均布荷載和跨中集中荷載作用下簡(jiǎn)支鋼梁臨界彎矩

張文福， 厲昱秀， 杭昭明， 嚴(yán) 威， 黃 斌

( 1. 安徽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，安徽 合肥 230601； 2. 南京工程學(xué)院 建筑工程學(xué)院，江蘇 南京 211167； 3. 東北石油大學(xué) 土木工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318 )

0 引言

為了節(jié)省材料，鋼梁截面通常制作成長(zhǎng)而窄的形式，缺點(diǎn)是繞強(qiáng)軸和弱軸的慣性矩相差較大[1-2]，易發(fā)生彎扭屈曲。《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中，對(duì)于鋼結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性的計(jì)算多基于簡(jiǎn)支梁的，且荷載形式單一。實(shí)際工程中，鋼梁通常受集中荷載、滿跨均布荷載或端彎矩等兩個(gè)及兩個(gè)以上荷載作用。

VLASOV V Z[3]提出滿跨均布荷載和跨中集中荷載作用下簡(jiǎn)支梁的平衡微分方程。GALAMBOS T V等[4]將側(cè)移和轉(zhuǎn)角表述為單個(gè)三角函數(shù)，根據(jù)經(jīng)典能量方程，給出滿跨均布荷載和跨中集中荷載作用下一階近似解析解和算例。CHALLAMEL N等[5]推導(dǎo)矩形截面懸臂梁在跨內(nèi)和懸臂端同時(shí)作用兩個(gè)集中荷載的精確計(jì)算式。有關(guān)單一荷載作用下鋼梁的整體穩(wěn)定性研究較多，有關(guān)多種荷載作用下的屈曲問(wèn)題研究不多。古昀蒙等[6]采用ANSYS有限元分析軟件，對(duì)在端部負(fù)彎矩與集中荷載作用下鋼梁進(jìn)行彎扭屈曲研究，給出簡(jiǎn)潔的回歸方程。劉占科等[7]采用單個(gè)三角函數(shù)表述側(cè)移和轉(zhuǎn)角，根據(jù)能量方程,推導(dǎo)單一荷載作用下鋼梁臨界彎矩系數(shù)及公式，分析復(fù)合荷載作用下系數(shù)與單一荷載作用下系數(shù)的關(guān)系，研究復(fù)合荷載作用下鋼梁發(fā)生彎扭屈曲時(shí)臨界彎矩的計(jì)算式，分別提出等效彎矩系數(shù)，給出7種常見(jiàn)工況下等效彎矩系數(shù)的計(jì)算式。

采用無(wú)窮級(jí)數(shù)可以獲得簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁彎扭屈曲方程的精確解。張文福[2]、樊友景[8]研究均布荷載作用下雙跨梁的彎扭屈曲問(wèn)題，進(jìn)行彎矩作用下工字鋼的橫向扭轉(zhuǎn)屈曲分析，引入量綱一參數(shù)[8,20]得到臨界彎矩量綱一的解析解?；诎濉豪碚揫2,9-19]，張文福等給出彈性支撐下簡(jiǎn)支梁和懸臂梁的精確屈曲方程，研究規(guī)范公式的適用性。關(guān)于復(fù)合荷載下鋼梁彎扭屈曲的研究多數(shù)是利用單個(gè)三角函數(shù)表述側(cè)移和轉(zhuǎn)角，利用能量法獲得復(fù)合荷載作用下鋼梁的臨界彎矩近似解析解。筆者采用無(wú)窮級(jí)數(shù)表述側(cè)移和轉(zhuǎn)角，根據(jù)能量方程，推導(dǎo)均布荷載和跨中集中荷載作用下單軸對(duì)稱工字形簡(jiǎn)支鋼梁的精確彎扭屈曲方程(量綱一形式)，得到臨界彎矩近似解析解，利用ANSYS有限元軟件進(jìn)行驗(yàn)證，為建立該類連續(xù)梁的設(shè)計(jì)公式提供指導(dǎo)。

1 計(jì)算模型

均布荷載與跨中集中荷載作用下單軸對(duì)稱工字形簡(jiǎn)支鋼梁(簡(jiǎn)支梁)計(jì)算模型見(jiàn)圖1，其中q為均布荷載，P為跨中集中荷載，L為簡(jiǎn)支鋼梁跨度，C(0,0)為截面形心，S(0,y0)為截面剪心。

