基于藤Copula的HAR模型擴(kuò)展

楊濤 付英姿 李薛莎

摘要：波動(dòng)率可以衡量金融市場風(fēng)險(xiǎn)，在資產(chǎn)配置和風(fēng)險(xiǎn)管理等方面有重要意義。文章在基于高頻交易數(shù)據(jù)的HAR模型上對(duì)其進(jìn)行修正，利用藤Copula對(duì)HAR模型涉及的四個(gè)波動(dòng)率成分聯(lián)合建模（CV-HAR模型），并基于歷史數(shù)據(jù)的條件期望提取波動(dòng)率預(yù)測值。實(shí)證分析以上證交易所的20支股票作為研究樣本，對(duì)CV-HAR模型和歷史模型（HAR）性能進(jìn)行評(píng)估，結(jié)果表明，CV-HAR模型克服傳統(tǒng)模型線性結(jié)構(gòu)限制，并充分描述了聯(lián)合分布依賴關(guān)系，在對(duì)未來波動(dòng)率的預(yù)測行為方面更加精準(zhǔn)。

關(guān)鍵詞：波動(dòng)率;藤Copula;HAR模型

一、引言

金融資產(chǎn)波動(dòng)率的估計(jì)與預(yù)測是金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要研究領(lǐng)域。自Andersen和Bollerslev（1998）首次利用高頻交易數(shù)據(jù)提出的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RV）以來，高頻數(shù)據(jù)成為研究波動(dòng)率的重要手段。隨后Corsi（2004，2009）根據(jù)異質(zhì)市場假說理論，將市場波動(dòng)劃分為三種波動(dòng)形式（短期波動(dòng)、中期波動(dòng)和長期波動(dòng)），提出了異質(zhì)自回歸已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型（HAR-RV），其實(shí)證結(jié)果表明該模型的預(yù)測能力明顯優(yōu)于GARCH和ARFIMA-RV等波動(dòng)率預(yù)測模型。與此同時(shí)，許多學(xué)者在HAR族模型基礎(chǔ)上構(gòu)建新的預(yù)測模型，提高模型對(duì)市場波動(dòng)率的預(yù)測能力。

HAR族模型最大的一個(gè)特點(diǎn)就是線性，受特定的回歸形式所限制，這使得模型在預(yù)測方面沒有很好的應(yīng)用。一般回歸問題的表達(dá)式為RV=f（X，β）=IE[RV|X]，其中X是回歸向量，β是參數(shù)向量。本文的工作是直接利用條件分布函數(shù)FRV|X計(jì)算得到IE[RV|X]，其中條件分布函數(shù)可由聯(lián)合分布FRV，X獲得。該方法并沒限制回歸函數(shù)的特定形式，而是通過聯(lián)合分布函數(shù)來確定函數(shù)變量間相關(guān)關(guān)系。Copula（Nelsen，2000）將復(fù)雜的聯(lián)合分布拆分為單變量的邊緣分布和變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)來獨(dú)立研究，能夠更加靈活地描述變量間復(fù)雜依賴關(guān)系。Sokolinskiy和van Dijk（2011）提出了一種基于Copula的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RV）估計(jì)方法和預(yù)測方法，實(shí)證分析表明Copula可以靈活而簡潔地捕捉波動(dòng)率相關(guān)特征，在預(yù)測方面的準(zhǔn)確性和效率都由于傳統(tǒng)預(yù)測方法（HAR模型）。而本文主要是對(duì)HAR模型進(jìn)行修正，即對(duì)三種不同的波動(dòng)率成分使用Copula函數(shù)進(jìn)行聯(lián)合建模。在選取Copula函數(shù)時(shí)，本文采用了更為靈活地藤Copula（Joe，1996）來描述多個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系。藤Copula把多元聯(lián)合密度函數(shù)分解為條件邊緣分布密度函數(shù)和一系列Pair-Copula的乘積。

因此，本文利用藤Copula在HAR模型上對(duì)回歸函數(shù)進(jìn)行一般化，通過條件分布函數(shù)確定（簡稱CV-HAR模型）。在實(shí)證分析中，本文考慮了2015～2019年上證交易所20支股票的高頻交易數(shù)據(jù)，并采用不同的估計(jì)和預(yù)測方案來評(píng)估本文模型與HAR模型。

二、理論

（一）HAR模型

1. 已實(shí)現(xiàn)核（Realized Kernel，RK）波動(dòng)率

令pt表示t時(shí)刻的對(duì)數(shù)資產(chǎn)價(jià)格，假設(shè)每日有M個(gè)觀測值，為{p1，…，pi，…，pM}，則每日已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（RV）為：

Barndorff-Nielsen（2008）提出的已實(shí)現(xiàn)核（RK）波動(dòng)是一種新的波動(dòng)率非參數(shù)估計(jì)方法，該方法在最優(yōu)時(shí)間窗口構(gòu)造RV的核密度估計(jì)式。RK能有效濾出噪音更貼近于真實(shí)波動(dòng)率，其估計(jì)形式如下：

