磁場對二元合金凝固過程中糊狀層穩(wěn)定性的影響*

范海龍 陳明文

(北京科技大學數(shù)理學院， 北京 100083)

1 引 言

在合金的凝固過程中由于成分過冷(constitutional supercooling)的存在， 界面會出現(xiàn)不穩(wěn)定性[1，2].這種不穩(wěn)定性的進一步演化導致在固相和液相之間出現(xiàn)一種新的形態(tài)， 即糊狀區(qū)[3].糊狀區(qū)可以理解為是由樹枝狀晶體、柱狀晶體和液體組成的一種反應多孔區(qū)域(reactive porous regions)[4].研究糊狀層的穩(wěn)定性對于凝固問題有著重要的意義.在重力場中由于不同成分之間密度差的存在導致流動的產(chǎn)生， 這使得糊狀區(qū)同時受到溫度場、濃度場以及流動的耦合作用.已有一些研究者研究了這些耦合作用下糊狀區(qū)的穩(wěn)定性問題.例如Anderson 和Worster[5]分析了二元合金凝固過程中糊狀層的穩(wěn)定性， 給出了識別振蕩對流不穩(wěn)定性的方法.Guba 和Anderson[6]分析了三元合金定向凝固過程中糊狀層的穩(wěn)定性.該模型包括熱輸運、溶質(zhì)擴散和對流輸運， 并確定了新的對流不穩(wěn)定性， 包括直接模式和振蕩模式.

磁場作為一種非接觸式控制工具為提高產(chǎn)品的質(zhì)量提供了一種便捷且可行的途徑.例如在金屬加工過程中經(jīng)常應用電磁場來提高鋼坯的質(zhì)量[7-10]、改善鑄件的凝固組織[11，12]、減少產(chǎn)品的表面缺陷[13]等.磁場的存在改變了熱輸運和溶質(zhì)輸運， 對凝固過程有著重要的影響.因此研究磁場作用下糊狀區(qū)的動力學行為就顯得至關重要.例如，Riahi[14]研究了垂直磁場對糊狀層中對流的影響.發(fā)現(xiàn)外加磁場可以減弱煙囪(chimney)中的流動，從而減少產(chǎn)品的雀斑缺陷.Muddamallappa 等[15]利用數(shù)值方法研究了二元合金在磁場中的凝固問題.結果表明Chandrasekhar 數(shù)的增大對凝固有穩(wěn)定作用， 且臨界瑞利數(shù)隨著Chandrasekhar 數(shù)的增大而增大.Kao 等[16]通過數(shù)值方法模擬了橫向磁場對樹枝狀晶體尺寸和間距的影響.研究結果發(fā)現(xiàn)由于洛倫茲力使得枝晶間的區(qū)域產(chǎn)生了流動， 從而改變了溶質(zhì)的輸運過程并影響了枝晶的生長.Sarkar 等[17]研究了二元合金凝固過程中糊狀層的磁流體動力學， 結果表明外加磁場增強了糊狀層的穩(wěn)定性， 但在其模型中沒有考慮溶質(zhì)輸運.值得指出的是當在相變過程中同時考慮熱擴散、溶質(zhì)輸運和浮力對流時， 問題將變得更加復雜和有趣[18-20].

本文利用線性穩(wěn)定方法研究了磁場對凝固過程中糊狀層穩(wěn)定性的影響， 且模型包含了溫度場、濃度場以及流動的耦合作用.通過本文的研究結果可以深入地理解外加磁場對糊狀層穩(wěn)定效應的影響， 為冶金工業(yè)中如何精確的應用磁場減少產(chǎn)品的缺陷提供了重要的理論參考.

2 數(shù)學模型

2.1 控制方程

考慮二元合金在磁場中的凝固問題， 認定糊狀層的上下邊界是等溫的、不變形的和不滲透的.這使得糊狀層與系統(tǒng)的其他部分動態(tài)隔離， 具體描述見圖1.假定系統(tǒng)以恒定速率 V*向上凝固， 在0 ＜z*＜H*的區(qū)域內(nèi)存在一個厚度為 H*的糊狀層.糊狀層頂部和底部的溫度及濃度分別為同時假設它們?yōu)槌?shù).為了便于分析， 假設固相和液相的比熱和熱導率相同.

圖1 以恒定速度 V * 凝固的糊狀層示意圖Fig.1.Schematic representation of mushy layer system，which advancing upwards with a constant solidification speed V *.

假定糊狀層受到強度為B 的外部磁場的作用，其中施加的磁場B 沿 z*軸垂直向上.此外， 認定在糊狀層具有恒定的導電率 σe， 且黏性耗散和焦(耳)熱效應對傳熱的影響可以忽略不計.認定糊狀層受到磁場誘導洛倫茲力的影響[21]， 洛倫茲力表達式如下:

式中， J 表示局部離子電流密度， 其可以用歐姆定律 寫 為 J =ρeu*+σe(E+u*×B)[21]， 其 中 u*表示流體速度， E 表示電場， ρe表示電荷密度.類似于文獻[17]中的討論， 本文忽略電場E 和流動對電荷的影響 ρeu*≈0.因此， 洛倫茲力方程可以重寫為 F =σe(u*×B)×B.

