在一般觀念引領(lǐng)下探索空間幾何圖形的性質(zhì)
——“立體幾何初步”內(nèi)容分析與教學(xué)思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

在義務(wù)教育階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的“圖形與幾何”內(nèi)容主要有：空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的概念、性質(zhì)和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)；等等.學(xué)生在掌握“圖形與幾何”的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，空間觀念得到了一定發(fā)展，在借助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程中，初步建立了幾何直觀.因?yàn)槌踔袔缀握n程主要以平面圖形為研究對(duì)象，所以在高中幾何課程中，首先需要建立基本立體圖形的概念，認(rèn)識(shí)點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再用適當(dāng)?shù)墓ぞ吆头椒ㄕ归_(kāi)空間圖形性質(zhì)與關(guān)系的研究.

實(shí)際上，立體幾何所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法與平面幾何沒(méi)有本質(zhì)差別，不同的是研究對(duì)象，特別是要在一張紙上處理空間圖形，借助“理念作圖”展開(kāi)思考，導(dǎo)致其抽象程度提高，對(duì)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的要求都大大提高了.

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)提出：立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系.本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生以長(zhǎng)方體為載體，認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證；了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法；運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念.本章的內(nèi)容有基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系、幾何學(xué)的發(fā)展.

分析課程標(biāo)準(zhǔn)的上述表述，可以得出如下認(rèn)識(shí)：

第一，立體幾何的研究對(duì)象是空間圖形(1)課程標(biāo)準(zhǔn)在這里的表述是“立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系”，筆者覺(jué)得這是一個(gè)“筆誤”.現(xiàn)實(shí)世界中的物體不是幾何的研究對(duì)象，幾何的研究對(duì)象是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的空間形式，這種空間形式在現(xiàn)實(shí)世界中并不存在，例如現(xiàn)實(shí)世界中是不存在數(shù)學(xué)中的“直線”、“平面”這種東西的.，研究?jī)?nèi)容是圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，研究順序是先從現(xiàn)實(shí)世界中抽象空間圖形獲得幾何對(duì)象，再對(duì)其形狀、大小和位置關(guān)系等性質(zhì)展開(kāi)研究.在本單元中，形狀、大小是對(duì)有界圖形(柱、錐、臺(tái)、球等)的研究，位置關(guān)系是對(duì)點(diǎn)、直線、平面的研究.

第二，在認(rèn)識(shí)點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系中，長(zhǎng)方體是一個(gè)好用的模型；直線、平面的位置關(guān)系主要研究平行、垂直的性質(zhì)與判定，其重點(diǎn)是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言(日常語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言)表述和論證.之所以將位置關(guān)系的研究聚焦在平行和垂直上，是因?yàn)椤霸诳臻g的種種性質(zhì)中，最為基本而且影響無(wú)比深遠(yuǎn)者，首推對(duì)稱(chēng)性和平直性”，而平直性和對(duì)稱(chēng)性在立體幾何中的表現(xiàn)，“乃是空間中的‘平行’與‘垂直’以及兩者之間的密切關(guān)聯(lián).其實(shí)平行與垂直乃是整個(gè)定量幾何基礎(chǔ)所在，當(dāng)然也就是讀者學(xué)習(xí)立體幾何的起點(diǎn)與要點(diǎn)所在.”([1]，p.101)

第三，就像平面幾何中的度量問(wèn)題一樣，只要有了簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積的度量公式，其組合體的度量就可以利用這些公式進(jìn)行化歸.

第四，對(duì)空間圖形性質(zhì)的研究，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算，可以實(shí)現(xiàn)由表及里、從定性到定量的認(rèn)識(shí)，在不斷深化對(duì)空間圖形認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，可以使學(xué)生逐步建立空間觀念.

2 本單元內(nèi)容與要求

1.基本立體圖形

(1)利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).

(2)知道棱柱、棱錐、棱臺(tái)、球的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

(3)能用斜二測(cè)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖.

2.基本圖形位置關(guān)系

(1)借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解以下基本事實(shí)和定理.

基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

(2)從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明.

①一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

②兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.

③垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

④兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.

(3)從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下判定定理.

①若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

②若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

③若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.

④若一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

(4)能利用以上已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

3.幾何學(xué)的發(fā)展

收集、閱讀幾何學(xué)發(fā)展的歷史資料，撰寫(xiě)小論文，論述幾何學(xué)發(fā)展的過(guò)程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對(duì)人類(lèi)文明的貢獻(xiàn).

