高阻尼隔振器對(duì)彈性梁動(dòng)態(tài)特性的影響研究

沈洪興 劉偉 漆莊平 劉海平 楊杰峰 劉會(huì)杰 張璇

摘? ?要：為了研究高阻尼隔振器對(duì)彈性梁動(dòng)態(tài)特性的影響，分別建立單層和雙層連續(xù)彈性支承梁動(dòng)力學(xué)模型.在空間-頻率域給出正弦穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下彈性梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).分別定義沿彈性梁垂直方向的力傳遞率和水平方向的平均振動(dòng)衰減率，對(duì)比高阻尼隔振器對(duì)彈性梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的控制效果.計(jì)算結(jié)果表明：相比常規(guī)線彈性支承，高阻尼隔振器可有效抑制彈性梁的力傳遞率幅值并增加彎曲波的空間傳遞衰減率;同時(shí)，梁-高阻尼隔振器系統(tǒng)固有頻率大于梁-線彈性支承系統(tǒng)固有頻率;通過(guò)調(diào)整高阻尼隔振器的安全系數(shù)ε和剛度比α，可優(yōu)化彈性梁的力傳遞率和空間衰減率的有效工作頻段和響應(yīng)幅值.

關(guān)鍵詞：高阻尼;隔振器;彈性梁;歐拉-伯努利梁;動(dòng)態(tài)特性

Abstract：In order to analyze the influence of the hyper-damping isolator on the dynamic characteristics of elastic beam， the dynamic mechanical models of the beam on single-layer and two-layer continuous elastic foundation were presented， respectively. The dynamic responses of the elastic beam under harmonic steady excitation were given in space-frequency domain. For comparison， the definition of force transmission ratio and vibration decay rate along the vertical and horizontal direction of the elastic beam were provided， respectively. Then， the control effectiveness of the hyper-damping isolator on the dynamic characteristics of the beam on the elastic foundation was evaluated. The calculating results show that the amplitude of the transmission force rate and decay rate of the flexural wave in space domain can be enhanced by using the hyper-damping isolator when compared with the common linear elastic foundation. Besides， the system frequency of the beam with hyper-damping isolator was higher than the beam on elastic foundation. Finally， the effective working frequency range， the amplitude of the transmission force rate and the vibration decay rate of the beam can be optimized by adjusting the parameters of stiffness ratio ε and the safe coefficient α of the hyper-damping isolator.

Key words：hyper-damping;isolator;elastic beam;Euler-Bernoulli beam;dynamic characteristics

梁結(jié)構(gòu)常見(jiàn)于軌道交通、石油化工、起重機(jī)械等工程領(lǐng)域，且多為金屬弱阻尼結(jié)構(gòu). 因此，梁結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的各類(lèi)振動(dòng)波可實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離傳遞且向周?chē)h(huán)境輻射噪聲. 為了有效控制彈性梁產(chǎn)生的振動(dòng)聲輻射，提高其空間振動(dòng)衰減特性意義重大. 例如，通過(guò)在彈性梁上引入非連續(xù)質(zhì)量或者非連續(xù)剛度，實(shí)現(xiàn)阻抗失配可以達(dá)到減振降噪的設(shè)計(jì)目標(biāo). Brennan等[1-2]研究了彈性梁中引入調(diào)諧振子對(duì)局部和全局梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的控制效果.Thompson[3]分別對(duì)無(wú)限長(zhǎng)彈性梁中采用單層連續(xù)彈性支承，連續(xù)動(dòng)力吸振器和雙層連續(xù)彈性支承等方式對(duì)梁上彎曲波傳遞特性的影響展開(kāi)理論研究，并給出不同邊界條件下實(shí)現(xiàn)彎曲波空間振動(dòng)高效衰減的最優(yōu)參數(shù).

以軌道交通為例，鋼軌作為一類(lèi)典型的彈性梁結(jié)構(gòu)，是輪軌振動(dòng)輻射噪聲的重要環(huán)節(jié).為了抑制鋼軌上彎曲波的長(zhǎng)距離傳遞，開(kāi)展了多種減振降噪方法和影響因素研究，如：兩自由度軌道動(dòng)力吸振器[4]、軌下扣件剛度頻變的影響[5]、軌下支承形式的影響[6-7]、道板動(dòng)力吸振器[8]等. 以上研究涉及的減振降噪方法均采用線彈性減隔振方案，其振動(dòng)抑制性能存在顯著缺陷，即：剛度和阻尼呈相反的變化規(guī)律，剛度增加阻尼降低，而阻尼增加剛度則被削弱;并且，剛度太小將顯著影響其靜態(tài)承載能力.

