中學(xué)數(shù)學(xué)物理融合的思考

翟繼彬 鄭 富

(1.保定市第十七中學(xué) 河北保定 071000；2.河南大學(xué) 河南開封 475002)

自然界中，任何事物都存在著緊密的相互聯(lián)系，包含了數(shù)學(xué)及物理。數(shù)學(xué)是物理之母、物理是數(shù)學(xué)之用。數(shù)學(xué)方法促進(jìn)了對(duì)于物理學(xué)的研究；而物理思維擴(kuò)展了數(shù)學(xué)領(lǐng)域與認(rèn)知，進(jìn)而推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

一、中學(xué)物理中的數(shù)學(xué)體現(xiàn)

要探究數(shù)學(xué)物理相融合，就要先發(fā)現(xiàn)在已知物理知識(shí)中數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，因?yàn)檫@會(huì)使我們更好、更快速的建立數(shù)學(xué)與物理之間的聯(lián)系，以及找到數(shù)學(xué)與物理之間的共性與貫通。

(一)物理學(xué)科公式及定理視角

在初中物理中有許多內(nèi)容包含著數(shù)學(xué)化思想，如物理公式與物理定理。

以路程、速度及時(shí)間的聯(lián)系為例，小學(xué)是“路程等于速度乘時(shí)間”，到了初中表述為“v=s/t”公式外，還說明了三個(gè)變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系(比)。另外還有一些公式，是由推導(dǎo)而產(chǎn)生的，在推導(dǎo)的過程中主要運(yùn)用了等量代換與抵消的思想，而這種思想在物理公式推導(dǎo)過程中同樣適用，如物理中柱狀體壓強(qiáng)公式p=ρgh 就是由p=F/S 通過等量代換與抵消得來的，同類的還有通過阿基米德原理(F浮=G排)推導(dǎo)出的F浮=ρ液gV排、由功率的公式P=W/s 推導(dǎo)出P=Fv 等，這些公式的出現(xiàn)都是運(yùn)用了數(shù)學(xué)中等量代換與抵消的思想。

再就是物理中的定理。在數(shù)學(xué)中定理隨處可見，但它們的由來卻都通過了證明，證明是為了證實(shí)這條定理在任何條件下的存在，而證明的過程就成了這條定理存在的依據(jù)。而在物理中每一條的定理都是由一次次的實(shí)驗(yàn)證明出來的，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果就成了這條定理在某種條件下存在的證據(jù)，由此可見物理中的實(shí)驗(yàn)證明就體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)中的過程證明。

(二)從物理解題過程中看數(shù)學(xué)

在初中的物理解題過程中常會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)方法在其中的運(yùn)用，通過這些方法的運(yùn)用常常會(huì)使學(xué)生在解題時(shí)更快速、便捷。中學(xué)生通常在物理解題過程中使用的數(shù)學(xué)方法主要有兩種，一是條件推導(dǎo)公式法；二是使用方程解題法。

條件推導(dǎo)公式法是針對(duì)于物理中含有比值問題的有效方法，此方法是指在某一物理知識(shí)的特定條件下具有某一公式，并推導(dǎo)出原有公式的變化形態(tài)，從而更簡(jiǎn)便的得出比值問題的答案，而在推導(dǎo)的過程中通常需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想在其中。如下列有關(guān)初中物理杠桿的相關(guān)問題：已知F1表示動(dòng)力F2表示阻力，L1表示動(dòng)力臂L2表示阻力臂，且此時(shí)杠桿處于平衡狀態(tài)，L1/F2=1，求L2/F1 的比值。首先此題由平衡條件(條件)可以得出杠桿公式F1L1=F2L2，此時(shí)再運(yùn)用條件推導(dǎo)公式法，通過數(shù)學(xué)知識(shí)中的交叉相乘運(yùn)算，可以很快地得出等式：L1/F2=L2/F1，而又因?yàn)長1/F2=1，所以L2/F1=1(L2/F1的比值為1)。通過一道例題條件推導(dǎo)，公式法的優(yōu)點(diǎn)很快就會(huì)顯現(xiàn)出來，即為做題速度加快、過程變得簡(jiǎn)便，但這種方法卻需要數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的人才能駕馭，否則在公式轉(zhuǎn)換時(shí)極易出錯(cuò)，從而導(dǎo)致做題慌亂。但從中也可以看出數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于物理解題時(shí)的重要性，以及在解決物理問題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的好處，同時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)在物理解題過程中數(shù)學(xué)方法的體現(xiàn)。