由課程標(biāo)準(zhǔn)的上述內(nèi)容和要求可以發(fā)現(xiàn)，立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)并不是要建立結(jié)構(gòu)完善、邏輯嚴(yán)密的立體幾何知識(shí)體系.對(duì)柱、錐、臺(tái)、球等空間幾何體，強(qiáng)調(diào)從整體到局部、從具體到抽象的原則，通過(guò)豐富的實(shí)物模型或利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)它們的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，逐步形成空間觀念.這就意味著，這里只要掌握柱錐臺(tái)球的基本概念，不要求掌握它們的性質(zhì).空間圖形的性質(zhì)將在選擇性必修中以向量為工具進(jìn)行研究.

對(duì)于點(diǎn)、直線、平面等基本圖形的位置關(guān)系，強(qiáng)調(diào)通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體等圖形的觀察和操作，發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行、垂直關(guān)系的命題，逐步學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題；對(duì)相應(yīng)的判定定理，只要求直觀感知、操作確認(rèn)，在選擇性必修課程中再用向量方法對(duì)這些定理加以論證.

幾何學(xué)的發(fā)展歷史悠久，課程標(biāo)準(zhǔn)在這里安排了一個(gè)與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化相關(guān)的選學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過(guò)查閱幾何學(xué)發(fā)展的資料、撰寫(xiě)小論文，在論述幾何學(xué)發(fā)展歷史、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對(duì)人類(lèi)文明的貢獻(xiàn)等過(guò)程中，提高對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值的認(rèn)識(shí).

3 內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

3.1 基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征

1.定義幾何圖形的數(shù)學(xué)方式

高中立體幾何課程的研究對(duì)象可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)是基本立體圖形，包括柱、錐、臺(tái)、球及其組合體，它們是“有界圖形”；一類(lèi)是點(diǎn)、直線和平面，它們是最基本的空間圖形，直線、平面都具有無(wú)限延展性.定義這些數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)方式是怎樣的呢？我們可以分析一下幾何圖形的定義，看看它們有哪些共性.

三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角是其基本元素，外角、高、角平分線、中線、中位線是相關(guān)元素；

多邊形：在平面內(nèi)由一些線段首尾順次相接組成的圖形，邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角是其基本元素，外角、對(duì)角線等是相關(guān)元素；

多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，面、棱、頂點(diǎn)等是其基本元素；

棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，棱柱的底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)等是其基本元素；

棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，棱錐的底面、側(cè)面?zhèn)壤?、頂點(diǎn)是其基本元素；等等.

從以上定義可以發(fā)現(xiàn)，定義直線型圖形、多面體圖形的數(shù)學(xué)方式是：

利用組成圖形的基本元素，將基本元素的形狀、位置關(guān)系作為刻畫(huà)圖形結(jié)構(gòu)特征的“要件”.

所以，認(rèn)識(shí)一類(lèi)立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，就是抽象這類(lèi)圖形的組成元素及其形狀和位置關(guān)系，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá).教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形、平行四邊形以及圓等的定義，幫助學(xué)生總結(jié)出定義幾何圖形的數(shù)學(xué)方式，再讓他們以此為指導(dǎo)去觀察相應(yīng)的實(shí)物、模型，并利用計(jì)算機(jī)軟件展示更豐富的幾何圖形幫助學(xué)生進(jìn)行多角度觀察，在充分地直觀感知的基礎(chǔ)上再進(jìn)行本質(zhì)特征的抽象，得出基本幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征.

2.如何研究幾何體的結(jié)構(gòu)特征

幾何體的結(jié)構(gòu)特征從定性描述、定量刻畫(huà)兩個(gè)角度展開(kāi)，因?yàn)槎康囊筝^低，而且是基于定性性質(zhì)的，所以這里著重就定性描述進(jìn)行討論.

數(shù)學(xué)思想：幾何體的結(jié)構(gòu)特征有多種表現(xiàn)形式，選擇刻畫(huà)一類(lèi)對(duì)象的充要條件作為定義，且要求包含的要素關(guān)系盡量少，實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何圖形的數(shù)學(xué)抽象.再以此為出發(fā)點(diǎn)，研究其他特征，獲得幾何體的性質(zhì).

