旋轉(zhuǎn)球體下落問題的研究
——2020 年北京高考物理第14 題釋疑

江俊勤 姜付錦

(1. 廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系, 廣東 廣州 510303; 2. 湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué),湖北 武漢 430300)

1 高考原題簡述

在無風(fēng)的環(huán)境里,某人在高處釋放靜止的籃球,籃球豎直下落;如果先讓籃球以一定的角速度繞過球心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖1所示)再釋放,則籃球在向下掉落過程中偏離豎直方向做曲線運(yùn)動(dòng). 其原因是,轉(zhuǎn)動(dòng)的籃球在運(yùn)動(dòng)過程中除受重力外,還受到空氣施加的阻力f1和偏轉(zhuǎn)力f2. 這兩個(gè)力與籃球速度v的關(guān)系大致為:f1=k1v2,方向與籃球運(yùn)動(dòng)方向相反;f2=k2v,方向與籃球運(yùn)動(dòng)方向垂直.下列說法正確的是

圖1 下落前的旋轉(zhuǎn)籃球

(A)k1、k2是與籃球轉(zhuǎn)動(dòng)角速度無關(guān)的常數(shù).

(B) 籃球可回到原高度且角速度與釋放時(shí)的角速度相同.

(C) 人站得足夠高,落地前籃球有可能向上運(yùn)動(dòng).

(D) 釋放條件合適,籃球有可能在空中持續(xù)一段水平直線運(yùn)動(dòng).

這是北京市2020年高考(普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試)物理第14題,考查的知識點(diǎn)包括牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)的分解與合成、機(jī)械能守恒和流體壓強(qiáng)(馬格努斯力)等.選項(xiàng)(A)和(B)容易排除,在了解f1和f2的特點(diǎn)后也不難排除選項(xiàng)(D);從考試答題角度講,答案無疑就是選項(xiàng)(C)了.然而,人們對于選項(xiàng)(C)仍然存在疑惑:難道落地前籃球能否向上運(yùn)動(dòng)取決于人所站的高度?而不是籃球的轉(zhuǎn)速?為了解答這種疑惑,本文利用通用軟件Mathematica研究不同轉(zhuǎn)速對籃球下落運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響.

2 馬格努斯力與旋轉(zhuǎn)球體的運(yùn)動(dòng)方程

球旋轉(zhuǎn)時(shí)會帶著與它接觸的那部分空氣一起旋轉(zhuǎn),形成一個(gè)跟球一起旋轉(zhuǎn)的附著空氣層.這樣,球一側(cè)的附著層中空氣的運(yùn)動(dòng)方向與相對于球體的氣流方向相同,而另一側(cè)則相反,從而球的一側(cè)氣流運(yùn)動(dòng)速度比另一側(cè)的大.根據(jù)流體力學(xué)原理,氣流運(yùn)動(dòng)速度較大的一側(cè)壓力較小,氣流運(yùn)動(dòng)速度較小的一側(cè)壓力較大.球兩側(cè)壓力不同,使球的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生偏轉(zhuǎn).這種效應(yīng)是德國物理學(xué)家馬格努斯(H.Magnus)發(fā)現(xiàn)的,故稱之為“馬格努斯效應(yīng)”.馬格努斯效應(yīng)在足球、乒乓球、網(wǎng)球和棒球等運(yùn)動(dòng)中也得到廣泛應(yīng)用.相應(yīng)的作用力稱為馬格努斯力.

籃球受重力、空氣阻力和馬格努斯力的共同作用.空氣阻力為

(1)

式中,k為比例系數(shù),由籃球的半徑r、空氣密度ρ和阻力系數(shù)c共同決定:k=(1/2)cπρr2.

馬格努斯力的大小和方向由下式給出

(2)

由牛頓第二定律得球心(x,y,z)的運(yùn)動(dòng)方程

λ(ωxy′-ωyx′)-mg.

(3)

式中,m為球的質(zhì)量,λ=(8/3)πρr3.

物理常數(shù)分別為ρ=1.29kg/m3,c=0.5,g=9.8m/s2;籃球的質(zhì)量m和半徑r取國際標(biāo)準(zhǔn)值m=0.60kg,r=0.123m.所以只要給定籃球初始位置(初始速度為0)和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω,式(3)就是一個(gè)定解問題,使用通用軟件Mathematica容易得到籃球在向下掉落過程中偏離豎直方向的運(yùn)動(dòng)軌跡.