2 彎扭屈曲臨界彎矩計(jì)算

2.1 模態(tài)試函數(shù)

對(duì)于均布荷載和跨中集中荷載作用下單軸對(duì)稱工字形簡(jiǎn)支鋼梁彎扭屈曲的位移和轉(zhuǎn)角，選用傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)精確模態(tài)試函數(shù)，其形式為

(1)

(2)

式(1-2)中：u(z)、θ(z)分別為簡(jiǎn)支梁屈曲時(shí)截面的側(cè)向位移和繞剪切中心的扭轉(zhuǎn)角，是變量z的函數(shù)；Am、Bn為待定因數(shù)；h為上下翼緣板形心之距，使Am成為量綱一參數(shù)[2]。

模態(tài)試函數(shù)滿足簡(jiǎn)支梁的邊界條件為

u(0)=u″(0)=0;u(L)=u″(L)=0;θ(0)=θ″ (0)=0;θ(L)=θ″(L)=0。

(3)

2.2 內(nèi)力函數(shù)

為簡(jiǎn)便計(jì)算，假設(shè)跨中集中荷載P與均布荷載q的關(guān)系為

P=βqL,

(4)

式中：β為集中荷載與均布荷載合力之比。

簡(jiǎn)支鋼梁任意截面的彎矩表達(dá)式為

(5)

由式(5)可得跨中最大彎矩為

(6)

2.3 總勢(shì)能方程

簡(jiǎn)支鋼梁彎扭屈曲的總勢(shì)能表達(dá)式為

(7)

以傅里葉級(jí)數(shù)表示位移與轉(zhuǎn)角模態(tài)試函數(shù)，應(yīng)用Mathematica軟件進(jìn)行積分，為清晰表達(dá)僅列出分項(xiàng)結(jié)果：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

簡(jiǎn)支梁彎扭屈曲的總勢(shì)能方程可表示為

(13)

將積分結(jié)果乘以L3/(h2EIy)，引入量綱一參數(shù)為

(14)

總勢(shì)能方程可進(jìn)一步表示為量綱一的形式：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(15-19)疊加可得簡(jiǎn)支鋼梁彎扭屈曲的量綱一總勢(shì)能方程。

2.4 屈曲方程及解析解

根據(jù)勢(shì)能駐值原理，對(duì)量綱一廣義坐標(biāo)An求偏導(dǎo)

(20)

得到關(guān)于An的屈曲方程為

(21)

為便于求解，式(21)可用矩陣形式表示為

(22)

(24)

根據(jù)勢(shì)能駐值原理，對(duì)量綱一廣義坐標(biāo)Bn求偏導(dǎo)

(25)

得到關(guān)于Bn的屈曲方程為

(26)

將式(26)用矩陣形式表示為

(27)

其中

0Qs,r=0,s≠r,s=1,2,…∞,r=1,2,…∞。

(29)

將式(22)和式(27)合并，簡(jiǎn)支鋼梁量綱一屈曲方程為

(30)

由式(30)求解的最小特征值，為均布荷載和跨中集中荷載作用下簡(jiǎn)支梁彎扭屈曲量綱一臨界彎矩的解析解。若所選模態(tài)試函數(shù)的項(xiàng)數(shù)足夠使屈曲方程解收斂，則可得屈曲荷載的精確解。

2.5 收斂性驗(yàn)證

從數(shù)值求解考慮，無(wú)窮級(jí)數(shù)表示的模態(tài)試函數(shù)的項(xiàng)數(shù)只能取有限項(xiàng)，文中取80項(xiàng)，采用Matlab程序求解式(30)的特征值屈曲問(wèn)題。對(duì)截面A和截面B(截面參數(shù)見(jiàn)表1)兩種雙軸對(duì)稱和單軸對(duì)稱的簡(jiǎn)支鋼梁在均布荷載和跨中集中荷載作用下的屈曲臨界彎矩解的收斂性進(jìn)行分析，結(jié)果見(jiàn)圖2，其中β=1，L=8 m，關(guān)于特征值收斂問(wèn)題的判據(jù)由式(31)表示。其中s=3時(shí)，在均布荷載與跨中集中荷載作用下，截面A上翼緣、剪心、下翼緣分別收斂于50項(xiàng)、56項(xiàng)、62項(xiàng)；截面B上翼緣、剪心、下翼緣分別收斂于77項(xiàng)、73項(xiàng)、78項(xiàng)。當(dāng)簡(jiǎn)支鋼梁在均布荷載和跨中集中荷載作用下的屈曲臨界彎矩解收斂時(shí)，級(jí)數(shù)解即為精確解。為便于后續(xù)數(shù)值計(jì)算，近似認(rèn)為當(dāng)級(jí)數(shù)取80項(xiàng)時(shí)收斂。