近年，技術(shù)人員嘗試將負(fù)剛度元件插入減隔振系統(tǒng)[9-11]中，通過(guò)正負(fù)剛度組合使用實(shí)現(xiàn)阻尼放大效果且系統(tǒng)剛度也未被削弱，由此提出高阻尼（Hyper-damping）隔振器的概念. 為了保證系統(tǒng)剛度不降低，高阻尼隔振器的等效剛度與線性隔振器的剛度相同. 超阻尼是指在阻尼極低的振動(dòng)系統(tǒng)中，在保證系統(tǒng)靜剛度和黏性阻尼參數(shù)不變的情況下，對(duì)系統(tǒng)采用正負(fù)剛度組合，而表現(xiàn)出比原來(lái)振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比高幾個(gè)數(shù)量級(jí)的現(xiàn)象[9]. 本文保證了系統(tǒng)靜剛度和黏性阻尼參數(shù)不變，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行正負(fù)剛度組合，利用其正負(fù)剛度元件所產(chǎn)生彈性恢復(fù)力之間的相位差來(lái)獲取超阻尼. 已有文獻(xiàn)[9-11]重點(diǎn)研究了安裝在剛性基礎(chǔ)上單自由度高阻尼隔振器受外部力激勵(lì)，在時(shí)間域和頻率域的響應(yīng)特性和隔振器阻尼放大效果的形成機(jī)理. 尚顯不足的是，彈性結(jié)構(gòu)與高阻尼隔振器的耦合作用對(duì)其減隔振性能的影響研究還未見(jiàn)報(bào)道.

綜上，本文嘗試將高阻尼隔振器替換彈性梁下的線彈性支承，并分別建立單層/雙層彈性支承梁的理論模型;在空間-頻率域?qū)Σ煌С袟l件下沿彈性梁垂直方向和水平方向的振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行研究;在此基礎(chǔ)上，針對(duì)高阻尼隔振器的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)安全系數(shù)ε和剛度比α進(jìn)行影響分析. 結(jié)果表明：高阻尼隔振器可顯著提升彈性梁上彎曲波傳播的空間衰減特性，并有效抑制其振動(dòng)響應(yīng).

1? ?含高阻尼隔振器的單層彈性支承梁

含高阻尼隔振器的單層彈性支承梁模型，如圖1所示. 模型中，高阻尼隔振器簡(jiǎn)化為連續(xù)分布的彈性層;彈性梁表示為無(wú)限長(zhǎng)歐拉-伯努利梁;所有剛度均為復(fù)剛度.

2? ?含高阻尼隔振器的雙層彈性支承梁

圖2給出含高阻尼隔振器的雙層彈性支承梁模型. 與單層彈性支承梁相比（參見(jiàn)圖1），高阻尼隔振器下串聯(lián)了中間質(zhì)量ms;彈性支承剛度kb和損耗因子ηb;將高阻尼隔振器替換為線彈性支承kp和損耗因子ηp，則系統(tǒng)模型變?yōu)槌Ｒ?guī)雙層線彈性支承梁.

3? ?數(shù)值計(jì)算及分析

以軌道交通為例，選擇常見(jiàn)有砟軌道參數(shù)[4]作為初始設(shè)計(jì)參數(shù)，具體如下：Er = 2.1 × 1011 N/m2，ρr = 7 850 kg/m3，ηr = 0.01，Ar = 7.69 × 10-3 m2，Ir = 30.55 × 10-6 m4;ms = 270 kg/m，kb = 4.93 × 106 N/m2，ηb = 1.0;kp= 2 × 108 N/m2，ηp = 0.2;α = 3，ε = 0.05;其他參數(shù)可根據(jù)第1節(jié)給出的公式導(dǎo)出.以下重點(diǎn)討論高阻尼隔振器設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)彈性支承梁動(dòng)力學(xué)特性的影響.

3.1? ?單層彈性支承梁

圖3給出不同安全系數(shù)ε對(duì)應(yīng)安裝高阻尼隔振器單層支承梁的力傳遞率曲線. 同時(shí)，為了對(duì)比還給出線彈性支承梁的力傳遞率曲線.由圖可見(jiàn)，線彈性支承梁的力傳遞率在約300 Hz呈現(xiàn)一個(gè)峰值，對(duì)應(yīng)梁-線彈性支承系統(tǒng)的固有頻率;高阻尼隔振器支承梁的力傳遞率峰值頻率均大于300 Hz，且受阻尼影響峰值隨著安全系數(shù)ε增加而減小且小于線彈性支承梁的力傳遞率峰值;通過(guò)調(diào)整高阻尼隔振器的安全系數(shù)ε，力傳遞率峰值和頻率均發(fā)生變化，即：安全系數(shù)ε增大，峰值頻率減小，響應(yīng)幅值也降低.

