高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)探析

王秀剛

(珠海市第一中學(xué) 廣東珠海 519000)

最新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 年版)(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》(2017 年版))中明確了中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[1]。史寧中教授也曾多次表示數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以更簡(jiǎn)單地概括為抽象、推理、模型。此次新課標(biāo)的公布進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)建模的重要性，突出了建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。事實(shí)上，在2003 年公布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中就開始強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的重要性。強(qiáng)調(diào)在整個(gè)高中課程內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)建模思想，并至少在高中階段安排一次建?；顒?dòng)。在最初這對(duì)數(shù)學(xué)一線數(shù)學(xué)教育工作者來說是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)，特別是在重視推理、運(yùn)算能力，強(qiáng)調(diào)解題為主，以面對(duì)高考為最根本出發(fā)點(diǎn)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師們將數(shù)學(xué)建模融入課堂教學(xué)確實(shí)具有一定的難度。但是，隨著不斷的變化和認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)不再是陌生的事物。由于數(shù)學(xué)建?？梢院?jiǎn)化數(shù)學(xué)問題，更容易地分析數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題。近年來，數(shù)學(xué)建模教學(xué)在我國(guó)中學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。許多從事數(shù)學(xué)教學(xué)的積極參與到數(shù)學(xué)建模教學(xué)領(lǐng)域的研究中，尋找答案來解決數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題。不過，隨著社會(huì)的變化，人們對(duì)數(shù)學(xué)和人才培養(yǎng)質(zhì)量也不斷提出新的要求。加之新的教育理念、教育方法、教育技術(shù)快速地涌進(jìn)一線教學(xué)，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)也處在不斷地變化甚至是挑戰(zhàn)之中。

一、數(shù)學(xué)建模的主要過程

按照《課標(biāo)》(2017 年版)的要求，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。主要過程包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。通過這些描述可以看出數(shù)學(xué)建模的過程實(shí)際上是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)問題解決過程，在這個(gè)過程中學(xué)生要對(duì)問題有深入的分析，不但能夠發(fā)現(xiàn)問題還有能夠找到解決問題的辦法，更為重要的是在進(jìn)行一定操作運(yùn)算之后能夠?qū)δＰ陀兴倪M(jìn)，驗(yàn)證結(jié)果。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)和工程技術(shù)中的作用，提高實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神[2-3]。

數(shù)學(xué)最為基本的核心素養(yǎng)是抽象、推理、模型，但是這三者之間并不是相互獨(dú)立，互不聯(lián)系的過程。我們?cè)诮鉀Q一個(gè)實(shí)際問題的過程中，往往是三個(gè)素養(yǎng)同時(shí)發(fā)揮作用，或者多次交互發(fā)生，這一點(diǎn)從數(shù)學(xué)建模的四個(gè)過程就可以看出。

第一步，發(fā)現(xiàn)問題,提出問題。發(fā)現(xiàn)問題、提出問題一直以來是數(shù)學(xué)教育關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容。在20 世紀(jì)我國(guó)的數(shù)學(xué)教育更加側(cè)重學(xué)生三大能力的培養(yǎng)，在學(xué)生問題解決表現(xiàn)方面沒有給予足夠的重視。在21 世紀(jì)初期，隨著新課改的推行，問題解決能力逐漸受到大家的認(rèn)可和重視。在課堂教學(xué)或者課程標(biāo)準(zhǔn)制定中都考慮了學(xué)生在這些方面的能力。我國(guó)學(xué)生歷來比較擅長(zhǎng)解決問題，并且往往是封閉性問題。蔡金法教授對(duì)中美學(xué)生在開放性問題的對(duì)比研究中清晰地展示了這種差異，而在問題提出等方面我國(guó)學(xué)生仍然還需提高，需要引導(dǎo)學(xué)生能夠主動(dòng)思考，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。作為數(shù)學(xué)建模的第一個(gè)過程，這里面的發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是在一定的情境下，對(duì)所涉及的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景或者某個(gè)具體數(shù)學(xué)情境下的深入思考，所提出的問題可以是經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象后的數(shù)學(xué)問題，也可以是一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題。這個(gè)過程最重要的是提出一個(gè)問題，而且是一個(gè)具有一定價(jià)值的問題，有了這個(gè)問題或者一系列問題才能夠?yàn)楹罄m(xù)的建?；顒?dòng)打開局面。

