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    機械原理課程設(shè)計中機器人機構(gòu)的動力學(xué)建模與仿真

    2021-03-23 10:40:56陳修龍陳天祥
    實驗室研究與探索 2021年2期
    關(guān)鍵詞:運動學(xué)質(zhì)心并聯(lián)

    陳修龍,陳天祥

    (山東科技大學(xué)機械電子工程學(xué)院,山東青島 266590)

    0 引言

    機械原理課程設(shè)計是培養(yǎng)學(xué)生機構(gòu)分析能力的重要環(huán)節(jié),但傳統(tǒng)課程設(shè)計主要針對平面連桿機構(gòu)的運動學(xué)進(jìn)行分析,動力學(xué)分析的較少,特別是課程設(shè)計中對機器人機構(gòu)動力學(xué)分析還很鮮見。作為重要應(yīng)用機構(gòu)類型之一的機器人機構(gòu)受到了廣大企業(yè)和科研院所的關(guān)注[1-3],在機械原理課程設(shè)計中增加機器人機構(gòu)動力學(xué)的內(nèi)容,不但能滿足有較好課程基礎(chǔ)和分析能力學(xué)生的需要,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,拓展思路,而且能做好校內(nèi)學(xué)習(xí)內(nèi)容與校外需求的統(tǒng)一,為學(xué)生分析能力的培養(yǎng)和就業(yè)都具有重要的作用。

    平面3 自由度并聯(lián)機構(gòu)是機器人機構(gòu)的重要分支,其結(jié)構(gòu)簡單,制造成本低,在芯片封裝及電路板精密切割等領(lǐng)域具有較廣的應(yīng)用,已逐漸成為國內(nèi)外研究熱點[4-8]。并聯(lián)機器人機構(gòu)動力學(xué)建模分析是動力學(xué)性能評價、精確控制和優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)[9-14],也是機器人機構(gòu)工程應(yīng)用的理論依據(jù)。Hamdoun 等[15]研究了3-RRR并聯(lián)機器人的逆運動學(xué)問題,并進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計研究;馬立等[16]建立了3-PRR平臺的偽剛體模型及對其進(jìn)行位姿分析,獲得了平臺的正、逆解;Mo等[17]、楊杰等[18]對平面3-RRR 和3PRR 并聯(lián)平臺進(jìn)行了運動學(xué)建模和運動控制研究;Can 等[19]研究了平面3-RRR 并聯(lián)機構(gòu)3 個曲柄在不同方向旋轉(zhuǎn)時的奇異位姿。Lipiński[20]研究了基于RRR平臺并聯(lián)機器人復(fù)雜機電一體化系統(tǒng)的動力學(xué)問題;趙磊等[21]建立了3-RRR柔順并聯(lián)機構(gòu)的偽剛體模型,并采用矢量代數(shù)法理論推導(dǎo)了該機構(gòu)的位姿正解;張東勝等[22]基于(2PRR)~2 +R 3 自由度平面并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)造了一種新型5 自由度串并混聯(lián)機器人并對其并聯(lián)部分進(jìn)行了運動學(xué)分析,推導(dǎo)出冗余和非冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)剛度矩陣和機構(gòu)固有頻率方程;陳修龍等[23]對3-PRR并聯(lián)機器人機構(gòu)進(jìn)行了運動學(xué)建模與分析,并研究了其工作空間及運動學(xué)特性;?zgür 等[24]提出了一種用于并聯(lián)機器人運動學(xué)和動力學(xué)建模的線性方法;朱大昌等[25]采用優(yōu)化準(zhǔn)則算法,結(jié)合矢量同構(gòu)映射方程,對3-PRR型平面3 自由度全柔順并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行了同構(gòu)構(gòu)型設(shè)計;Li 等[26]研究了冗余驅(qū)動平面旋轉(zhuǎn)并聯(lián)機構(gòu)(RAPRPMS)通過改變內(nèi)力來調(diào)節(jié)機器人剛度的設(shè)計方法;鄒琦等[27]提出了一種新型的具有無窮對稱位置的平面3 自由度可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu),利用閉環(huán)矢量方程進(jìn)行正逆運動學(xué)分析,通過遺傳算法進(jìn)行桿件優(yōu)化。

    本文在機械原理課程設(shè)計中對3-移動副-轉(zhuǎn)動副-轉(zhuǎn)動副(3-prismatic pair-rotating pair-rotating pair,3-PRR)平面并聯(lián)機器人機構(gòu)剛體動力學(xué)進(jìn)行研究,建立機構(gòu)的運動學(xué)反解數(shù)學(xué)模型,基于第2 類拉格朗日方程進(jìn)行逆動力學(xué)建模與分析,求出各個驅(qū)動關(guān)節(jié)上的驅(qū)動力,結(jié)合Adams仿真結(jié)果進(jìn)行對比驗證。