3 數(shù)字化研究

設(shè)t時(shí)刻籃球的角速度為ω,取y軸在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上(如圖1所示),z軸豎直向上,x軸垂直于紙面向外,則ω=-ωj,即ωy=-ω,ωx=ωz=0;為了讓籃球有足夠的下落空間,取z的初值(即人所站高度)為100 m.

設(shè)籃球繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,初始角速度為ω0,所受空氣阻力矩M正比于轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,比例常數(shù)為η,則t時(shí)刻籃球的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度滿足

令μ=η/I,得籃球角速度隨時(shí)間t的變化規(guī)律

ω=ω0e-μt.

(4)

給定ω0和μ的值,把ω=-ωj和(4)式代入(3)式,就可求球心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

3.1 忽略空氣阻力矩的情形(μ=0)

記ω0=2πn,n為籃球初始轉(zhuǎn)速,當(dāng)n=8r/s時(shí),20s內(nèi)籃球速度各分量的變化規(guī)律如圖2所示.vy=0說明籃球始終在xoz平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),圖3給出了20s內(nèi)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡,圖2和圖3都表明:當(dāng)n=8r/s時(shí)落球很快就出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的情況(vz>0)而且后面還會出現(xiàn)兩次,具體的數(shù)據(jù)是下落高度只需6.9566m就出現(xiàn)第一次向上運(yùn)動(dòng),歷時(shí)2.03461s;n越大出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)所需落差越小、次數(shù)越多.

當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時(shí),不論人站多高(不論落差多大),都不可能出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的情況,當(dāng)n=3.5r/s時(shí)就是這種情況,籃球從釋放到著地的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示;落球能否出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)主要取決于轉(zhuǎn)速n,n存在分界值(臨界點(diǎn)),當(dāng)μ=0時(shí)臨界值在n=5.1r/s附近,當(dāng)n=5.1r/s時(shí)20s內(nèi)籃球速度各分量變化規(guī)律如圖5所示,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示,在4.4s附近vz取最大值、最大值約等于0.

圖2 不計(jì)空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=8r/s時(shí)20s內(nèi)籃球各速度分量的變化規(guī)律

圖3 不計(jì)空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=8r/s時(shí)20s內(nèi)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 不計(jì)空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=3.5r/s時(shí)籃球從釋放到著地(歷時(shí)18.2898s)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5 不計(jì)空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=5.1r/s時(shí)20s內(nèi)籃球各速度分量的變化規(guī)律

圖6 不計(jì)空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=5.1r/s時(shí)20s內(nèi)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡

3.2 空氣阻力矩對籃球軌跡的影響(μ≠0)

更切合實(shí)際的情形是旋轉(zhuǎn)籃球下落過程受空氣阻力矩作用,轉(zhuǎn)速慢慢減小,本文取μ=0.05,20s內(nèi)籃球角速度從ω0減小為ω0/e.當(dāng)n=8r/s和μ=0.05時(shí),20s內(nèi)籃球速度各分量變化規(guī)律如圖7所示,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示,出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的落差和時(shí)間都略有增加,落差為7.7698m、歷時(shí)2.25466s,而且只出現(xiàn)一次向上運(yùn)動(dòng)的情況.這就是說,由于受空氣阻力矩作用,要使籃球下落過程出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的情況,需要在釋放前給予籃球更大的轉(zhuǎn)速,當(dāng)n=6.3r/s和m=0.05時(shí),20s內(nèi)籃球速度各分量變化規(guī)律如圖9所示,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示,出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)情況的轉(zhuǎn)速臨界點(diǎn)在n=6.3r/s附近.

圖7 考慮空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=8r/s時(shí)20s內(nèi)籃球各速度分量的變化規(guī)律

圖8 考慮空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=8r/s時(shí)20s內(nèi)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖9 考慮空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=6.3r/s時(shí)20s內(nèi)籃球各速度分量的變化規(guī)律

圖10 考慮空氣阻力矩,當(dāng)轉(zhuǎn)速n=6.3r/s時(shí)20s內(nèi)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡

此外,圖7顯示在20s末vx仍然處于增長狀態(tài),這是由于vz持續(xù)長而ω還比較大決定的,隨著籃球繼續(xù)下落,ω繼續(xù)減小,vx在24.2204s處開始減小;對于較小的轉(zhuǎn)速n=6.3r/s,vx則是在19.4159s處就開始減小的,如圖9所示.

