分為固相基質(zhì)變形和每個(gè)孔隙率變化引起的固相骨架應(yīng)變之和，然后從混合物理論出發(fā)推導(dǎo)非飽和雙重孔隙介質(zhì)的能量平衡方程，建立了非飽和雙重孔隙介質(zhì)的一般自由能勢(shì)函數(shù)本構(gòu)理論框架。

線彈性模型是巖土工程固結(jié)和波動(dòng)理論中必不可少的本構(gòu)模型，如陳正漢[10]、Fredlund等[11]、周萬(wàn)歡等[12]、胡亞元[13]和Moradi等[14]運(yùn)用線彈性本構(gòu)模型建立了非飽和單重孔隙土的波動(dòng)和固結(jié)理論，用于建筑場(chǎng)地的波動(dòng)和固結(jié)特性分析。Berryman等[15]、Khalili等[16]和Yang等[17]利用線彈性本構(gòu)模型研究了飽和雙重孔隙場(chǎng)地的波動(dòng)和固結(jié)特性。本文的另一項(xiàng)研究工作是從自由能勢(shì)函數(shù)本構(gòu)方程出發(fā)，推導(dǎo)了非飽和雙重孔隙介質(zhì)的線彈性本構(gòu)方程，并運(yùn)用它建立了膨潤(rùn)土的固結(jié)控制方程。根據(jù)本文研究成果，能夠較方便地建立非飽和雙重孔隙介質(zhì)波動(dòng)和固結(jié)方程。

1 質(zhì)量、動(dòng)量和動(dòng)量矩守恒方程

1.1 雙重孔隙介質(zhì)的組分占比指標(biāo)

雙重孔隙介質(zhì)由固相基質(zhì)(在土力學(xué)中也稱(chēng)為土顆粒)，孔隙(或小孔隙)和裂隙(或大孔隙)組成，在孔隙和裂隙中各含有液體和氣體。設(shè)固相用S表示，孔隙用P表示，裂隙用F表示，液相用L表示，氣相用G表示。PL和PG分別表示孔隙中的液相和氣相；而FL和FG分別表示裂隙中的液相和氣相。把裂隙視為廣義的孔隙，令β為孔隙類(lèi)別指標(biāo)，β∈{P,F}，當(dāng)β=P時(shí)為孔隙，而β=F時(shí)為裂隙；γ為流相類(lèi)別指標(biāo)，γ∈{L,G}，當(dāng)γ=L時(shí)為液相，而γ=G時(shí)為氣相。φ表示體積分?jǐn)?shù)，有：

(1)

1.2 質(zhì)量守恒

根據(jù)混合物理論，把混合物各組分按體積分?jǐn)?shù)平均到整個(gè)混合物空間后，固相、裂隙和孔隙中液相和氣相共同連續(xù)地占有非飽和雙重介質(zhì)混合物的空間位置。令α為組成非飽和雙重孔隙介質(zhì)的組分指標(biāo)，α∈{S,PL,PG,FL,FG}，設(shè)第α組分的初始位置為Xa，在當(dāng)前t時(shí)刻的空間位置為x，則每一組分的運(yùn)動(dòng)方程可表示為x=xα(Xα,t)，速度可表示為vα=dxα(Xα,t)/dt，加速度可表示為aα=d2xα(Xα,t)/dt2。對(duì)于定義在x和t上的標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)Γα，基于α組分的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義為

(dαΓα/dt)=(?Γα/?t)+gradΓα·vα

(2)

假定固相、液相和氣相之間不存在質(zhì)量交換，但裂隙液相與孔隙液相以及裂隙氣相與孔隙氣相間存在質(zhì)量交換，各組分的質(zhì)量守恒方程為：

(dSρS/dt)+ρSdivvS=0

(3)

(dβγρβγ/dt)+ρβγdivvβγ=cβγ

(4)

式中β∈{P,F}和γ∈{L,G}，下同；cβγ表示β孔隙中γ流相的質(zhì)量交換率，有

(5)

把固相作為非飽和雙重孔隙介質(zhì)混合物的參考構(gòu)形，令β孔隙中γ流相相對(duì)固相的擴(kuò)散速度為Wβγ=vβγ-vS。把它和ρβγ=φβγρRβγ代入式(4)得

Wβγgradφβγ-(cβγ/ρRβγ)=0

(6)

(7)

(8)

(9)

把式(8)減去式(9)得

(10)