研究?jī)?nèi)容：以“屬+種差”的方式對(duì)幾何圖形進(jìn)行“從粗到細(xì)”的分類(lèi).

過(guò)程與方法：從觀察與分析一些具體幾何圖形組成元素的形狀、位置關(guān)系入手，歸納共性，抽象出分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，再概括到同類(lèi)圖形而形成抽象概念.

研究結(jié)果舉例：

幾何體的分類(lèi)——以幾何體的表面特征(是否都為多邊形)為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，把空間幾何體分為多面體、旋轉(zhuǎn)體.

多面體的分類(lèi)——以組成元素的形狀、位置關(guān)系為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)分為棱柱、棱錐、棱臺(tái)等等.例如：棱錐有一個(gè)面(底面)是多邊形，其余各面(側(cè)面)都是三角形，這是組成元素的形狀；三角形有一個(gè)公共頂點(diǎn)，這是組成元素的位置關(guān)系.

對(duì)一類(lèi)多面體的分類(lèi)——以這類(lèi)多面體的組成元素的某種特征或關(guān)系為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi).例如，以棱錐底面多邊形的邊數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)將棱錐分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；以底面多邊形的形狀+頂點(diǎn)在底面的正投影的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分為正棱錐和非正棱錐；等等.

另外，還要對(duì)一些特殊的圖形進(jìn)行特別的研究，例如正多面體.

可以看到，對(duì)幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)是通過(guò)分類(lèi)完成的.分類(lèi)是理解數(shù)學(xué)對(duì)象的重要一環(huán).一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的具體例子不勝枚舉，按某種特征對(duì)它們“分門(mén)別類(lèi)”，就使這一對(duì)象所包含的事物條理化、結(jié)構(gòu)化，并可由此確定一種分類(lèi)研究的路徑，使后續(xù)研究順序展開(kāi).

分類(lèi)就是把研究對(duì)象歸入一定的系統(tǒng)和級(jí)別，形成有內(nèi)在層級(jí)關(guān)系的“子類(lèi)”系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而就進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)對(duì)象所含事物之間的邏輯關(guān)系，由此可以極大地增強(qiáng)“子類(lèi)特征”的可預(yù)見(jiàn)性，從而也就有利于我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì).

3.關(guān)于作圖

首先明確一個(gè)觀點(diǎn)，即：作圖是立體幾何學(xué)習(xí)的“第一大事”， 在紙上畫(huà)立體圖形，是培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的重要契機(jī).所以，立體幾何教學(xué)中必須要求學(xué)生“認(rèn)真讀題，根據(jù)題意先作出直觀圖”，并且要把圖畫(huà)得盡量準(zhǔn)一點(diǎn)，以利于看出各種關(guān)系.然而，觀察當(dāng)下的課堂，發(fā)現(xiàn)“導(dǎo)學(xué)案”中不僅給出了命題，而且畫(huà)好了圖形，學(xué)生已經(jīng)不需要“根據(jù)題意作出圖形”了.鑒于目前“導(dǎo)學(xué)案”泛濫的實(shí)情，幾何課不要求學(xué)生作圖的做法應(yīng)該不是個(gè)案.我們認(rèn)為，這是導(dǎo)致當(dāng)前立體幾何教學(xué)質(zhì)量不高的主要原因之一.

關(guān)于立體幾何作圖對(duì)培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的意義，我們可以與平面幾何作圖比較一下.

首先，平面幾何作圖在一個(gè)“平的面”上進(jìn)行，一張紙、一塊黑板都是這樣的一個(gè)面，因此平面圖形可以在紙上或黑板上用直尺、圓規(guī)真實(shí)地畫(huà)出來(lái)，但立體幾何作圖做不到.因?yàn)榱Ⅲw圖形是三維的，而“三維紙”或“三維黑板”是難以提供的.

其次，平面幾何作圖中，我們可以利用直尺和圓規(guī)完成那些“基本作圖問(wèn)題”，例如用直尺在紙上畫(huà)出兩點(diǎn)所決定的那條直線的局部，用圓規(guī)畫(huà)出給定圓心和半徑的圓；但在立體幾何作圖中，我們沒(méi)有這樣的工具能方便地畫(huà)出不共線三點(diǎn)所決定的那個(gè)平面的局部，只能畫(huà)“示意圖”，而這種圖原則上并不唯一.