(31)

2.6 一階近似解析解

一階近似解析解即模態(tài)函數(shù)取1項(xiàng)時(shí)的解析解。驗(yàn)證屈曲方程式(30)理論推導(dǎo)的正確性。量綱一屈曲方程用矩陣形式表示為

(32)

為使A1、B1不同時(shí)為0，有

(33)

圖2 不同項(xiàng)數(shù)時(shí)屈曲臨界彎矩解收斂性驗(yàn)證

即

(34)

式(34)的解為

(35)

其中

(36)

式(35)為均布荷載和跨中集中荷載作用下單軸對(duì)稱工字形簡(jiǎn)支鋼梁彎扭屈曲的量綱一臨界彎矩一階近似解析解。

3 有限元分析

3.1 有限元模型

為了驗(yàn)證式(35)的可靠性，選用兩種工字形截面鋼梁(見(jiàn)表1)。

表1 鋼梁截面尺寸

簡(jiǎn)支梁由3塊鋼板焊接而成，采用SHELL181有限應(yīng)變殼單元進(jìn)行模擬，有4個(gè)節(jié)點(diǎn)、6個(gè)自由度，即沿X、Y、Z方向的位移自由度和繞X、Y、Z的轉(zhuǎn)角自由度。沿高度方向劃分10個(gè)單元，沿長(zhǎng)度方向劃分100個(gè)單元，沿上下翼緣寬度方向劃分8個(gè)單元。為防止簡(jiǎn)支梁模型過(guò)早出現(xiàn)畸變屈曲或局部屈曲，采用新的剛周邊模擬方法[2]，比常規(guī)的設(shè)置加勁肋的方法更加簡(jiǎn)潔實(shí)用，且不增加梁的剛度，通用性更強(qiáng)，還可以單獨(dú)將上下翼緣設(shè)置為剛性、腹板設(shè)置為柔性，較好解決鋼梁畸變屈曲的FEM模擬問(wèn)題。

為了驗(yàn)證FEM模型的可靠性，分別采用規(guī)范方法和FEM對(duì)鋼梁在均布荷載和跨中集中荷載作用下的臨界彎矩進(jìn)行驗(yàn)證。截面尺寸見(jiàn)表1，鋼梁的跨度分別為8、12、16 m。以A、B截面為例，F(xiàn)EM模擬解和規(guī)范解結(jié)果見(jiàn)表2-3。由表2-3可見(jiàn)，F(xiàn)EM模擬在均布荷載作用下最大誤差為2.16%，在跨中集中荷載作用下最大誤差為2.73%，二者誤差小于5%，證明有限元模型的可靠性。

表2 均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁臨界彎矩

表3 跨中集中荷載作用下簡(jiǎn)支梁臨界彎矩

3.2 均布荷載和跨中集中荷載作用下簡(jiǎn)支梁臨界彎矩

利用解析解的1項(xiàng)和80項(xiàng)計(jì)算結(jié)果，分析均布荷載和跨中集中荷載作用于上翼緣時(shí)，在8、12、16 m的跨度下臨界彎矩解，理論解與FEM模擬解的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 均布荷載和跨中集中荷載作用下簡(jiǎn)支梁臨界彎矩

4 設(shè)計(jì)建議

(37)

其中

(38)

(39)

表與之和

5 結(jié)論

(1)基于板—梁理論，在均布荷載和跨中集中荷載作用下，推導(dǎo)工字形簡(jiǎn)支鋼梁彎扭屈曲的量綱一的臨界彎矩公式。

(2)將側(cè)移和轉(zhuǎn)角表述為無(wú)窮三角函數(shù)級(jí)數(shù)的解析精度高，當(dāng)取80項(xiàng)時(shí)，與FEM模擬解的相對(duì)誤差在5%內(nèi)，在均布荷載和跨中集中荷載作用下簡(jiǎn)支鋼梁彎扭屈曲方程的精確性較高，計(jì)算公式正確，可供工程設(shè)計(jì)參考。