使用方程解題法是針對(duì)于物理難度較大、物理解題思維要求較高題型的有效方法；同時(shí)也是在沒有解題思路、已知物理量較少時(shí)的有效對(duì)策。此方法通常將問題設(shè)為未知量，但在設(shè)未知量時(shí)需要注意數(shù)學(xué)物理的有些符號(hào)定義不同，由于在物理列方程及解方程中展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法，學(xué)生習(xí)慣性會(huì)將未知數(shù)設(shè)為x，但在物理中的方程和數(shù)學(xué)中的方程是不同的。在物理中若設(shè)時(shí)間為未知量，則需要用字母t 來表示，盡管和數(shù)學(xué)中的方程有不同，但總歸是如出一轍，就如同下面的例子：甲、乙兩站相距480 公里，一輛巴士從甲站開出，每小時(shí)行駛90 公里，一輛小轎車從乙站開出，每小時(shí)行駛140 公里，慢車先開1 小時(shí)，快車再開，且兩車相向而行，求快車開出幾個(gè)小時(shí)后兩車相遇？從題目中看這道題既可以是物理題又可以是數(shù)學(xué)題，但是此題是一道標(biāo)準(zhǔn)的物理中有關(guān)路程的方程題，那么在解答時(shí)就要先設(shè)問題時(shí)間為未知數(shù)t，再按照數(shù)學(xué)解方程的步驟(找等量關(guān)系、列方程、解方程[1]、檢驗(yàn)、寫答)依次進(jìn)行，此題就迎刃而解了，這充分體現(xiàn)了在物理解題過程中含有數(shù)學(xué)在其中。同時(shí)使用方程解題法不僅可以在路程問題上使用，還可以在密度、壓強(qiáng)混合題、浮力題等當(dāng)中使用，由此可見數(shù)學(xué)方法對(duì)于學(xué)生在解決物理問題上具有重要的影響。

二、數(shù)學(xué)化思想融入物理的作用

(一)中學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)劣對(duì)學(xué)習(xí)物理的影響

數(shù)學(xué)是中學(xué)生所要學(xué)習(xí)的重要學(xué)科，而由于每個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)先天資質(zhì)、后天資源不同以及個(gè)人努力不同，導(dǎo)致學(xué)生間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力有優(yōu)劣之分，而不同中學(xué)生數(shù)學(xué)的優(yōu)劣影響著數(shù)學(xué)思維的深度及廣度，同時(shí)也影響著解決數(shù)學(xué)問題的反應(yīng)速度。通過提升中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深度及廣度以及數(shù)學(xué)問題的反應(yīng)速度，可以提高中學(xué)生對(duì)物理學(xué)科的興趣，從而保證中學(xué)生對(duì)物理學(xué)習(xí)的持續(xù)性。通過數(shù)學(xué)能力的加強(qiáng)，使中學(xué)生找到適合并屬于自己的物理學(xué)習(xí)方法，從而提高物理學(xué)習(xí)能力。良性循環(huán)的最終結(jié)果使學(xué)習(xí)物理的效果大大提高，并降低了解決物理問題的認(rèn)知負(fù)荷，在擁有優(yōu)秀數(shù)學(xué)能力的前提上，只需加上物理觀念及知識(shí)，就可徹底提升該學(xué)生在學(xué)習(xí)物理上的速度和效果。由此可見中學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)劣對(duì)學(xué)習(xí)物理的影響頗深。

(二)物理學(xué)家通過數(shù)學(xué)化思想做出貢獻(xiàn)