第三，立體幾何作圖是“在二維平面上作三維立體圖形”，在本質(zhì)上是“理念作圖”.作出的“直觀圖”可以引導(dǎo)我們想象它所代表的“真實(shí)圖形”的樣子，但它不是平面幾何中那樣的實(shí)在圖形.

在立體幾何中，我們真正在做的是把某種真實(shí)存在的立體幾何事物，在理念中逐步分解成平面上某些特定的平面圖形的組合來(lái)加以明確刻畫(huà).正如項(xiàng)武義先生指出的：這種理念作圖是在訓(xùn)練如何把立體幾何中的基本圖形歸于平面幾何作圖來(lái)加以分析，唯有通過(guò)這種理念作圖的練習(xí)，才能學(xué)會(huì)如何有效運(yùn)用所學(xué)的平面幾何知識(shí)去理解空間的本質(zhì).我們與生俱來(lái)的視覺(jué)是具有相當(dāng)好的空間想象能力的，但是要把它提升到對(duì)于空間圖形及其所蘊(yùn)含的空間本質(zhì)的洞察力，這種訓(xùn)練是不可缺少的！([1]，p. 113-114)

所以，在二維平面上畫(huà)三維圖形，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的意義是基本而重要的，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)、優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣以及審美情趣等也有作用.我們應(yīng)該立即改變不重視作圖的錯(cuò)誤做法，在獲得幾何對(duì)象、定義概念、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)等各個(gè)環(huán)節(jié)中都要加強(qiáng)“理念作圖”的訓(xùn)練，并在解題教學(xué)中把“根據(jù)題意作出圖形”作為第一步.

4.“基本立體圖形”的育人價(jià)值

“基本立體圖形”的學(xué)習(xí)，理性思維的要求不高，以直觀感知、操作確認(rèn)的方式為主，通過(guò)對(duì)基本立體圖形的分類(lèi)，達(dá)到對(duì)柱、錐、臺(tái)、球結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí).從數(shù)學(xué)思想和方法的角度看，本單元的教學(xué)應(yīng)關(guān)注如下幾個(gè)方面，這也是本單元的主要育人價(jià)值所在：

(1)掌握描述幾何體結(jié)構(gòu)特征的方法——以幾何體的表面組成元素、形狀、位置關(guān)系為“要件”得出結(jié)果；

(2)形成數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)、刻畫(huà)幾何圖形結(jié)構(gòu)特征的能力——抓關(guān)鍵要素及其基本關(guān)系(平行、垂直(對(duì)稱(chēng)))；

(3)掌握描述事物特征的邏輯方法——以“屬+種差”的方法對(duì)一類(lèi)幾何體進(jìn)行逐層分類(lèi)，從而有序地、有邏輯地認(rèn)識(shí)事物的特征，培養(yǎng)理性思維.

3.2 基本圖形的位置關(guān)系

本單元的整體架構(gòu)是：平面——直線、平面的平行(平直性)——直線、平面的垂直(對(duì)稱(chēng)性).這是在定義空間基本圖形的基礎(chǔ)上，按位置關(guān)系逐類(lèi)展開(kāi)研究.研究過(guò)程中滲透著公理化思想，而對(duì)平面基本性質(zhì)的描述(幾何原始概念的定義方式)、基本圖形位置關(guān)系的分類(lèi)中體現(xiàn)著數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的思維方式，對(duì)發(fā)展學(xué)生的理性思維能起到非常積極的作用.

1.平面

點(diǎn)、直線、平面是構(gòu)建幾何圖形的基本材料.根據(jù)歐氏幾何公理體系的要求，對(duì)點(diǎn)、直線和平面等基本圖形特征的描述是立體幾何的出發(fā)點(diǎn).這種處于原始出發(fā)點(diǎn)的圖形特征的描述往往很困難，因?yàn)檫@有“從無(wú)到有創(chuàng)生幾何”的味道.這里的任務(wù)就是要設(shè)法描述清楚直線的“直”、平面的“平”到底是怎么回事.根據(jù)數(shù)學(xué)地刻畫(huà)一個(gè)事物的基本方式，我們可以通過(guò)直線、平面的組成元素之間確定的相互關(guān)系(位置關(guān)系)進(jìn)行描述，實(shí)際上這也就給出了“平面的基本性質(zhì)”.