1.3 動(dòng)量和動(dòng)量矩守恒

令σ為非飽和雙重孔隙介質(zhì)混合物的Cauchy總應(yīng)力張量，σS為固相組分的Cauchy應(yīng)力張量，σβγ為β孔隙中γ流相組分的Cauchy應(yīng)力張量，有

(11)

令I(lǐng)為二階單位張量，注意到在混合物中應(yīng)力以拉為正而壓力以壓為正，故非飽和雙重孔隙介質(zhì)混合物上的總壓力為PT=-σ∶I/3；固相基質(zhì)所受的真實(shí)壓力為PS=-σS∶I/(3φS)，β孔隙中γ流相的孔壓為PβγI=-σβγ/φβγ，由式(11)得

(12)

圖1給出了非飽和雙重孔隙介質(zhì)中孔隙和裂隙介質(zhì)的結(jié)構(gòu)層次關(guān)系和應(yīng)力關(guān)系。圖1(a)為非飽和雙重孔隙介質(zhì)單元體，圖1(b)顯示了非飽和雙重孔隙介質(zhì)總壓力與各組分壓力關(guān)系式(12)的力學(xué)內(nèi)涵。

圖1 非飽和雙重孔隙介質(zhì)特征單元體示意Fig.1 Schematic diagram of representative volume element of unsaturated double-porosity media

把作為裂隙介質(zhì)基質(zhì)的孔隙介質(zhì)視為一個(gè)單獨(dú)的混合物來(lái)進(jìn)行分析。非飽和孔隙介質(zhì)的應(yīng)力等于組成非飽和孔隙介質(zhì)的各組分應(yīng)力之和：

(13)

(14)

圖1(c)顯示了從非飽和雙重孔隙介質(zhì)隔離出來(lái)的非飽和孔隙介質(zhì)單元體，圖1(d)圖顯示了非飽和孔隙介質(zhì)總壓力和各組分壓力關(guān)系式(14)的力學(xué)內(nèi)涵。

(15)

(16)

假定第α組分的動(dòng)量矩供應(yīng)量為0，則由動(dòng)量矩平衡方程可得σα應(yīng)力張量是對(duì)稱(chēng)張量。

2 能量平衡方程

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式(20)～(21)表明，DC與孔隙介質(zhì)在裂隙介質(zhì)中的體積分?jǐn)?shù)有關(guān)，孔隙介質(zhì)是裂隙介質(zhì)的基質(zhì)，在裂隙介質(zhì)中起到骨架作用，故DC稱(chēng)為裂隙骨架變形率。同理DH稱(chēng)為孔隙骨架變形率。知道DC和DH的力學(xué)內(nèi)涵后，式(19)所表示的能量守恒方程的物理內(nèi)涵就變得十分明顯。式(19)等式右邊的前兩項(xiàng)表示的是與裂隙骨架及吸力相關(guān)的變形能，第三四項(xiàng)(即第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的那兩項(xiàng))表示的與孔隙骨架及吸力相關(guān)的變形能，第五項(xiàng)為各組分基質(zhì)引起的變形能，第六七項(xiàng)是非飽和雙重孔隙介質(zhì)各組分內(nèi)部相互作用引起的能量耗散，最后三項(xiàng)為熱傳遞和熱交換引起的能量變化。

從式(19)推導(dǎo)過(guò)程可知，固相變形率DS被分解成三部分：DC、DH和固相基質(zhì)體應(yīng)變率dS?S/dt。在單重裂隙介質(zhì)中，裂隙介質(zhì)基質(zhì)的體積分?jǐn)?shù)和裂隙體積分?jǐn)?shù)之和等于1，故DC也與裂隙介質(zhì)中裂隙體積分?jǐn)?shù)的變化相關(guān)。同理DH也與孔隙介質(zhì)的孔隙體積分?jǐn)?shù)變化相關(guān)。這種變形分解方式有利于突出孔隙變形在多孔介質(zhì)力學(xué)多場(chǎng)耦合機(jī)制中的紐帶作用。固相應(yīng)變的上述嵌套分解結(jié)果也可以采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)變形梯度的極分解理論來(lái)解釋。如圖2所示，把雙重孔隙介質(zhì)視為以孔隙介質(zhì)為基質(zhì)的裂隙介質(zhì)，故固相變形梯度可分解為孔隙介質(zhì)變形梯度和裂隙骨架變形梯度的乘積；再把孔隙介質(zhì)視為由固相基質(zhì)與孔隙組成，故孔隙介質(zhì)變形梯度可分解為固相基質(zhì)變形梯度與孔隙骨架變形梯度的乘積。