從古至今，有著許多為人類社會(huì)做出重大貢獻(xiàn)的物理學(xué)家，并且在他們的研究成果中也暗含著數(shù)學(xué)化思想。

著名物理學(xué)家伽利略就是其中之一，他不僅在研究中加入了數(shù)學(xué)化思想，他還是研究物理新模式的祖師爺。伽利略在研究落體運(yùn)動(dòng)數(shù)量關(guān)系過程中，開創(chuàng)了物理科學(xué)數(shù)學(xué)化思想，使得數(shù)學(xué)史無前例地與實(shí)驗(yàn)精神相結(jié)合創(chuàng)造了研究物理世界的新方法：科學(xué)實(shí)驗(yàn)、邏輯實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)化思想。[1]同樣的著名物理學(xué)家還有開普勒，他主要研究的是與物體運(yùn)動(dòng)有關(guān)的內(nèi)容。特別是他對(duì)地球及行星軌跡的決定方法，為此創(chuàng)立了宇宙空間的三角測(cè)量方法，并發(fā)明了無限小量的求和方法，將之運(yùn)用到求體積方面。[2]還有一個(gè)人盡皆知的物理學(xué)家-牛頓。他發(fā)明并運(yùn)用了微積分，建立了運(yùn)動(dòng)定律和引力定律(初二)。牛頓堅(jiān)信自然界是用數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的，沒有理由不按照數(shù)學(xué)家搞數(shù)學(xué)的程序去進(jìn)行科學(xué)研究。[2]綜合上述言論不難看出數(shù)學(xué)化思想給予了物理學(xué)家在物理研究上面的重要幫助。

三、中學(xué)生使用數(shù)學(xué)方法看待物理問題

(一)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法中的數(shù)列法解決物理問題

對(duì)于連續(xù)作用并彼此之間存在一種數(shù)值的銜接關(guān)系時(shí)，常常會(huì)利用歸納法、數(shù)列知識(shí)。數(shù)列一般是指一列數(shù)字按照某種關(guān)系有順序的進(jìn)行排列。而在數(shù)學(xué)的數(shù)列知識(shí)當(dāng)中一般分為兩種，分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，前者(等差數(shù)列)主要是針對(duì)于相鄰兩數(shù)間差的研究，而后者(等比數(shù)列)主要是針對(duì)于相鄰兩數(shù)間比的研究。數(shù)列問題在物理中并不少見。例如下列問題就是通過數(shù)列問題解決的：已知小明勻速直線步行速度為2 m/s，若小明步行時(shí)間為n 秒，求證小明行駛的總路程為總時(shí)間的2倍?？吹酱祟}首先明確公式v=S/t，再由此將公式變形為S=vt，此時(shí)我們已知v=2m/s，那么就可以先進(jìn)行假設(shè)當(dāng)t=1s 時(shí)，可求出S=2m，以此類推當(dāng)t=ns 時(shí)S=2nm，這時(shí)就需要用到數(shù)列法中的等差數(shù)列法，先求出路程總和((首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2)S總=(2+2n)×n/2=n+n2，再求出時(shí)間總和t總=(1+n)×n/2=1/2(n+n2)，所以2 倍的t總等于S總。通過例題不難看出數(shù)列法在某些物理問題中具有核心作用。

(二)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法中的圖像法解決物理問題

圖像法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用極廣，并且在數(shù)學(xué)中占有重要的地位以及有著重要的作用，許多數(shù)學(xué)問題當(dāng)面對(duì)圖像法時(shí)常會(huì)迎刃而解，其實(shí)在物理當(dāng)中也是如此。

在物理中所謂圖像法，就是把兩個(gè)相關(guān)物理量之間的關(guān)系用函數(shù)圖線在平面直角坐標(biāo)系上描繪出來，使得兩個(gè)物理量之間的關(guān)系能夠直觀形象的呈現(xiàn)出來。物理規(guī)律用函數(shù)表示就成了物理分式，用圖表示就成了圖像。[3]而圖像擅長表示物理量與物理量之間的聯(lián)系，使難以理解的知識(shí)與內(nèi)涵形象化，所以數(shù)學(xué)當(dāng)中的圖像法同樣十分的適用于解決物理問題。例如：利用圖像分析問題，可以優(yōu)化解題過程，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，使物理現(xiàn)象或過程直觀化。有時(shí)還可以躲避不必要的復(fù)雜運(yùn)算過程，[3]如下面這道題運(yùn)用了圖像法之后就變得簡(jiǎn)單化了：