4 結(jié)論和討論

北京市2020年高考(普通高中學(xué)業(yè)水平等級性考試)物理第14題,以從高處釋放旋轉(zhuǎn)籃球的生活場景為素材,通過給定新知識,考查考生結(jié)合已有知識,并學(xué)習(xí)和應(yīng)用新知識解釋客觀世界物理現(xiàn)象、探究物理問題的能力,集應(yīng)用性、綜合性和創(chuàng)新性為一身,是難得的好題目.但是題目關(guān)于“正確”答案的選項(xiàng)(C)的表述存在欠妥之處,會產(chǎn)生誤導(dǎo),誤以為落地前籃球能否向上運(yùn)動(dòng)取決于人所站的高度,而不是取決于籃球的轉(zhuǎn)速.為了消除誤解,我們利用通用軟件Mathematica研究不同轉(zhuǎn)速對籃球下落運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響.由于籃球的質(zhì)量m和半徑r取實(shí)際數(shù)據(jù)并考慮了空氣阻力矩的作用,本文的數(shù)字結(jié)果能描述旋轉(zhuǎn)落球的實(shí)際情況,并對該高考題的表述所產(chǎn)生的疑惑做出解釋.主要結(jié)論如下.

(1) 如果籃球轉(zhuǎn)速足夠大,則落差較小就可以實(shí)現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的情況而且會多次出現(xiàn),轉(zhuǎn)速n越大、出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)所需的落差就越小.當(dāng)n=8r/s和μ=0(即不計(jì)空氣阻力矩的影響)時(shí),下落高度只需6.9566m就出現(xiàn)第一次向上運(yùn)動(dòng),歷時(shí)2.03461s(后面還會有第二次甚至第三次向上運(yùn)動(dòng));更多的模擬表明,如果轉(zhuǎn)速提高到n=15r/s,則下落高度只需1.9652m就出現(xiàn)第一次向上運(yùn)動(dòng),歷時(shí)1.01675s,接著會在該高度附近反復(fù)多次出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的情形,類似于減幅振動(dòng).

(2) 如果籃球轉(zhuǎn)速n不夠大,則不論落差多大(即不論人站得多么高)都不能實(shí)現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的情況;能否向上運(yùn)動(dòng)主要取決于籃球轉(zhuǎn)速n,它存在一個(gè)分界值(臨界點(diǎn)),當(dāng)不計(jì)空氣阻力矩的影響時(shí),籃球轉(zhuǎn)速分界值在n=5.1r/s附近.當(dāng)n<5.1r/s時(shí),不會出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的情況.

(3) 空氣阻力矩對實(shí)際的旋轉(zhuǎn)落球運(yùn)動(dòng)軌跡也有明顯的影響,以μ=0.05為例,20s內(nèi)籃球角速度從ω0減小為ω0/e,為了使籃球出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)的情況,需要在釋放前給予籃球更大的轉(zhuǎn)速,臨界轉(zhuǎn)速從n=5.1r/s附近提高到n=6.3r/s附近;當(dāng)n=8r/s和μ=0.05時(shí),落球出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的落差從6.9566m增加7.7698m,而且全程只能出現(xiàn)一次向上運(yùn)動(dòng)的情況.

綜上所述,決定落球能否向上運(yùn)動(dòng)的主要條件是籃球的轉(zhuǎn)速夠不夠高,而非人所站的高度夠不夠;如果籃球的轉(zhuǎn)速足夠大則落差很小就出現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng)情況,如果籃球的轉(zhuǎn)速不夠大(低于臨界轉(zhuǎn)速)則人站得再高也無法實(shí)現(xiàn)向上運(yùn)動(dòng).該考題答案(C)的表述宜去掉“人站得足夠高”,直接改為“(C) 落地前籃球有可能向上運(yùn)動(dòng)”;或者改為“(C) 若轉(zhuǎn)速足夠高,落地前籃球會向上運(yùn)動(dòng)”.