線性二次型及模型預(yù)測(cè)控制編隊(duì)控制研究*

武梅麗文，王曉東，宋勛，陳燕飛

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854;2.空軍裝備部駐北京地區(qū)第一軍事代表室,北京 100854)

0 引言

隨著時(shí)代的推進(jìn)，戰(zhàn)爭(zhēng)的形式在逐漸轉(zhuǎn)變，作戰(zhàn)理念從“空海地一體戰(zhàn)”、“拒止戰(zhàn)”發(fā)展到“分布式作戰(zhàn)”、“馬賽克戰(zhàn)”等，對(duì)抗的矛頭逐步從裝備較量、技能較量轉(zhuǎn)向智能較量，未來(lái)戰(zhàn)場(chǎng)變得愈發(fā)復(fù)雜。面對(duì)高度對(duì)抗、高度不確定的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境，集群作戰(zhàn)理念應(yīng)運(yùn)而生。集群作戰(zhàn)旨在弱化高水平單平臺(tái)的裝備實(shí)力，強(qiáng)調(diào)小型大量單一功能平臺(tái)的力量匯聚，注重發(fā)展體系戰(zhàn)作戰(zhàn)概念。無(wú)人集群系統(tǒng)可包含無(wú)人機(jī)集群、無(wú)人車集群及他們的異構(gòu)重組，若考慮更大空間尺度上的應(yīng)用，還涉及協(xié)同導(dǎo)彈彈群等等。除應(yīng)對(duì)集群作戰(zhàn)場(chǎng)景，無(wú)人集群編隊(duì)還可應(yīng)用于森林防火救援、城市物流、環(huán)境監(jiān)測(cè)、攝影攝像等諸多民用領(lǐng)域，具有廣闊的應(yīng)用前景。編隊(duì)控制作為無(wú)人集群應(yīng)用技術(shù)的核心，有以下主要研究?jī)?nèi)容，如編隊(duì)控制律設(shè)計(jì)、隊(duì)形設(shè)計(jì)、隊(duì)形保持、隊(duì)形切換、編隊(duì)避障等，構(gòu)建出較為復(fù)雜的綜合研究網(wǎng)。

為了實(shí)現(xiàn)無(wú)人集群的編隊(duì)控制，考慮以下主要控制策略：一是跟隨領(lǐng)航者法，即在隊(duì)形中選取某一個(gè)智能體為領(lǐng)航者，而其他智能體跟隨領(lǐng)航者運(yùn)動(dòng)。將編隊(duì)轉(zhuǎn)化成領(lǐng)航/跟航策略，即可利用標(biāo)準(zhǔn)控制理論進(jìn)行穩(wěn)定跟蹤誤差設(shè)計(jì)[1]；二是虛擬結(jié)構(gòu)法，相比領(lǐng)航者法，虛擬結(jié)構(gòu)法不需要設(shè)置真實(shí)的領(lǐng)航者，只需要設(shè)定虛擬參考編隊(duì)點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)控制[2]。這種方法可以擺脫因領(lǐng)航者故障而帶來(lái)的編隊(duì)癱瘓問題。為了實(shí)現(xiàn)虛擬結(jié)構(gòu)，除了利用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡跟蹤方法以外，還可以引入相似一致性方法，保持隊(duì)形的穩(wěn)定，增強(qiáng)隊(duì)形抗干擾性。如文獻(xiàn)[3]，Ren等人利用相鄰節(jié)點(diǎn)信息構(gòu)建相似一致編隊(duì)框架，在非時(shí)變的編隊(duì)問題中達(dá)到隊(duì)形快速收斂的效果。后Dong等人將相似一致性方法應(yīng)用到多無(wú)人機(jī)時(shí)變編隊(duì)問題中，并在試驗(yàn)中驗(yàn)證了控制算法的高效性[4]；三是基于行為法，這種方法將控制邏輯提取為一系列行為的組合，其核心在于設(shè)計(jì)并選擇合適有效的基本行為序列，實(shí)現(xiàn)控制的最終目的。近些年借著交叉學(xué)科發(fā)展的契機(jī)，從生物界汲取靈感，探究例如“狼群”“蜂群”“魚群”的行為機(jī)制，發(fā)展基于群體智能的集群控制方法，已有很多理論積累[5-6]。