系統(tǒng)糊狀層的控制方程滿足熱平衡方程、溶質(zhì)平衡方程、二元相圖約束、達西方程和質(zhì)量平衡方程:

式中， T*表示液相溫度; C*表示液相濃度; φ 為糊狀區(qū)固體體積分數(shù); p*表示降低的壓力(即動態(tài)壓力和靜水部分的和，u*為達西 速 度; c*是 比 熱; k*是 熱 導 率;是 潛 熱; D*表示溶質(zhì)擴散系數(shù); k1表示偏析系數(shù); m*是液相線斜率; Π*(φ) 表示糊狀層的滲透率; μ*是流體的動態(tài)黏度; g 是重力加速度;表示向上的單位矢量;其 物理含義是糊狀層中的對流運動是由密度差驅動的，同時假定密度與溫度、濃度呈線性關系[6]， 其中表示糊狀層頂部的密度， α*和為常數(shù).

系統(tǒng)滿足如下的邊界條件:

當z*=H*時，

當z*=0 時，

2.2 無量綱化

采用類似于文獻[6]的無量綱化方案， 選擇凝固速率 V*作為速度尺度， 長度尺度為 κ*/V*， 時間 尺 度 為， 壓 力 尺 度 為密 度 尺度為溫度和濃度為這 里 κ*=k*/c*表 示 熱 擴 散 系 數(shù)， Π*(φ0) 為滲透率尺度.

無量綱后的控制方程為

其中

邊界條件如下:

當 z =δ 時，

當 z=0 時，

其中

2.3 重標度

通過限制糊狀層的厚度是薄的 δ ?1 ， 使得模型是漸近減小的.其物理含義是糊狀層的厚度遠小于熱擴散長度， 或者等效地認為凝固速率遠小于熱傳導穿過糊狀層的傳熱速率.下面重新標度系統(tǒng)，令則系統(tǒng)的控制方程變?yōu)?/p>

邊界條件為

3 穩(wěn)定性分析

為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 可做如下分解:

3.1 穩(wěn)態(tài)解

類似于文獻[6]容易求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為

其中

3.2 線性擾動方程

為便于分析， 對(19)式應用兩次旋度可以消去壓力p 且化簡為

擾動系統(tǒng)的控制方程為

邊界條件為

下面求擾動系統(tǒng)(25)—(28)具有如下形式的漸近解:

O(δ0)階的控制方程為

邊界條件為

類似于文獻[6]可解的

其 中， J =n2π2+k2.需 要 指 出 的 是 σ1出 現(xiàn) 在(39)式 φ0的解中， 而 σ1卻是未知的.這就需要通過下面 O (δ1) 階 的可解性條件來確定.O (δ1) 階的控制方程為

其中

通過(41)式和(42)式的可解性條件得

其中

色散方程(43)表征了糊狀層凝固系統(tǒng)中的各種物理效應， 將在第4 節(jié)進行討論.

4 討 論

在穩(wěn)定性分析中， 為了清楚地分析驅動不穩(wěn)定性的物理機制， 將結果簡化為下面的兩種情況:和本 文 重 點討論的情況， 即認為系統(tǒng)只有溶質(zhì)C 對浮力有貢獻.對于(即浮力是由溫度T 驅動的情況)， 可以利用同樣的方法進行討論.

在只有溶質(zhì)C 對浮力有貢獻情況下， 下面主要給出中性穩(wěn)定性的結果.

4.1 直接模式(direct modes)

由(45)式和(46)式可看出， 可將直接模式的中性穩(wěn)定性曲線分為下面4 種情況:

4.2 振蕩模式(oscillatory modes)

圖2 直接模式的中性穩(wěn)定性曲線和不穩(wěn)定區(qū)域(陰影部分)示意圖 (a)情況1; (b)情況2; (c)情況3; (d)情況4Fig.2.Schematic representation of the neutral-stability curves and the regions of instability (shaded) for direct modes: (a) Situation 1; (b) situation 2; (c) situation 3; (d) situation 4.

圖3 振蕩模式的中性穩(wěn)定性曲線示意圖(振蕩模式的不穩(wěn)定性區(qū)域為圖中實線(黑色)和點劃線(紅色)之間的部分) (a)情況1;(b)情況2; (c)情況3; (d)情況4Fig.3.Schematic representation of the neutral-stability curves for the oscillatory modes: (a) Situation 1; (b) situation 2; (c) situation 3; (d) situation 4.The instability region of oscillation mode is the part between solid line (black) and dashed line (red).

5 結 論

本文將Guba 和Anderson[6]給出的糊狀層凝固模型推廣到了包含外加磁場作用的情況.分析了磁場對糊狀層穩(wěn)定性的影響， 其中包括直接模式和振蕩模式.通過分析振蕩模式下的中性穩(wěn)定性發(fā)現(xiàn)磁洛倫茲力總是起穩(wěn)定作用， 這一發(fā)現(xiàn)與文獻[17]的結論是一致的.但在對直接模式下中性穩(wěn)定性的分析中發(fā)現(xiàn)外加磁場并非總是起穩(wěn)定作用.實際上我們可以理解為糊狀層的穩(wěn)定性是熱擴散、溶質(zhì)擴散、流動和洛倫茲力耦合作用的結果.總之， 本文的結論為冶金工業(yè)中利用磁場來提高產(chǎn)品的質(zhì)量提供了重要的理論參考.