初中數(shù)學(xué)函數(shù)題解題策略探微

【摘要】 初中數(shù)學(xué)的函數(shù)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要組成部分.掌握函數(shù)題解題策略對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、抽象能力、數(shù)據(jù)分析能力和解決問題的能力有很大的幫助.本文通過分析初中常見函數(shù)題型，結(jié)合具體實(shí)例，探究當(dāng)前初中函數(shù)解題策略，分析解題過程，找到解題技巧和方法，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)知識.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；函數(shù)題；解題策略

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要內(nèi)容，教師在教學(xué)的過程中，對學(xué)生講授函數(shù)的概念、表達(dá)方式、基本性質(zhì)和圖象的繪制等基礎(chǔ)知識，讓學(xué)生利用所學(xué)知識來解決實(shí)際函數(shù)問題，深刻理解函數(shù)學(xué)習(xí)的樂趣與價值.在此過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、邏輯思維能力，通過高效的解題方法，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)潛能，強(qiáng)化學(xué)生對函數(shù)知識的理解、應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

1 對稱分析法

對稱分析法是一種數(shù)學(xué)分析方法，主要是利用圖形的對稱性簡化數(shù)學(xué)問題，在函數(shù)圖象分析中對稱性是重要的解題依據(jù)，如偶函數(shù)滿足f（x）=f（-x），圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)滿足f（x）=-f（x），圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；非奇非偶函數(shù)，可能存在一條或多條對稱軸，這就需要學(xué)生根據(jù)題干信息，確定函數(shù)類型、繪制圖象，尋找到對稱點(diǎn)，畫出對稱軸，找到解題路徑［2］.

例1 已知點(diǎn)A（-6，m+2），B（-3，m），C（3，m）在同一個函數(shù)圖象上，則這個函數(shù)圖象可能是（ ）

（A）（B）

（C）（D）

解析 因?yàn)辄c(diǎn)B（-3，m）和點(diǎn)C（3，m）的縱坐標(biāo)相同，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.點(diǎn)A（-6，m+2）和點(diǎn)B（-3，m）的橫坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)，但點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)B的小，而縱坐標(biāo)卻比點(diǎn)B的大.這說明當(dāng)x從-6變化到-3時，y值在減小.因此，函數(shù)在x＜0的區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).由于函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，可以排除不具有這一性質(zhì)的選項(xiàng).由于函數(shù)在x＜0的區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，可以排除在該區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的選項(xiàng).故選擇（B）.

2 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是常用的求解函數(shù)解析式的方法，當(dāng)已知函數(shù)形式，其系數(shù)未知時，可以設(shè)定含有待定系數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)給定條件（如函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值等）進(jìn)行系數(shù)的求解.

例2 如圖1，在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y= -x+b和反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于點(diǎn)A（1，m），B（n，1）．

（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)及一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象，直接寫出不等式-x+b>9x的解.

解析 （1）根據(jù)點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)圖象上，可以直接求出m，n的值，再根據(jù)點(diǎn)A或點(diǎn)B在一次函數(shù)圖象上，計算出點(diǎn)b的值，即可得出一次函數(shù)解析式.（2）根據(jù)函數(shù)圖象，找到直線在雙曲線上邊部分時所對應(yīng)的自變量的取值范圍，就是不等式的解集.

解 （1）把點(diǎn)A（1，m）代入y=9x中，得m=91=9.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，9），把點(diǎn)B（n，1）代入y=9x中，得n=91=9.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，1）.

把x=1，y=9代入y=-x+b中，得-1+b=9，b=10.所以一次函數(shù)的解析式為y=-x+10.

（2）由圖象可知，當(dāng)x＜0時，直線y=-x+b在反比例函數(shù)y=9x圖象的上邊；在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上邊，因?yàn)锳（1，9）和點(diǎn)B（9，1），所以當(dāng)1＜x＜9時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上邊，即不等式-x+b>9x的解集為：x＜0或1＜x＜9.

例3 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A（4，0）.經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)B（1，3），與y軸交于點(diǎn)C，求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

解析 將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值，可得到拋物線的解析式；設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=mx+n，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，可得到關(guān)于m，n的方程組，解方程組求出m，n的值，可得到直線AB的函數(shù)解析式，由x =0求出對應(yīng)的y的值，可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).

解 把（0，0），A（4，0），B（1，3）代入y=ax2+bx+c（a≠0），

得c=016a+4b+c=0a+b+c=3，

解得a=-1b=4c=0，

所以二次函數(shù)的解析式為y=-x2+4x，

設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，

則4m+n=0m+n=3，

解得m=-1n=4，

所以直線AB解析式為y=-x+4y，

當(dāng)x=0時，y=4，所以C（0，4）

3 結(jié)語

通過上面函數(shù)題的解析過程可以發(fā)現(xiàn)，在初中函數(shù)問題的解題過程中學(xué)生可以根據(jù)題目的要求，靈活地使用對稱分析法、待定系數(shù)法解決問題，也可以根據(jù)題目對應(yīng)問題的相關(guān)描述，從而找到題干中的隱藏條件.如已知函數(shù)的圖象，求對應(yīng)函數(shù)的解析式，在解答這一類函數(shù)問題時，需要結(jié)合題干信息對其進(jìn)行分析、整理，并從圖象中挖掘隱藏條件，結(jié)合題干信息進(jìn)行整合，確定聯(lián)系，求出結(jié)果，以此來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.

【注：本文系唐山市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃課題“基于優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)指導(dǎo)機(jī)制構(gòu)建研究”研究成果（課題編號：LX2023030）】

參考文獻(xiàn)：

［1］吳子興.初中二次函數(shù)中幾種常見的解題方法［J］.數(shù)理天地（初中版），2024，09（19）；31-32.

［2］馬述文.初中數(shù)學(xué)“函數(shù)的圖像”考點(diǎn)分析［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2024，07（20）；27-28.