除了上層的編隊(duì)控制架構(gòu)以外，為實(shí)現(xiàn)理想的運(yùn)動(dòng)軌跡，底層的編隊(duì)控制律設(shè)計(jì)也尤為重要。在工程應(yīng)用中，常用的控制方法有PID、最優(yōu)控制線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)[7]及見長(zhǎng)于軌跡跟蹤、障礙規(guī)避的模型預(yù)測(cè)控制(MPC)[8-10]等。編隊(duì)個(gè)體數(shù)量龐大，編隊(duì)控制優(yōu)化問題復(fù)雜，需要借助優(yōu)化控制的方法來(lái)減輕實(shí)現(xiàn)編隊(duì)隊(duì)形及軌跡的難度。因此本文聚焦于2種優(yōu)化控制方法，LQR和MPC的控制效果。LQR主要通過(guò)加權(quán)矩陣Q和R的選取來(lái)影響控制性能，如控制強(qiáng)度、收斂速度等。MPC則主要借助于未來(lái)窗口長(zhǎng)度，對(duì)軌跡跟蹤的效果在未來(lái)幾步做綜合推演，以確定當(dāng)前時(shí)刻控制量的大小。MPC可利用二次規(guī)劃(QP)等方法在線求解線性約束，獲得多約束條件下的優(yōu)化控制量，滿足無(wú)人平臺(tái)行進(jìn)的物理限制[11-12]，應(yīng)用于無(wú)人駕駛車輛軌跡跟蹤避障[13-15]、航天器交互對(duì)接中都表現(xiàn)出很好的控制效果。

本文基于相似一致性編隊(duì)算法，利用圓形編隊(duì)場(chǎng)景，對(duì)線性二次型控制及模型預(yù)測(cè)控制進(jìn)行控制效果研究。智能體的編隊(duì)行進(jìn)軌跡都可以拆解成直線和圓弧線兩種跟蹤模式，且任何曲線軌跡其實(shí)都可以近似由這兩種軌跡拼接組合，而智能體在圓形編隊(duì)場(chǎng)景中，隨著轉(zhuǎn)彎半徑的縮小，行駛速度的增大，對(duì)于軌跡跟蹤的效果往往不盡人意。因此本文選擇這兩種優(yōu)化算法對(duì)其在編隊(duì)轉(zhuǎn)彎中的應(yīng)用進(jìn)行對(duì)比分析，得出結(jié)論。

1 問題闡述

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮N個(gè)無(wú)人機(jī)智能體編隊(duì)飛行，采用二維運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，則每一智能體模型表示如下：

(1)

式中：x(t)為位置；v(t)為線速度；u(t)為控制量。

定義單智能體的狀態(tài)變量為xi(i∈IN)，控制變量為ui(i∈IN)，則

xi=(xix，vix，xiy,viy)T,

(2)

ui=(uix,uiy)T，

(3)

式中：下標(biāo)x和y代表二維平面的2個(gè)坐標(biāo)方向。

那么多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

x=(x1,x2,…，xN)T.

(4)

控制變量為

u=(u1,u2,…,uN)T，i∈IN.

1.2 基于相似一致性的時(shí)變編隊(duì)控制

預(yù)先定義時(shí)變編隊(duì)構(gòu)型H為

H=(h1，h2，…,hN)T,

(5)

式中：hi=(hiposition，hivelocity),i∈IN。

基于相似一致性編隊(duì)控制原理，有：

定義1：對(duì)多智能體系統(tǒng)(1)，在任意給定的有限初始狀態(tài)下，當(dāng)

(6)

則稱(1)實(shí)現(xiàn)了時(shí)變編隊(duì)。

式(6)中c(t)代表編隊(duì)中心的狀態(tài)，編隊(duì)中心是時(shí)變的，若考慮統(tǒng)一編隊(duì)中心，則代表虛擬中心方法，若考慮相鄰點(diǎn)狀態(tài)量，則是利用相似一致性原則?；谙嗨埔恢滦栽?，推導(dǎo)定義1可得定義2。

定義2：對(duì)多智能體系統(tǒng)(1)，在任意給定的有限初始狀態(tài)下，當(dāng)有

(7)

則稱(1)實(shí)現(xiàn)了時(shí)變編隊(duì)。

若分析圓形編隊(duì)構(gòu)型，有

(8)

式中:Rc為軌跡半徑；Vc為編隊(duì)線速度。

2 編隊(duì)控制方法

2.1 LQR控制

首先分析單智能體動(dòng)力學(xué)模型。定義模型為

(9)

(10)

根據(jù)LQR方法，定義代價(jià)函數(shù)JLQR為

(11)

式中:Q為反饋狀態(tài)變量的權(quán)重；R用于限制控制力強(qiáng)度。

獲取使代價(jià)函數(shù)最小的控制量u*為L(zhǎng)QR的最優(yōu)控制結(jié)果。推導(dǎo)最優(yōu)控制反饋KLQR為

(12)

在最優(yōu)控制反饋KLQR的作用下，最優(yōu)控制量u*的解析表達(dá)式為

(13)

式中:P可由黎卡提方程求解：

(14)