圖2 雙重孔隙介質(zhì)變形梯度示意Fig.2 Schematic diagram of deformation gradient of double-porosity media

(22)

3 小應(yīng)變線彈性本構(gòu)方程

在小應(yīng)變條件下，令εS為固相應(yīng)變張量ES的近似值，εC為裂隙骨架應(yīng)變張量UC的近似值，εH為孔隙骨架應(yīng)變張量EH的近似值，有：

εS=εC+εH-(?S/3)I

(23)

εC=[(?uC/?XS)+(?uC/?XS)T]/2

(24)

εH=[(?uH/?XS)+(?uH/?XS)T]/2

(25)

?S=ln(ρRS/ρRS0)≈(ρRS-ρRS0)/ρRS0

(26)

εVS=εVC+εVH-?S

(27)

注意到dεVC/dt=DC∶I， dεVH/dt=DH∶I。根據(jù)式(20)～(21)并在小應(yīng)變條件下略去高次項(xiàng)得：

εVC=-ln(φSP/φSP0)≈(φSP0-φSP)/φSP0

(28)

(29)

?βγ=ln(ρRβγ/ρRβγ0)≈(ρRβγ-ρRβγ0)/ρRβγ0

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

式中ρβγ0和φβ0分別是β孔隙中γ流相的初始密度和初始體積分?jǐn)?shù)，φSO是固相的初始體積分?jǐn)?shù)，SrPO和SrFO分別是孔隙和裂隙的初始飽和度。從式(27)、式(31)～(34)可以看出，εVS和εVFL、εVFG的計(jì)算式中均含有裂隙骨架體應(yīng)變?chǔ)臯C；εVS和εVPL、εVPG的計(jì)算式中均含有裂隙和孔隙骨架體應(yīng)變?chǔ)臯C和εVH，故εVS與εVFL、εVFG、εVPL、εVPG之間存在耦合作用，它們是通過(guò)εVC和εVH傳遞的。本文選用裂隙和孔隙變形引起的εVC和εVH作為獨(dú)立變量，可以把非飽和雙重孔隙介質(zhì)的耦合機(jī)理通過(guò)顯式表達(dá)式呈現(xiàn)出來(lái)，這是以往的研究中從來(lái)沒(méi)有揭示過(guò)的。定義β孔隙中γ流相的滲入量為ζβγ=φβγ0(εVS-εVβγ)，利用式(27)和式(31)～(34)可得ζβγ的表達(dá)式為：

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

能量平衡方程根據(jù)小應(yīng)變條件和式(22)近似等于

(40)

假定受力過(guò)程滿足熱力學(xué)局部平衡假定，則內(nèi)能可表示為ξ=ξ(η,εC,εH,Srβ,?α)，對(duì)ξ求全微分后由式(40)和理性力學(xué)的Coleman關(guān)系可得：

(41)

(42)

(43)

引入Helmhotlz自由能ψ=ψ(θ,εC,εH,Srβ,?α)，它與內(nèi)能之間的關(guān)系為ψ=ξ-θη，對(duì)ψ求全微分后由式(41)～(42)得：

(44)

(45)

式(44)～(45)中的ψ是自由能勢(shì)函數(shù)，就熱力學(xué)性質(zhì)而言是可逆的，故式(44)～(45)是非飽和雙重孔隙介質(zhì)的一般彈性本構(gòu)關(guān)系。非飽和雙重孔隙介質(zhì)的粘塑性力學(xué)特性可以根據(jù)非平衡態(tài)熱力學(xué)從式(43)獲得，相關(guān)研究可借鑒文獻(xiàn)[9]，受篇幅限制本文不擬展開(kāi)研究。

(46)

式中KCC、KHH、Krβζ、Kαχ、KCH、KCrβ、KCα、KHrβ、KHα和KJβα為模型的彈性參數(shù)，Kαχ=Kχα，Krβζ=Krζβ，α,χ∈{S,PL,PG,FL,FG}，β,ζ∈{P,F}。把式(46)代入式(44)～(45)得：

(47)

(48)

(49)

(50)