顯然，直線AB上的點(diǎn)、線段與直線AB有如下基本關(guān)系：

以上以“兩點(diǎn)之間線段最短”為出發(fā)點(diǎn)，討論了直線上的點(diǎn)、線段和直線的基本關(guān)系，即“∈”、“?”、“?”等，這種關(guān)系體現(xiàn)了直線的“直”的含義，也就是“直線的基本性質(zhì)”.

一脈相承地，我們可以用這種思想方法討論平面的“平”.

其次，看直線與平面的關(guān)系.顯然，直線與平面的最基本關(guān)系是“直線在平面內(nèi)”.那么到底需要直線上幾個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)就可以確定直線在平面內(nèi)呢？由“兩點(diǎn)確定一條直線”容易想到只要兩個(gè)點(diǎn)即可，這就是“基本事實(shí)2”的內(nèi)容.

再次，看平面與平面的關(guān)系.到處存在的直觀材料和直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就有過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條公共直線，也就是說(shuō)，兩個(gè)平面不可能只交于一個(gè)點(diǎn)，這就是“基本事實(shí)3”的內(nèi)容.

由基本事實(shí)2，3可以發(fā)現(xiàn)，直線的“直”和平面的“平”具有內(nèi)在的一致性.另外，反思刻畫(huà)“直”、“平”的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，得出“基本事實(shí)”的思想方法，是從“最少條件”出發(fā)來(lái)考慮的，這是數(shù)學(xué)的基本手法.

順便指出，平面的基本事實(shí)及其推論的教材具有研究?jī)?nèi)容、過(guò)程和方法的統(tǒng)一性，都由三個(gè)環(huán)節(jié)組成：生活實(shí)例——基本事實(shí)——三種語(yǔ)言表示，教學(xué)時(shí)要注意加強(qiáng)實(shí)踐性，讓學(xué)生多想、多說(shuō)、多畫(huà).另外，關(guān)于“基本事實(shí)”，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度理解.例如：

不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面：如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么它們重合；

“兩條相交直線確定唯一一個(gè)平面”與“平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量組成一個(gè)基底”異曲同工；等等.

2.如何定義基本圖形的位置關(guān)系

為了概括定義基本圖形位置關(guān)系中使用的數(shù)學(xué)思想方法，我們把空間直線、平面位置關(guān)系的定義放在一起，分析一下它們的共性.

空間兩條直線的位置關(guān)系：

直線與平面的位置關(guān)系：

直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；

直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn).

兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系：

兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；

兩個(gè)平面相交——有一條公共直線.

可以發(fā)現(xiàn)，定義基本圖形的位置關(guān)系，先從兩個(gè)圖形有無(wú)公共點(diǎn)及公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)上進(jìn)行分類(lèi)，當(dāng)僅從公共點(diǎn)角度不能確定位置關(guān)系時(shí)，再利用“公共直線”.

我們知道，點(diǎn)是0維的，是直線、平面的基本組成元素；直線是1維的，是平面的組成元素；平面是2維的.“公共點(diǎn)”、“公共直線”都是幾何圖形組成元素的一種相互關(guān)系.

所以，空間基本圖形位置關(guān)系的定義方式是：

通過(guò)基本圖形組成元素的相互關(guān)系定義它們的位置關(guān)系.

這樣的定義也是基于直觀的.基本圖形的位置關(guān)系中，異面直線的定義比較“拗口”，“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”就是這兩條直線既不平行也不相交.在一個(gè)平面內(nèi)，既不平行也不相交的兩條直線是不存在的.

空間直線、平面位置關(guān)系的教學(xué)，首先要利用好長(zhǎng)方體模型，幫助學(xué)生建立相應(yīng)的直觀形象基礎(chǔ).其次，要重視“三種語(yǔ)言”的教學(xué)，要讓學(xué)生動(dòng)

腦想、動(dòng)嘴說(shuō)、動(dòng)手畫(huà).特別是畫(huà)圖，要讓學(xué)生在觀察相應(yīng)的實(shí)物模型、動(dòng)手操作等基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，使學(xué)生體會(huì)如何才能使所作圖形具有直觀性.例如，可以要求學(xué)生作出不同的異面直線示意圖(如圖1就是三種直觀性較好的示意圖).

圖1

(未完待續(xù))