矩陣核心逆的Sherman-Morrison-Woodbury公式及其應(yīng)用

楊虹 ， 鐘金 ， 馬柏林

（1. 江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西 贛州 341000； 2. 嘉興學(xué)院數(shù)理與信息工程學(xué)院， 浙江 嘉興 314001）

0 引 言

20 世紀(jì) 50 年代，Sherman，Woodbury, Morrison等[1-4]發(fā)現(xiàn)了關(guān)于矩陣逆的一個(gè)公式，稱為Sherman-Morrison-Woodbury 公式 （以下簡稱SMW 公式）。令 A 是一個(gè) n 階可逆矩陣，U、V 是 n×r 矩陣，X 是r 階可逆矩陣，則矩陣

可逆當(dāng)且僅當(dāng)矩陣

可逆。 此時(shí)，

式（1）中的矩陣UXV*可以看作初始矩陣A 的更新矩陣。 SMW 公式是矩陣論中的一個(gè)重要公式，在統(tǒng)計(jì)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)、最優(yōu)化、偏微分方程、線性方程組、奇異值等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[5-7]。

由于SMW 公式要求矩陣A 和A+UXV*均可逆，一個(gè)更一般的問題是：當(dāng)A 和A+UXV*不可逆時(shí)，各種廣義逆的SMW 公式成立的條件是什么?近幾十年來，眾多學(xué)者研究了關(guān)于各種廣義逆的SMW 公式，如 Moore-Penrose 逆、Drazin 逆、廣義Drazin 逆[8-11]，并給出了這些廣義逆的SMW 公式成立的條件， 但對(duì)于A-YGZT的非負(fù)性并未討論。 本文將研究矩陣核心逆的SMW 公式， 不僅給出了矩陣核心逆的SMW 公式成立的條件，同時(shí)利用所得結(jié)論討論了擾動(dòng)矩陣A-YGZT的核心逆的非負(fù)性。

1 預(yù)備知識(shí)

2 核心逆的SMW 公式

3 擾動(dòng)矩陣A-YGZT 的核心逆的非負(fù)性

4 數(shù)值例子

5 結(jié) 論

矩陣的Sherman-Morrison-Woodbury 公式不僅是矩陣論中一個(gè)重要的公式，同時(shí)在數(shù)學(xué)其他分支有廣泛的應(yīng)用。 本文利用值域與核的包含關(guān)系建立了矩陣核心逆的SMW 公式成立的兩類條件，推廣了經(jīng)典的SMW 公式。 由于廣義逆的SMW 公式會(huì)涉及較多的條件限制， 如何進(jìn)一步弱化廣義逆的SMW 公式成立的條件是值得進(jìn)一步研究的問題。 此外， 本文的研究發(fā)現(xiàn)可借助矩陣A-YGZT的核心逆的SMW 公式來討論其非負(fù)性，該理論也可用于研究矩陣A-YGZT的其他廣義逆的非負(fù)性。