由于假定溫度保持不變，故式(47)～(50)中不含溫度變量。

在非飽和雙重孔隙介質(zhì)研究中，為了簡(jiǎn)化本構(gòu)方程便于工程實(shí)用，通常假定裂隙和孔隙之間以及它們與各組分基質(zhì)之間的力學(xué)性質(zhì)相互獨(dú)立。此時(shí)由式(47)～(50)可得：

(51)

(52)

(53)

(54)

Pα=KRα?α

(55)

式中KRα=Kαα/φα0表示各組分基質(zhì)的體積模量。假定非飽和雙重孔隙介質(zhì)為各向同性材料，則KCC、KHH、KCrF和KCrP的具體表達(dá)式為：

(56)

(57)

(58)

(59)

式中I為二階單位張量，I4為四階單位張量，式中υC和EC分別是裂隙骨架的泊松比和彈性模量，υH和EH分別是孔隙骨架的泊松比和彈性模量，HCF和HrF分別為裂隙有效應(yīng)力和吸力對(duì)裂隙飽和度的彈性模量，HHP和HrP分別為孔隙有效應(yīng)力和吸力對(duì)孔隙飽和度的彈性模量。ζF和ζP按下式計(jì)算：

(60)

令KC=EC/[3(1-2υC)]和KH=EH/[3(1-2υH)]分別為裂隙和孔隙骨架的體積模量，Eb和υb為：

(61)

(62)

令Kb=Eb/[3(1-2υb)]。把式(56)～(59)代入到式(51)～(54)，對(duì)式(51)～(55)求逆后代入式(23)和式(35)～(38)，并把它們轉(zhuǎn)化為用σ和Pβγ表示的形式：

(63)

ζFL=-A12PT+(A22+φFL0/KRFL)PFL+A23PFG+

(64)

ζFG=-A13PT+A23PFL+(A33+φFG0/KRFG)PFG+

(65)

ζPL=-A14PT+A24PFL+A34PFG+(A44+

(66)

ζPG=-A15PT+A25PFL+A35PFG+A45PPL+

(67)

式中：

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

cFL、cFG、cPL和cPG根據(jù)文獻(xiàn)[8]的研究可表示為：

cFL=-cPL=ξL(PPL-PFL)

(82)

cFG=-cPG=ξG(PPG-PFG)

(83)

式(63)～(67)是小應(yīng)變各向同性線彈性條件下非飽和雙重孔隙介質(zhì)的固相本構(gòu)方程、裂隙和孔隙中液氣兩相的滲入量本構(gòu)方程。不難驗(yàn)證：1)當(dāng)非飽和雙重孔隙介質(zhì)退化為飽和雙重孔隙介質(zhì)時(shí)，φFG0、φPG0、sF、sP、1/HCF、1/HHP、1/HrP和1/HrF均為0，SrP0和SrF0等于1，把它們代入到式(63)～(64)和式(66)后可獲得Khalili線彈性方程；2)當(dāng)忽略孔隙只考慮裂隙，非飽和雙重孔隙介質(zhì)變?yōu)榉秋柡蛦沃乜紫督橘|(zhì)時(shí)，PPL、PPG、cFL、cPL、cFG、cPG、 1/EH、 1/KH和1/HrP均為0，把它們代入式(63)～(65)可得到非飽和單重孔隙介質(zhì)線彈性方程[13]，這說(shuō)明當(dāng)雙重孔隙退化為單重孔隙或非飽和退化為飽和時(shí)，非飽和雙重孔隙介質(zhì)的線彈性本構(gòu)方程可退化為相應(yīng)介質(zhì)的線彈性本構(gòu)方程。

把應(yīng)力用應(yīng)變表示時(shí)式(63)～(67)可變換得：

A13KbPFGI-A14KbPPLI-A15KbPPGI

(84)

(A23-A12A13Kb)PFG+(A24-A12A14Kb)PPL+

(85)

ζFG=A13KbεS∶I+(A23-A12A13Kb)PFL+

(A34-A13A14Kb)PPL+(A35-A13A15Kb)PPG-

(86)

ζPL=A14KbεS∶I+(A24-A12A14Kb)PFL+

(87)

ζPG=A15KbεS∶I+(A25-A12A15Kb)PFL+

(A35-A13A15Kb)PFG+(A45-A14A15Kb)PPL+

(88)