已知G=mg，當(dāng)g 恒為定值10 N/kg 時(shí)，求畫出重力的函數(shù)圖像，并直接寫出當(dāng)m=1、2、3、5 時(shí)G 的值。通過題目要求畫出重力的函數(shù)圖像，依據(jù)圖像很容易得到當(dāng)m=1、2、3、5時(shí)G 分別等于10 N、20 N、30 N、50 N。通過上述例題很容易發(fā)現(xiàn)圖像法在解題時(shí)的便捷與簡(jiǎn)單，雖然此題可直接運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，并且也不太麻煩，但卻沒有圖像法的直觀與形象?？梢妶D像法對(duì)于解決物理問題同樣是一個(gè)好工具。

四、中學(xué)階段形象思維培養(yǎng)數(shù)學(xué)物理能力

形象思維就是用直觀形象和表象解決問題的思維，當(dāng)人們將事物的表象特征抽象出來進(jìn)行思維可視化，以圖案、符號(hào)、線條、顏色的方式表述出來，并詳細(xì)的闡述彼此間的交互關(guān)系，就是形象思維。形象思維包含著形象性、整體性及跳躍性等三大特點(diǎn)，形象性是以圖形、文字或圖像呈現(xiàn)客觀事物；整體性指在知識(shí)架構(gòu)的上方俯視全局，把握住內(nèi)在的本質(zhì)和規(guī)律；跳躍性是指錢學(xué)森所說的“能大跨度地思維，從初看無關(guān)事物中找出有關(guān)”。

(一)形象思維培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力

通過了解形象思維的特點(diǎn)(形象性、整體性、跳躍性)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這些特點(diǎn)與數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容可以相互呼應(yīng)、相互聯(lián)系。由下圖可知：

形象性：由于形象性是指以圖形、文字或圖像呈現(xiàn)客觀事物(數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容)。通過讀圖可得：圖中對(duì)于客觀事物的呈現(xiàn)主要是通過文字(敘述)與圖畫(解讀)的方式展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容，從而得出形象思維中的形象性在數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系框架圖中主要體現(xiàn)在形象性中的文字與圖畫上。

1.整體性

整體性在圖中的數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容上，主要體現(xiàn)在對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的透徹分析與擴(kuò)展內(nèi)容之后不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，從而形成架構(gòu)圖。而通過整體性在圖中的運(yùn)用，可以俯視知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容的架構(gòu)圖，從而更容易的握住知識(shí)點(diǎn)之間內(nèi)在的本質(zhì)和規(guī)律。

2.跳躍性

跳躍性在圖中主要體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容之間的聯(lián)系，并用與之關(guān)系相對(duì)應(yīng)的表示線連接起來，使知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容發(fā)生跳躍。而通過知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容的跳躍，可以使架構(gòu)圖形成跨度思維，讓知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容之間的聯(lián)系也變得緊密起來。

通過上述形象思維的特點(diǎn)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容的影響，可以發(fā)現(xiàn)這些特點(diǎn)會(huì)大大的提高學(xué)生透徹地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和習(xí)慣的速度，還會(huì)使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和習(xí)慣變得容易。而數(shù)學(xué)能力可以被定義為：能夠較為敏捷、簡(jiǎn)易并透徹地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、能力與習(xí)慣。由此可見形象思維是可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高的。