第二步，分析問題，建立模型。對(duì)問題的分析并不局限于數(shù)學(xué)，還需要調(diào)整其他學(xué)科或生活經(jīng)驗(yàn)，往往還需要查閱資料。這一過程主要是對(duì)前面提出問題的再加工，在這一過程中一定要將問題進(jìn)一步數(shù)學(xué)化，或者說完全轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，雖然可能仍然帶有不同的現(xiàn)實(shí)背景，但問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系一定是數(shù)學(xué)的。這種再加工的過程就是應(yīng)用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)定理、概念、性質(zhì)等知識(shí)把問題模型化。經(jīng)過上述兩個(gè)步驟完成了數(shù)學(xué)抽象的過程，從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入了數(shù)學(xué)世界，用數(shù)學(xué)的規(guī)律和方法分析問題。

第三步，確定參數(shù)，計(jì)算求解。這一過程就是解決問題的過程，在這個(gè)過程中參數(shù)的確定最為關(guān)鍵。參數(shù)的確定需要基于高質(zhì)量的數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)收集往往是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的重要組成部分。數(shù)據(jù)的來源可以多樣化，在一些封閉性問題中要利用所給數(shù)據(jù)。而在一些開放性問題中，數(shù)據(jù)的獲得可以通過網(wǎng)絡(luò)、教科書、其他資料等。用數(shù)據(jù)來確定假設(shè)模型中的參數(shù)，通過計(jì)算為了解決數(shù)學(xué)問題，這個(gè)過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)直接相關(guān)[4]。

第四步，檢驗(yàn)結(jié)果，改進(jìn)模型。這是最后的過程，在這個(gè)過程中要給出最后的結(jié)果。有些時(shí)候在第三個(gè)步驟就能夠得出問題的結(jié)果，或者作出結(jié)論的判斷。但是由于面對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問題時(shí)，問題所涉及的方面較多，在模型中會(huì)涉及到很多參數(shù)，且在計(jì)算過程中所應(yīng)用的數(shù)據(jù)來源也相對(duì)單一、有限，不能完全符合現(xiàn)實(shí)情況，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)偏差。因此，在這個(gè)過程中研究者需要根據(jù)所解決問題的實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整，做到最佳符合。

二、數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例

例：市化工廠生產(chǎn)香皂，現(xiàn)接到生產(chǎn)180 g 裝的香皂的訂單。目前化工廠有兩種規(guī)格的產(chǎn)品，分別是60 g 裝每塊1.15 元，150 g 裝每塊2.5 元。那么180 g 裝的香皂出廠價(jià)格為多少？

第一步將香皂的體積與其表面積的函數(shù)關(guān)系看作一種相對(duì)規(guī)則形狀的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在簡(jiǎn)化的情況下，明確問題中的變量和參數(shù)。這里可以設(shè)定香皂的出廠價(jià)格(y)；香皂的成本(y1)；香皂的包裝成本(y2)；香皂的質(zhì)量(w)；香皂的質(zhì)量為w 時(shí)包裝的表面積(Sw)。

第二步抽象出數(shù)學(xué)模型：

(1)香皂的出廠價(jià)格y 由香皂的生產(chǎn)成本y1和包裝成本y2確定；

(3) 香皂的生產(chǎn)成本與香皂質(zhì)量成正比，設(shè)比例系數(shù)為k1，即y1=k1w；

(4) 香皂的包裝成本與香皂表面積成正比，設(shè)比例系數(shù)為k2，即y2=kS2sw。

在上述討論出的變量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上以及香皂質(zhì)量為w時(shí)其各項(xiàng)成本與相關(guān)因素之間的關(guān)系，得出關(guān)于香皂出廠價(jià)格的函數(shù)

目標(biāo)是在條件60 g 裝的香皂出廠價(jià)為每塊1.15 元和150 g裝的香皂出廠價(jià)為每塊2.5 元下求出180 g 裝的香皂的出廠價(jià)格。

接下來還可以對(duì)該問題做一步的討論，如果考慮單位質(zhì)量?jī)?nèi)香皂所對(duì)應(yīng)的出廠價(jià)格(記為y3)，可以得到如下函數(shù)關(guān)系式：

根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性也可以清楚地說明生活中常見的大包裝的商品售出的價(jià)格更低的現(xiàn)象。

第四步，分析模型結(jié)果。根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合在超市等地購(gòu)物可以知道同類型商品往往購(gòu)買體積、質(zhì)量較大的會(huì)更劃算，也就是單位體積或者質(zhì)量?jī)r(jià)格較低。這在酸奶、飲料中表現(xiàn)十分明顯。不過也要考慮隨著體積增大給包裝帶來的成本增加問題。事實(shí)上隨著體積的變化還會(huì)帶來商品擺放位置的變化，甚至影響商品的銷售成本?？梢娺@是一系列問題，實(shí)際的建模問題比我們計(jì)算的還要復(fù)雜得多。但是從這個(gè)問題中學(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的重要性，體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)于解決問題的重要價(jià)值。