其中，γh為自協(xié)方差過程，wh=（w-H，…，w-1，w0，w1，…，wH）′是核加權(quán)函數(shù)。

2. HAR-RK模型

HAR模型的理論基礎(chǔ)是異質(zhì)市場假說，將異質(zhì)市場中的交易者分為短期交易者、中期交易者和長期交易者，分別表現(xiàn)為昨日已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率（RK）、周已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率（RK）和月已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率（RK）。則HAR-RK模型可表示為：

其中RK是今日已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率，β0是截距項(xiàng)，β（d）、β（w）和β（m）分別表示周以及月已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率的回歸系數(shù)，εt是具有獨(dú)立性和零均值特點(diǎn)。

（二）CV-HAR模型

HAR模型中實(shí)質(zhì)上是RK滯后項(xiàng)的線性組合，該模型存在著模型結(jié)構(gòu)固化和無法描述非線性特征的缺陷。本文研究RK，RK，RK，RK的聯(lián)合分布F，并通過提取條件分布F得到RK的條件期望：

式中εt為隨機(jī)誤差項(xiàng)。該模型可以作為式（3）的一般化，HAR模型的f是線性函數(shù)，而本文討論的模型是無固定結(jié)構(gòu)的條件期望形式。因此，本文利用藤Copula對(duì)四種波動(dòng)率的聯(lián)合分布進(jìn)行建模，該方法在多變量聯(lián)合建模方面優(yōu)勢尤為突出。

1. CV-HAR定義

由于四種波動(dòng)率（RK，RK，RK，RK）的特殊性，本文使用C藤Copula對(duì)這四種波動(dòng)率進(jìn)行建模（簡稱CV-HAR）。C藤是所有藤中最常見的一個(gè)子類，具有典型的“星型”結(jié)構(gòu)，其中每棵樹都有一個(gè)唯一的節(jié)點(diǎn)連接其他所有節(jié)點(diǎn)。假設(shè)d有個(gè)變量（X1，X2，…，Xd），F(xiàn)表示分布函數(shù)，f表示密度函數(shù)，則C藤的密度函數(shù)有如下分解式：

關(guān)于C藤結(jié)構(gòu)的確定，通過變量間的相關(guān)關(guān)系簡化其選擇問題，使其結(jié)構(gòu)更有解釋性。本文四種波動(dòng)率在時(shí)間方面是存在特殊關(guān)系的，由于月已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率（RK）驅(qū)動(dòng)著其他三種波動(dòng)率，因此將RK作為C藤中第一棵樹的中心節(jié)點(diǎn)。同理，考慮四種波動(dòng)率中當(dāng)前波動(dòng)率會(huì)受到歷史波動(dòng)率的影響，可得到C藤的結(jié)構(gòu)圖如下。

其中，第一棵樹所有的依賴關(guān)系都是是RK與其他波動(dòng)率之間的，最后一個(gè)樹中描述在周和月的已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率條件下今日和昨日波動(dòng)率（RK和RK）之間的關(guān)系。

2. CV-HAR模型估計(jì)與條件期望

關(guān)于CV-HAR模型的估計(jì)，本文采用邊際推斷函數(shù)法（IFM）：

（1）估計(jì)四種波動(dòng)率的邊際分布函數(shù)。本文采用以下方法進(jìn)行估計(jì)：參數(shù)估計(jì)（偏t分布）;核密度估計(jì);經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)（ECDF）。

（2）藤結(jié)構(gòu)的確定。由于變量特殊性，C藤呈現(xiàn)一個(gè)特殊的結(jié)構(gòu)圖（見圖1）。

（3）利用信息準(zhǔn)則（AIC或則BIC）對(duì)所有雙變量Copula進(jìn)行選擇。其中存在類似C23|1的雙變量Copula包含條件分布函數(shù)F3|1和F2|1，可以通過下式求得：

其中v是m維向量，vj是v的任意分量，v-j是v從中除去vj的m-1維向量，C（·，·）是雙變量Copula函數(shù)。

（4）利用式（11）可得基于C藤結(jié)構(gòu)的多元變量聯(lián)合分布。

對(duì)于評(píng)估條件期望IE[X|v]的首要條件是計(jì)算條件分布函數(shù)，而條件分布函數(shù)可以通過藤分解遞歸地求出見式（6）。

三、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)描述

為體現(xiàn)出CV-HAR模型性能的一般性特征，本文隨機(jī)挑選了上海證券交易所中20支股票的5分鐘高頻交易數(shù)據(jù)作為研究樣本。數(shù)據(jù)來源于微盛投資（http：//www.wstock.net/），樣本的跨度為2015年1月至2019年12月，共計(jì)1219天。由于需要計(jì)算今日已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率（RK）、昨日已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率（RK）、周已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率（RK）和月已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率（RK），數(shù)據(jù)需要從第23天開始截?cái)?，因此觀測數(shù)據(jù)一共1197個(gè)。