4 算例

4.1 基于本文理論的膨潤(rùn)土試驗(yàn)結(jié)果分析

在高放廢物深埋處置庫(kù)的概念設(shè)計(jì)中，需要采用膨潤(rùn)土作緩沖材料充填于廢物罐和圍巖之間，阻止核素隨地下水遷移。經(jīng)過(guò)研究比選，我國(guó)采用高廟子膨潤(rùn)土作為核廢料處置庫(kù)的緩沖材料。由于膨潤(rùn)土存在聚集體內(nèi)的孔隙和顆粒間的裂隙，許多學(xué)者采用雙重孔隙介質(zhì)來(lái)建立膨潤(rùn)土的本構(gòu)模型[6,8,18]。在這些模型中，大多根據(jù)孔隙水的性質(zhì)，把孔隙視為被水飽和而裂隙被水部分飽和[6,8,18]，本文也遵循這一性質(zhì)。

Morena等[18]假定當(dāng)吸力大于20 MPa時(shí)膨潤(rùn)土只有孔隙含水而裂隙不含水，總結(jié)了中國(guó)學(xué)者[19-20]研究高廟子膨潤(rùn)土的系列試驗(yàn)成果。筆者在Morena等[18]研究基礎(chǔ)之上，結(jié)合本文理論模型，重新整理了高廟子膨潤(rùn)土的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。試驗(yàn)時(shí)膨潤(rùn)土固相、裂隙和孔隙體積分?jǐn)?shù)為φS0=0.642、φF0=0.179和φP0=0.179，飽和孔隙骨架應(yīng)變及其有效應(yīng)力的關(guān)系見(jiàn)圖3，飽和裂隙骨架應(yīng)變及其有效應(yīng)力的關(guān)系見(jiàn)圖4，裂隙飽和度與膨脹應(yīng)變之間的關(guān)系見(jiàn)圖5。

圖3 孔隙骨架豎向應(yīng)變隨孔隙豎向有效應(yīng)力變化Fig.3 Pore skeleton vertical strain changes with pore vertical effective stress

圖4 裂隙骨架豎向應(yīng)變隨裂隙豎向有效應(yīng)力變化Fig.4 Fracture skeleton vertical strain changes with fracture vertical effective stress

圖5 裂隙膨脹應(yīng)變隨裂隙吸力變化Fig.5 Fracture swelling strain changes with fracture suction

裂隙土水特征曲線符合Van Genuchten模型：SrF=[1+(αSF)n]-m，式中m=0.825、n=1/(1-m)和α=2.16×10-4kPa-1。從圖3～5可以看出，膨潤(rùn)土應(yīng)力與應(yīng)變存在較明顯的非線性關(guān)系。根據(jù)圖3、4和本文理論可得飽和排水條件下膨潤(rùn)土應(yīng)變隨總應(yīng)力的變化曲線見(jiàn)圖6。圖6也給出根據(jù)單重孔隙介質(zhì)理論獲得的膨潤(rùn)土應(yīng)變隨總應(yīng)力曲線，從圖6可以看出本文提出的雙重孔隙介質(zhì)理論比較符合試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖6 膨潤(rùn)土豎向應(yīng)變隨豎向總應(yīng)力變化Fig.6 Bentonite vertical strain changes with vertical total stress

線彈性本構(gòu)模型由于物理概念清楚，數(shù)學(xué)關(guān)系簡(jiǎn)單，因此常用割線模量來(lái)近似建立土體的線彈性模型。泊松比按經(jīng)驗(yàn)值取為0.3，根據(jù)圖3～5提供的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和割線模型的計(jì)算方法，利用完全側(cè)限試驗(yàn)的性質(zhì)，膨潤(rùn)土裂隙和孔隙骨架的力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 非飽和雙重孔隙膨潤(rùn)土MX80試樣的模型參數(shù)Tab.1 Model parameters of sample MX80 for unsaturated double-porosity bentonite

圖4給出的是飽和條件下獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，非飽和條件下的楊氏模量比飽和條件下的有所提高，兩者可根據(jù)Alonso等[1]提出的計(jì)算公式進(jìn)行換算[18]：EC(sF)=EC(0)/[0.836+0.164exp(-0.7sF)]，本算例裂隙吸力平均值約為1.2 MPa，故取吸力sF=1.2 MPa時(shí)的模量作為裂隙骨架的割線模量。試驗(yàn)表明[21]高廟子膨潤(rùn)土中水的滲透系數(shù)為5×10-11m/s，氣體的滲透系數(shù)為5×10-10m/s，由于孔隙假定飽和，無(wú)需KRPG值，故表中未給出相應(yīng)值。根據(jù)表1和式(61)～(62)可得Eb=61 MPa，υb= 0.3，Kb=50.9 MPa。