    1 3-PRR并聯(lián)機器人機構(gòu)介紹

    如圖1 所示,3-PRR 并聯(lián)機器人機構(gòu)具有三條對稱的PRR支鏈,機構(gòu)整體主要由7 個活動構(gòu)件,6 個轉(zhuǎn)動副和3 個移動副構(gòu)成,每條支鏈上的滑塊底部與定平臺通過移動副連接,滑塊上部與從動連桿通過轉(zhuǎn)動副連接,從動連桿的另一端與動平臺轉(zhuǎn)動連接。通過自由度計算公式可知,3-PRR 并聯(lián)機器人機構(gòu)的自由度為3,具有平面內(nèi)2 個移動1 個轉(zhuǎn)動共3 個自由度。

    圖1 3-PRR并聯(lián)機器人機構(gòu)模型簡圖

    如圖1 所示,3-PRR 并聯(lián)機構(gòu)主要包含1 個定平臺A1A2A3,1個動平臺a1a2a3,3個滑塊Bi,3個從動桿Biai,其中AiBi為固定在定平臺上的3 個滑動導(dǎo)軌,Bi和ai處為平面轉(zhuǎn)動軸承。全局坐標(biāo)系為OA-XAYA,原點OA為等邊三角形A1A2A3的中心,XA 軸沿A2A3方向;動平臺局部坐標(biāo)系為Oa-XaYa,原點Oa為等邊三角形a1a2a3的中心,Xa軸沿a2a3方向。

    2 3-PRR并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)反解建模

    2.1 位置分析

    對于第i條支鏈(i=1~3),滑塊Bi的中心與點Ai之間的距離為li,從動連桿Biai的桿長為Si,動平臺a1a2a3的外接圓半徑為r,定平臺A1A2A3的外接圓半徑為R。其中l(wèi)i和Si與全局坐標(biāo)系XA 軸的夾角分別為αi和θi,且li指向定平臺中心OA,Oaai與動平臺局部坐標(biāo)系的Xa軸的夾角為βi。動平臺中心Oa的坐標(biāo)在全局坐標(biāo)系下為

    式中:x、y分別為動平臺中心的全局坐標(biāo);φ為動平臺局部坐標(biāo)系相對全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度。

    對于支鏈i,建立運動學(xué)反解方程如下:

    式中:AxAi=Rcos αi;AyAi=Rsin αi;Axai=x+rcos (βi+φ);Ayai=y+rsin (βi+φ)。

    2.2 速度分析

    將運動學(xué)方程(1)對時間求一次導(dǎo)數(shù),得到速度反解方程如下:

    將方程(2)寫成矩陣形式:

    2.3 加速度分析

    速度反解方程(3)對時間求一次導(dǎo)數(shù),得到加速度反解方程:

    3 基于拉格朗日方程的動力學(xué)建模分析

    動力學(xué)模型描述了并聯(lián)機構(gòu)末端運動和各個驅(qū)動關(guān)節(jié)力傳遞關(guān)系。在機構(gòu)設(shè)計階段,逆動力學(xué)建模分析對電動機選型、能耗分析和軌跡規(guī)劃等具有重要指導(dǎo)意義。本文使用第2 類拉格朗日方程對3-PRR 并聯(lián)機器人機構(gòu)進(jìn)行逆動力學(xué)建模分析。

    3.1 構(gòu)件質(zhì)心坐標(biāo)

    在不考慮摩擦力、黏滯阻力等因素影響,只考慮機構(gòu)本身的力傳遞關(guān)系前提下建立剛體逆動力學(xué)模型。根據(jù)圖1 的坐標(biāo)描述,可定義各個構(gòu)件的質(zhì)心坐標(biāo),其中滑塊的質(zhì)心坐標(biāo)為(AXli,AYli),從動桿的質(zhì)心坐標(biāo)為(AXSi,AYSi),動平臺的質(zhì)心坐標(biāo)為(x,y),分析可得:

    3.2 構(gòu)件質(zhì)心速度

    對構(gòu)件的質(zhì)心坐標(biāo)求導(dǎo)可得各構(gòu)件的質(zhì)心速度,滑塊的質(zhì)心速度,從動桿的質(zhì)心速度為),動平臺的質(zhì)心速度?;瑝K和從動桿的質(zhì)心速度可以表示為:

    3.3 系統(tǒng)動能

    系統(tǒng)的總動能T 分別包括3 個滑塊的動能Tli,3個從動連桿的動能TSi和動平臺的動能T0。整理可得系統(tǒng)的總動能為:

    經(jīng)整理可得系統(tǒng)的動能:

    3.4 等效廣義力

    并聯(lián)機器人機構(gòu)為一個非保守系統(tǒng),由非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程可知,方程式等號右邊的Qi即為非保守力,作用于其上的非保守力主要包括驅(qū)動力、生產(chǎn)阻力和耗散力等。最主要的耗散力為摩擦阻力,由于系統(tǒng)的摩擦力相對于驅(qū)動力和生產(chǎn)阻力而言很小,所以為了簡化動力學(xué)模型,可以不考慮耗散力的影響,只計算驅(qū)動力和生產(chǎn)阻力產(chǎn)生的影響。