(二)形象思維培養(yǎng)物理能力

基于義務(wù)教育物理課程標(biāo)準(zhǔn)中物理課程的定義：物理是一門注重實(shí)驗(yàn)(整體性)的自然科學(xué)基礎(chǔ)課程。此階段的物理課程應(yīng)注意讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)探究過程(形象性、跳躍性)，學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)和科學(xué)探究方法(整體性、跳躍性)，提高分析問題及解決問題的能力(整體性、形象性、跳躍性)。[4]可以發(fā)現(xiàn)與形象思維培養(yǎng)的密不可分之處眾多，說明如下：

實(shí)驗(yàn)：上圖是有關(guān)探究影響液體中物體所受浮力的大小有哪些因素的實(shí)驗(yàn)。在探究實(shí)驗(yàn)中依次列舉了實(shí)驗(yàn)的目的、單一變量、圖示、結(jié)果及原因，從宏觀上看整套的實(shí)驗(yàn)過程體現(xiàn)了形象思維的整體性，因?yàn)樘骄繉?shí)驗(yàn)的目的解釋了此次實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)(探究影響液體中物體所受浮力大小的因素)，而圖示、結(jié)果及原因闡明了實(shí)驗(yàn)中蘊(yùn)藏的規(guī)律(影響液體中物體所受浮力大小的因素有液體密度的大小與物體排開水的體積的大小，所以會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)二者其中之一不發(fā)生變化，而另一因素發(fā)生變化時(shí)，會(huì)影響所受浮力的大小)。因此會(huì)發(fā)現(xiàn)整體性影響著實(shí)驗(yàn)，給人“俯視全局的感覺”，會(huì)使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容更加的清晰明了。

實(shí)驗(yàn)探究過程：由圖中實(shí)驗(yàn)探究過程的呈現(xiàn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)在這當(dāng)中即存在著形象思維中的形象性(實(shí)驗(yàn)的流程圖、實(shí)驗(yàn)的文字?jǐn)⑹?，又存在著形象思維中的跳躍性(實(shí)驗(yàn)過程中不同變量下結(jié)果與結(jié)果之間的聯(lián)系、以及結(jié)果與原因之間的聯(lián)系)。通過上述分析會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)形象思維的特點(diǎn)對(duì)實(shí)驗(yàn)探究過程的影響，即是實(shí)驗(yàn)探究過程既通俗易懂又不缺乏知識(shí)點(diǎn)的深度。

學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)和科學(xué)探究方法、提高分析問題及解決問題的能力：由上述與上圖科學(xué)的知識(shí)與科學(xué)探究方法在此分別為影響液體中物體所受浮力大小的因素(整體性、跳躍性)與實(shí)驗(yàn)探究的方法(整體性)。而在分析問題(浮力)與解決問題(影響液體中物體所受浮力大小的因素)時(shí)使用了形象思維的形象性(圖表、圖畫)、跳躍性(關(guān)系線)與整體性(實(shí)驗(yàn)探究)，使分析問題更加透徹、明了、有深度，在解決問題時(shí)思路多、方法多，且步驟嚴(yán)謹(jǐn)。

綜合上述形象思維培養(yǎng)與中學(xué)物理課標(biāo)(物理能力)之間的聯(lián)系與相互體現(xiàn)，可以得出以形象思維培養(yǎng)物理能力，可以使學(xué)生更加熟練地掌握操作及敘述實(shí)驗(yàn)的能力，還可以使學(xué)生分析問題時(shí)分析得更加透徹、可運(yùn)用的方法更加豐富、提出的問題更具有技術(shù)含量。

五、結(jié)束語

在中學(xué)數(shù)學(xué)與物理教師間，經(jīng)?？梢月牭健皵?shù)學(xué)物理不分家”的說法，加上在一般人的常識(shí)中，數(shù)學(xué)成績(jī)好的物理就好、物理成績(jī)好的數(shù)學(xué)也差不了，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)學(xué)科的緊密性。從本研究中，可以得到在當(dāng)代的學(xué)習(xí)中不僅可以在學(xué)習(xí)物理時(shí)參考以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)(甚至可以將運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)提升到運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的高度)；還可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)參考以及運(yùn)用物理知識(shí)(也可以將運(yùn)用物理知識(shí)提升為運(yùn)用物理思維與物理規(guī)律的高度)。