4.2 核廢料緩沖材料的軸對(duì)稱(chēng)固結(jié)控制方程

現(xiàn)在應(yīng)用本文的線彈性本構(gòu)方程來(lái)建立膨潤(rùn)土作為核廢料儲(chǔ)藏罐的固結(jié)方程。把膨潤(rùn)土緩沖設(shè)置簡(jiǎn)化為圓柱軸對(duì)稱(chēng)模型來(lái)分析，由于核廢料儲(chǔ)藏罐的體積較小，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，把膨潤(rùn)土視為實(shí)心圓柱體。注意到固結(jié)方程不考慮加速度和體力，首先把式(15)～ (16)按所有相相加得

divσ=0

(89)

在軸對(duì)稱(chēng)條件下，由式(89)可得

(?σr/?r)+(σr-σθ)/r=0

(90)

(Kβγ/γw)Pβγ+nβγ0Wβγ=0

(91)

對(duì)式(91)求散度后應(yīng)用ζβγ的定義并寫(xiě)成軸對(duì)稱(chēng)形式得

(92)

假定固相和水基質(zhì)不可壓縮，孔隙被水飽和而裂隙被水部分飽和，把這些條件代入到式(84)～(88)后利用εr=?u/?r、εθ=u/r、式(90)和式(92)得：

(93)

(94)

(95)

(96)

式中θ=-(?u/?r+u/r)。設(shè)膨潤(rùn)土半徑為R，由于線性系統(tǒng)的解答與土的初始應(yīng)力無(wú)關(guān)，初始條件可等效地設(shè)置為：

ζβγ=0，Pβγ(R,t)=0，us(0,t)=0

(97)

(98)

式中p為作用在半徑R處圓柱體外側(cè)的外荷載，式(93)～(98)即是軸對(duì)稱(chēng)條件下的固結(jié)控制方程和初邊值條件，如在推導(dǎo)式(93)～(98)方程中加上加速度項(xiàng)，就可以獲得波動(dòng)控制方程。式(93)～(98)固結(jié)控制方程極其復(fù)雜，求解十分困難，但可以采用數(shù)值方法如差分法進(jìn)行求解。

5 結(jié) 論

1)在考慮固相和流相基質(zhì)變形的條件下，用嵌套思路推導(dǎo)了非飽和雙重孔隙介質(zhì)的能量平衡方程。根據(jù)內(nèi)能表達(dá)式中功共軛對(duì)的力學(xué)內(nèi)涵揭示非飽和雙重孔隙介質(zhì)本構(gòu)模型的應(yīng)變狀態(tài)變量為裂隙和孔隙骨架應(yīng)變，裂隙和孔隙飽和度和各組分基質(zhì)體應(yīng)變；相應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)變量為裂隙和孔隙有效應(yīng)力，裂隙和孔隙吸力和各組分基質(zhì)壓力。

2)在小應(yīng)變條件下，把固相應(yīng)變分解為裂隙骨架應(yīng)變、孔隙骨架應(yīng)變和固相基質(zhì)體應(yīng)變之和。根據(jù)熱力學(xué)局部平衡假定，獲得非飽和孔隙介質(zhì)的一般自由能勢(shì)函數(shù)本構(gòu)方程。取自由能勢(shì)函數(shù)為狀態(tài)變量的二次多項(xiàng)式，獲得非飽和雙重孔隙介質(zhì)的線彈性本構(gòu)模型。然后根據(jù)混合物均勻化響應(yīng)原理獲得各向同性線彈性本構(gòu)方程。根據(jù)土工試驗(yàn)獲得了非飽和膨潤(rùn)土線彈性本構(gòu)方程的模型參數(shù)。

3)把本文獲得的非飽和雙重孔隙介質(zhì)的各向同性線彈性本構(gòu)模型退化為飽和雙重孔隙介質(zhì)和非飽和單重孔隙介質(zhì)情形，可以獲得與前人相同的各向同性線彈性本構(gòu)模型。把非飽和雙重孔隙介質(zhì)線彈性本構(gòu)方程與平衡方程和達(dá)西定理相結(jié)合，建立了非飽和膨潤(rùn)土的軸對(duì)稱(chēng)固結(jié)控制方程，可用于非飽和膨潤(rùn)土防滲緩沖層的固結(jié)特性分析。