    機構(gòu)的3 個驅(qū)動關(guān)節(jié)為移動副,設(shè)3 個滑塊的驅(qū)動力分別為Fdi,機構(gòu)所受外力負(fù)載全部等效作用于動坐標(biāo)系的原點,將其轉(zhuǎn)換到定坐標(biāo)系中表示為f。

    由虛功原理可知,

    式中:δ W′為虛功之和;δ qi為廣義虛位移;Qdi=為驅(qū)動力所對應(yīng)的廣義力;為外力負(fù)載所對應(yīng)的廣義力;f=[fxfyMf]T為外力負(fù)載。

    3.5 系統(tǒng)的拉格朗日方程

    選擇動平臺所在的平面為零勢能面,機構(gòu)在平面系統(tǒng)內(nèi)沒有重力做功,由于系統(tǒng)中所有運動副都屬于理想約束,所以平面3-PRR 并聯(lián)機器人機構(gòu)屬于存在非有勢力的理想約束完整系統(tǒng),系統(tǒng)的拉格朗日方程可寫成:

    已知系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L=T -V。其中:T為動能;V為勢能。由于機構(gòu)所在平面為零勢能面,故勢能V=0;L=T。系統(tǒng)的拉格朗日方程可寫為:

    把系統(tǒng)的總動能方程式(6)代入拉格朗日方程式(8),選取li為廣義坐標(biāo)為廣義速度,可求得各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力:

    3.6 動力學(xué)模型數(shù)值算例與Adams仿真分析

    動力學(xué)仿真在機構(gòu)設(shè)計階段有重要意義,可通過機構(gòu)動力學(xué)仿真,確定驅(qū)動功率大小、分析負(fù)載特性等,同時仿真分析也可以驗證理論計算的正確性。因此,有必要對平面3-PRR并聯(lián)機器人機構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)仿真分析。

    數(shù)值算例的理論計算部分采用Matlab,分別對理論計算結(jié)果和Adams 軟件仿真結(jié)果進(jìn)行對比分析。平面3-PRR并聯(lián)機構(gòu)末端在運行圓形軌跡的時候,3個關(guān)節(jié)運動對稱,為了驗證理論計算的正確性和便于觀察,軌跡將采用圓形軌跡,對比理論計算的每個關(guān)節(jié)的廣義力和仿真得到的驅(qū)動力,如圖2、3 所示。

    表1 計算仿真參數(shù)表

    動平臺和定坐標(biāo)系之間的角度φ=30°,動平臺中心沿一個半徑為0.01 m的圓形軌跡運行,軌跡的圓心為全局坐標(biāo)系原點OA,每0.2 s 運行一周。軌跡方程表達(dá)式為:

    圖2 空載時Matlab計算曲線圖

    圖3 空載時Adams仿真曲線圖

    動平臺質(zhì)心的初始坐標(biāo)為:x0=0.01,y0=0,φ0=30°。

    通過圖2、3 的曲線對比,可以看出理論計算結(jié)果的值和Adams仿真的結(jié)果的值基本一致,3 個關(guān)節(jié)的運動對稱,相位互差2/3 πrad。Adams 仿真結(jié)果驗證了3-PRR并聯(lián)機器人機構(gòu)動力學(xué)建模的正確性。

    在動平臺質(zhì)心處沿著定坐標(biāo)系x 軸方向施加5N的負(fù)載力,保持式(10)的運動軌跡不變,進(jìn)行Matlab數(shù)值計算與Adams仿真對比分析,結(jié)果見圖4、5。

    圖4 負(fù)載為5N時Matlab計算曲線圖

    通過對比圖4、5 和圖2、3 可以看出,給動平臺添加負(fù)載之后,各驅(qū)動桿的驅(qū)動力都收到不同程度的影響,Adams仿真結(jié)果和Matlab計算的結(jié)果基本一致。

    圖5 負(fù)載為5N時Adams仿真曲線圖

    4 結(jié)語

    在機械原理課程設(shè)計中對平面3-PRR 并聯(lián)機器人機構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)建模和分析。建立了3-PRR 并聯(lián)機器人機構(gòu)的運動學(xué)反解數(shù)學(xué)模型,基于第二類拉格朗日方程對平面3-PRR 并聯(lián)機器人機構(gòu)進(jìn)行逆剛體動力學(xué)建模,推導(dǎo)出3-PRR 并聯(lián)機構(gòu)的系統(tǒng)動能方程,計算了系統(tǒng)的等效廣義力,在空載和施加負(fù)載力兩種情況下進(jìn)行數(shù)值計算,分別求解出了在相同給定軌跡下空載和負(fù)載時各個驅(qū)動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力,并采用Adams仿真結(jié)果與Matlab 理論計算結(jié)果進(jìn)行對比分析,驗證了理論建模的正確性。

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