高阻尼隔振器的另一個(gè)關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)剛度比α對(duì)彈性梁力傳遞率的影響，如圖4所示.可見(jiàn)，安裝高阻尼隔振器彈性梁的力傳遞率峰值頻率均小于線彈性支承梁;而且，隨著剛度比α增加，力傳遞率峰值降低而相應(yīng)頻率增大.

此外，對(duì)比圖3和圖4，不同支承條件和高阻尼隔振器設(shè)計(jì)參數(shù)變化，對(duì)200 Hz以?xún)?nèi)頻段的力傳遞率幅值的影響可忽略;在低頻段，力傳遞率呈平直段小于1說(shuō)明梁下支承結(jié)構(gòu)具備一定的隔振能力且平直段數(shù)值與梁下支承結(jié)構(gòu)的剛度相關(guān).并且，在約200 ～ 400 Hz頻段安裝高阻尼隔振器彈性梁的力傳遞率峰值均小于線彈性支承梁. 但是，在400 Hz以上高頻段，安裝高阻尼隔振器彈性梁的力傳遞率幅值均大于線彈性支承梁.

相比于有限尺度結(jié)構(gòu)，無(wú)限長(zhǎng)梁不存在模態(tài)特征而是表現(xiàn)為振動(dòng)波的形式，主要包括：彎曲波、壓縮波和扭轉(zhuǎn)波.本文重點(diǎn)研究可以長(zhǎng)距離傳遞彎曲波的衰減特性，引用空間平均衰減率的概念表征沿彈性梁傳遞的彎曲波衰減特性，即：

400 Hz以下頻段的平均振動(dòng)衰減率;且隨著安全系數(shù)ε或者剛度比α增加，該頻率范圍的平均振動(dòng)衰減率減小. 顯然，高阻尼隔振器更利于減小彈性梁在中低頻段的振動(dòng)聲輻射;但是，在400 Hz以上頻段，高阻尼隔振器對(duì)彈性支承梁平均振動(dòng)衰減率的影響可忽略.

3.2? ?雙層彈性支承梁

高阻尼隔振器的安全系數(shù)ε和剛度比α對(duì)應(yīng)雙層彈性梁的力傳遞率曲線，如圖7和圖8所示. 可見(jiàn)，線彈性支承梁的力傳遞率曲線呈現(xiàn)兩個(gè)峰值，分別對(duì)應(yīng)彈性梁和中間質(zhì)量在下層彈性支承上的同相位振動(dòng)和彈性梁在上層彈性支承上的振動(dòng).由于高阻尼隔振器替換了上層線彈性支承，導(dǎo)致系統(tǒng)力傳遞率曲線主要在第二個(gè)峰值頻率附近發(fā)生變化. 高阻尼隔振器支承彈性梁的力傳遞率第二個(gè)峰值均小于線彈性支承梁，且峰值頻率向高頻移動(dòng);隨著安全系數(shù)ε增加，峰值減小相應(yīng)頻率略向低頻移動(dòng);剛度比α增加，峰值減小相應(yīng)頻率向高頻移動(dòng).

可見(jiàn)，高阻尼隔振器的安全系數(shù)ε和剛度比α變化可實(shí)現(xiàn)平均振動(dòng)衰減率最大值分別約為25 dB/m和18 dB/m且相應(yīng)頻率向高頻移動(dòng). 與單層彈性支承梁相比，高阻尼隔振器可以顯著改善彎曲波在彈性梁上的振動(dòng)衰減特性;但是，有效工作頻段比未安裝高阻尼隔振器的單層彈性梁略窄.

4? ?結(jié)? ?論

本文研究了新型高阻尼隔振器控制彈性梁振動(dòng)傳遞特性的有效性.分別建立安裝高阻尼隔振器的單層和雙層彈性梁的理論模型，并定義力傳遞率和平均振動(dòng)衰減率作為評(píng)價(jià)高阻尼隔振器減隔振性能的技術(shù)指標(biāo). 在此基礎(chǔ)上，選擇軌道交通工程領(lǐng)域?qū)嶋H的軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)（如：?jiǎn)螌訌椥灾С辛簽閴K式軌道，雙層彈性支承梁為有砟軌道），相關(guān)分析結(jié)論可直接用于指導(dǎo)工程方案選型和設(shè)計(jì).本文重點(diǎn)分析了彈性梁支承方式和高阻尼隔振器的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)安全系數(shù)ε和剛度比α變化對(duì)其減隔振性能的影響.分析計(jì)算發(fā)現(xiàn)：

1）安裝高阻尼隔振器后單層彈性梁-支承系統(tǒng)的力傳遞率峰值得到有效抑制;安全系數(shù)ε越大，共振峰值衰減越明顯，且高頻響應(yīng)幅值也得到一定程度降低;剛度比α越大，共振峰值也可以得到顯著衰減且當(dāng)α > 8時(shí)近似為無(wú)諧振峰響應(yīng)，而在高頻段的響應(yīng)幅值則逐漸趨于一致.