LQR算法應(yīng)用于單智能體系統(tǒng)的控制邏輯圖見圖1。

圖1 LQR算法邏輯圖Fig.1 LQR logic diagram

2.2 MPC控制

為了進(jìn)行模型預(yù)測(cè)控制MPC的設(shè)計(jì)，首先要理解方法的原理。MPC和PID,LQR控制都屬于線性控制方法，運(yùn)用線性化動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算。對(duì)比MPC和PID，兩者區(qū)別：一是MPC引入優(yōu)化方法，通過(guò)優(yōu)化算法獲取最優(yōu)控制量，而PID只是單步反饋，控制量是恒定的；二是，MPC考慮多步模型預(yù)測(cè)進(jìn)行優(yōu)化控制，視野窗向前推進(jìn)多步。其中第一方面，MPC運(yùn)用優(yōu)化方法，就可以方便的引入多變量約束；第二方面多步優(yōu)化，能夠?qū)ξ磥?lái)有更好的預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)軌跡快速收斂或簡(jiǎn)單避障。這些優(yōu)點(diǎn)可以減輕PID方法控制延遲、魯棒性低、易受干擾、單步反饋控制存在穩(wěn)態(tài)誤差等諸多弊端。而LQR方法雖然也是通過(guò)代價(jià)函數(shù)取優(yōu)的，但是對(duì)比MPC和LQR方法可發(fā)現(xiàn)，LQR的代價(jià)函數(shù)是由當(dāng)下時(shí)間到時(shí)間無(wú)窮大的區(qū)間進(jìn)行推導(dǎo)的，目的是確保控制最終結(jié)果的穩(wěn)定性，而不是針對(duì)控制過(guò)程的優(yōu)劣性進(jìn)行設(shè)計(jì)；而MPC的優(yōu)化考慮的是每一個(gè)步運(yùn)算向前推進(jìn)幾步的窗口范圍內(nèi)的優(yōu)化結(jié)果，更加關(guān)注視野范圍內(nèi)的控制效果，對(duì)于過(guò)程的優(yōu)化效果更加顯著。

為了實(shí)現(xiàn)模型預(yù)測(cè)控制MPC，第一步需要定義單智能體的代價(jià)函數(shù)JMPC：

(15)

式中：Nu代表控制量的個(gè)數(shù)，對(duì)于本文單智能體動(dòng)力學(xué)模型來(lái)說(shuō)，Nu為2；p為未來(lái)窗口長(zhǎng)度；NK為單智能體狀態(tài)變量個(gè)數(shù)；wi為加權(quán)函數(shù)。

為了在MPC優(yōu)化中加入對(duì)于控制力強(qiáng)度的約束，更新式(15)為

(16)

式中：λ為限制控制量變化率的算子。

為了求解JiMPC的最小值，應(yīng)用二次規(guī)劃QP。QP求解器的形式為

(17)

MPC算法應(yīng)用于單智能體系統(tǒng)的控制邏輯圖如圖2所示。

圖2 MPC算法邏輯圖Fig.2 MPC logic diagram

3 結(jié)果分析

基于上文介紹的2種編隊(duì)控制方法，設(shè)計(jì)圓形編隊(duì)軌跡半徑為10 m，編隊(duì)線速度為10 m/s，編隊(duì)個(gè)數(shù)為4，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)仿真。編隊(duì)參考點(diǎn)在圓上均布排列，繞圓心旋轉(zhuǎn)。編隊(duì)控制的期望效果是4個(gè)無(wú)人機(jī)個(gè)體(或其他智能體)協(xié)同追蹤參考軌跡圓上的4個(gè)期望位置，實(shí)現(xiàn)最小位置偏差。計(jì)算時(shí)間間隔為0.01 s，MPC未來(lái)窗口長(zhǎng)度為25步。

圖3 編隊(duì)控制算法側(cè)向誤差對(duì)比Fig.3 Comparison of lateral errors of formation control algorithms

圖4 LQR方法控制仿真結(jié)果Fig.4 LQR simulation results

圖5 MPC方法控制仿真結(jié)果Fig.5 MPC simulation results

4 結(jié)束語(yǔ)

本文選擇LQR和MPC兩種最優(yōu)控制方法，探究應(yīng)用于圓形軌跡工況的編隊(duì)控制效果。基于相似一致性原則，搭建時(shí)變編隊(duì)控制模型，利用二階動(dòng)力學(xué)模型，分析二維運(yùn)動(dòng)的編隊(duì)規(guī)律，得到以下結(jié)論：

(1) 相比LQR算法，MPC算法控制編隊(duì)更為穩(wěn)定，收斂迅速，側(cè)向控制誤差減少60%。

(2) 增加側(cè)向加速度補(bǔ)償之后，MPC方法側(cè)向控制誤差減少90% 以上，并保持原有編隊(duì)穩(wěn)定性。

考慮MPC方法的快速收斂性、穩(wěn)定性及其用于編隊(duì)控制中障礙規(guī)避的潛力，MPC有著廣闊的應(yīng)用前景，值得在編隊(duì)試驗(yàn)中進(jìn)行更為深入的研究。