（二）估計(jì)和預(yù)測方案

本文在三種不同的方案下，分別對(duì)HAR模型和CV-HAR模型進(jìn)行估計(jì)，并制定相應(yīng)的預(yù)測措施。

1. 固定窗口（Fixed Window，F(xiàn)W）

將分別使用W={500，750，1000}個(gè)觀測值進(jìn)行模型估計(jì)。第1天到第W天的觀測部分用于樣本內(nèi)分析，其余W+1天到最后一天用于樣本外分析。

2. 增加窗口（Increasing Window，IW）

首先估計(jì)1到初始值W0天的HAR模型和CV-HAR模型，然后依次改變W=W0+i，i=1，…，1191-1-W0，并重新對(duì)1到W天進(jìn)行估計(jì)，每次估計(jì)都進(jìn)行一次提前一步預(yù)測（即預(yù)測W+1天）。初始值W0={500，750，1000}。

3. 滾動(dòng)窗口（Rolling Window，RW）

類似于增加窗口（IW），不同的是估計(jì)的時(shí)間窗口是滾動(dòng)變化。初始值為W0={500，750，1000}，對(duì)W-W0到W天進(jìn)行模型估計(jì)，并預(yù)測W+1天的波動(dòng)率值。

本文選取四種常見的損失函數(shù)來評(píng)價(jià)HAR和CV-HAR模型的性能：均方誤差（MSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）、異質(zhì)調(diào)整均方誤差（HMSE）和異質(zhì)調(diào)整平均絕對(duì)誤差（HMAE）。

（三）結(jié)果分析

首先，利用固定窗口對(duì)HAR模型和CV-HAR模型進(jìn)行估計(jì)。表1的結(jié)果顯示，固定窗口的大小對(duì)模型的結(jié)果有重要的影響，隨著窗口的擴(kuò)大，四種損失函數(shù)都有著顯著的改善。將模型結(jié)果分為樣本內(nèi)和樣本外分析，可以看出呈現(xiàn)的結(jié)果有明顯的區(qū)別。樣本內(nèi)的結(jié)果顯示HAR模型總體上表現(xiàn)出更好的性能，而樣本外的結(jié)果顯示CV-HAR模型都有著明顯的優(yōu)勢。HAR模型在樣本內(nèi)有著很好的擬合效果，但不能應(yīng)用于對(duì)未來的預(yù)測，然而CV-HAR模型利用藤Copula的靈活性，充分描述了波動(dòng)率之間的依賴關(guān)系，對(duì)未來的預(yù)測提供了更可靠結(jié)果。此外，在擬合CV-HAR模型的三種邊際擬合函數(shù)中，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)擬合效果最佳，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)估計(jì)不受模型的限制，很好地刻畫了波動(dòng)率的分布。圖2給出了關(guān)于HAR模型和CV-HAR模型的樣本外預(yù)測圖，圖中HAR模型的預(yù)測值整體上高估了RK值，而CV-HAR模型更加接近真實(shí)的值。

其次，表2展示的是HAR模型和CV-HAR模型在不同窗口下的三種樣本外預(yù)測方案的性能比較。最為明顯是在任意窗口下的不同預(yù)測方案呈現(xiàn)的結(jié)果都表明CV-HAR模型都要比HAR模型更優(yōu)秀，這說明本文考慮的模型的確克服了HAR固有的模型限制，并且允許非線性特征的存在，更加靈活地構(gòu)建了波動(dòng)率間的依賴關(guān)系，從而獲得更精準(zhǔn)的預(yù)測結(jié)果。此外，表中基于IW和RW方案的預(yù)測結(jié)果都顯著的比FW方案好，這是因?yàn)镮W和RW方案考慮了變量間的時(shí)變特征，這種變化是FW方法無法描述的。圖3給出了CV-HAR模型在IW方案下的Copula依賴關(guān)系變化趨勢?？梢钥闯?，隨著時(shí)間的變化，雙變量Copula的選擇各不相同，其Kendall's Tau相關(guān)系數(shù)也會(huì)隨著變化，這充分展現(xiàn)了Copula靈活刻畫變量間依賴關(guān)系的特點(diǎn)。

四、結(jié)語

本文使用藤Copula對(duì)不同尺度波動(dòng)率形式的聯(lián)合分布進(jìn)行建模，并在此基礎(chǔ)上對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測分析。在實(shí)證分析中，本文收集了上海證券交易所中20支股票的5分鐘高頻交易數(shù)據(jù)（計(jì)算已實(shí)現(xiàn)核波動(dòng)率，RK）作為研究樣本，并采用了不同的建模和預(yù)測方案（FW、IW和RW）來比較模型的性能。研究分析表明本文模型相比于HAR模型有著明顯的優(yōu)勢，CV-HAR模型不將任何函數(shù)結(jié)構(gòu)強(qiáng)加于條件期望（即變量間的線性關(guān)系），而是借助藤Copula允許更一般的函數(shù)連接不同波動(dòng)率形式，對(duì)波動(dòng)率的條件期望估計(jì)考慮了直接從聯(lián)合分布中提取，并沒有任何函數(shù)形式限制，放寬了原始HAR模型線性形式，結(jié)果也顯示都很大程度上的改進(jìn)。

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（作者單位：昆明理工大學(xué)理學(xué)院）