2）從空間域振動(dòng)波衰減特性角度，安裝高阻尼隔振器可以顯著提高單層彈性梁在中低頻段的振動(dòng)衰減性能;且取過(guò)大或者過(guò)小的剛度比α和安全系數(shù)ε均不利于提高其空間振動(dòng)衰減率.

3）針對(duì)雙層彈性支承梁，將上層彈性支承替換為高阻尼隔振器，在彈性梁-高阻尼隔振器系統(tǒng)的固有頻率附近頻段的力傳遞率和平均振動(dòng)衰減特性均得到顯著改善;能夠帶來(lái)超阻尼的彈性梁-高阻尼隔振器系統(tǒng)，相比于彈性梁支承系統(tǒng)，在系統(tǒng)靜剛度和黏性阻尼參數(shù)一定的條件下，通過(guò)選取合適的安全系數(shù)ε和設(shè)計(jì)參數(shù)剛度比α，可以顯著提高平均振動(dòng)衰減特性，進(jìn)而可以顯著抑制彈性梁的彎曲振動(dòng)響應(yīng).由于梁下支承結(jié)構(gòu)剛度較大，導(dǎo)致高阻尼隔振器的控制效果不明顯;在有效作用共振峰處，安全系數(shù)ε > 0.1和剛度比α > 8時(shí)，共振頻點(diǎn)處近似為無(wú)諧振峰響應(yīng).

4）相比于安裝高阻尼隔振器的單層彈性支承梁，安裝高阻尼隔振器顯著提高雙層彈性支承梁空間振動(dòng)衰減率. 其中，安全系數(shù)ε和剛度比α取較小值時(shí)有利于提高空間振動(dòng)衰減率的峰值. 但是，有效控制頻段略微變窄.

參考文獻(xiàn)

[1]? ? BRENNAN M J. Control of flexural waves on a beam using a tunable vibration neutraliser[J]. Journal of Sound and Vibration，1999，222（3）：389—407.

[2]? ? BRENNAN M J，DAYOU J. Global control of vibration using a tunable vibration neutralizer[J]. Journal of Sound and Vibration，2000，232（3）：585—600.

[3]? ? THOMPSON D J. A continuous damped vibration absorber to reduce broad-band wave propagation in beams[J]. Journal of Sound and Vibration，2008，311（3/4/5）：824—842.

[4]? ? WU T X. On the railway track dynamics with rail vibration absorber for noise reduction[J]. Journal of Sound and Vibration，2008，309（3/4/5）：739—755.

[5]? ? 尹鏹，蔡成標(biāo)，朱勝陽(yáng). 扣件剛度頻變特性對(duì)輪軌振動(dòng)噪聲的影響[J]. 振動(dòng)與沖擊，2017，36（18）：231—237.

YIN Q，CAI C B，ZHU S Y.Effect of the frequency-dependent stiffness of rail fasteners on the wheel-rail vibration noise[J]. Journal of Vibration and Shock，2017，36（18）：231—237. （In Chinese）

[6]? ? 王炯，吳天行. 浮置板軌道隔振性能研究[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，41（6）：1021—1025.

WANG J，WU T X. On vibration isolation performance of floating slab track[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University，2007，41（6）：1021—1025. （In Chinese）

[7]? ? LI Z G，WU T X. Modelling and analysis of force transmission in floating-slab track for railways[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part F：Journal of Rail and Rapid Transit，2008，222（1）：45—57.

[8]? ?ZHU S Y，YANG J Z，CAI C B，et al. Application of dynamic vibration absorbers in designing a vibration isolation track at low-frequency domain[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part F：Journal of Rail and Rapid Transit，2017，231（5）：546—557.

[9]? ?ANTONIADIS I，CHRONOPOULOS D，SPITAS V，et al. Hyper-damping properties of a stiff and stable linear oscillator with a negative stiffness element[J]. Journal of Sound and Vibration，2015，346（1）：37—52.

[10]? ANTONIADIS I A，KYRIAKOPOULOS K J，PAPADOPOULOS E G.Hyper-damping behavior of stiff and stable oscillators with embedded statically unstable stiffness elements[J]. International Journal of Structural Stability and Dynamics，2017，17（5）：1740008.

[11]? 董光旭，張希農(nóng)，謝石林，等. 基于負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的高剛度-超阻尼隔振器設(shè)計(jì)與研究[J]. 振動(dòng)與沖擊，2017，36（9）：239—246.

DONG G X，ZHANG X N，XIE S L，et al. Design of a high stiffness and hyper-damping vibration isolator based on negative stiffness mechanism[J]. Journal of Vibration and Shock，2017，36（9）：239—246. （In Chinese）