基于NSGA-II 的城市橋梁系統(tǒng)震后可恢復(fù)性分析與優(yōu)化

寇 崢，李 寧

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350；2. 中國(guó)地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱 150080；3. 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(天津大學(xué))，天津 300350；4. 中國(guó)地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(天津大學(xué))，天津 300350)

可恢復(fù)性(Resilience)概念被引入土木工程領(lǐng)域后，國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究增勢(shì)迅速。Bruneau 等[1]將災(zāi)后可恢復(fù)性定義為“社會(huì)單元在災(zāi)難發(fā)生時(shí)承受災(zāi)害、自我恢復(fù)的能力”、“可將受到的損失降到最低并減輕災(zāi)害長(zhǎng)期影響的能力”，可恢復(fù)性包括四個(gè)基本性質(zhì)，分別為魯棒性(robustness)、冗余性(redundancy)、資源性(resourcefulness)和快速性(rapidity)。為了明確分析可恢復(fù)性的效益，上述研究從技術(shù)、組織、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)四個(gè)方面出發(fā)，為了得到更可靠、更快修復(fù)或更低損失，建議可恢復(fù)性采用可恢復(fù)性指數(shù)R 定量計(jì)算：

式中： R 為可恢復(fù)性指標(biāo)； t0為地震發(fā)生的時(shí)間；tr為震后修復(fù)完成的時(shí)間；Q(t)為功能隨時(shí)間變化的函數(shù)。

式(1)的不足在于，當(dāng)震后功能修復(fù)至超出原功能時(shí)，將導(dǎo)致被積函數(shù)結(jié)果為負(fù)、失去意義。因此文獻(xiàn)[2]提出了側(cè)重于可恢復(fù)性本身的計(jì)算方法：

然而，式(2)在某些情況下并不適用，例如，一個(gè)快速修復(fù)的過程可能得到的是一個(gè)較低的可恢復(fù)性指標(biāo)。為此，消除修復(fù)過程長(zhǎng)短的影響，得到了目前普遍接受的可恢復(fù)性指標(biāo)[3]：

式中， th為檢測(cè)完成的時(shí)間，其他參數(shù)如圖1 所示。

目前，國(guó)內(nèi)對(duì)單體結(jié)構(gòu)可恢復(fù)性研究開展較多。周穎和呂西林[4]綜述了可更換構(gòu)件、搖擺和自復(fù)位結(jié)構(gòu)研究進(jìn)展，提出了“可恢復(fù)功能結(jié)構(gòu)”。李英民等[5]在基于性能的結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)方法基礎(chǔ)上，提出結(jié)構(gòu)在不同損傷機(jī)制下的安全、經(jīng)濟(jì)和可恢復(fù)性評(píng)價(jià)方法。何政等[6]提出不同的結(jié)構(gòu)抗震可恢復(fù)性等級(jí)，結(jié)合易損性分析，采用結(jié)構(gòu)剩余抗震能力比，評(píng)估結(jié)構(gòu)大震安全性，提出基于抗震可恢復(fù)性的設(shè)計(jì)框架。

圖1 可恢復(fù)性評(píng)價(jià)中結(jié)構(gòu)功能曲線模型Fig.1 Function curve in structural resilience evaluation

橋梁震后可恢復(fù)性研究主要集中在震后可恢復(fù)性評(píng)價(jià)、損失計(jì)算等。許圣[7]以鋼筋混凝土連續(xù)梁橋?yàn)槔?，提出了可恢?fù)性能力指數(shù)和抗震可恢復(fù)性效益。Andri?和Lu[8]采用模糊函數(shù)量化各影響參數(shù)，用震后損失和恢復(fù)能力評(píng)估橋梁可恢復(fù)性。何超超和項(xiàng)貽強(qiáng)[9]選取橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力作為功能指標(biāo)，提出了基于經(jīng)驗(yàn)調(diào)查和力學(xué)比擬的兩種功能恢復(fù)模型，并建立災(zāi)害可恢復(fù)性指標(biāo)和分級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。李寧等[10]為了實(shí)現(xiàn)基于性能的橋梁結(jié)構(gòu)全壽命設(shè)計(jì)，結(jié)合城市橋梁修/改造方案，提出了震后橋梁可恢復(fù)性和可持續(xù)性評(píng)估框架。Dong 和Frangopol[11]研究了單橋的可恢復(fù)性，提出了公路橋梁在主、余震作用下的抗震性能評(píng)估框架，對(duì)比了主震和余震作用的不確定性影響，考慮主、余震震后直接、間接經(jīng)濟(jì)損失，給出風(fēng)險(xiǎn)降低實(shí)施策略。Zheng 等[12]提出了一種基于可恢復(fù)性和橋梁生命周期損失的評(píng)估方法，從可恢復(fù)性和經(jīng)濟(jì)損失兩個(gè)維度分析了橋梁可恢復(fù)性能。Vishwanath 和Banerjee[13]建立了考慮橋梁時(shí)效損傷的地震可恢復(fù)性評(píng)估方法，結(jié)合震后橋梁損傷和修理工期所造成的直、間接經(jīng)濟(jì)損失，對(duì)橋梁的可恢復(fù)性進(jìn)行評(píng)估。

對(duì)基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)的可恢復(fù)性研究也是國(guó)內(nèi)外研究熱點(diǎn)之一。Liu 和Frangopol[14 ? 15]基于可靠度和串并聯(lián)路徑模型提出橋梁網(wǎng)絡(luò)總體性能評(píng)估方法，并評(píng)估了單橋在橋梁網(wǎng)絡(luò)中的重要性，關(guān)注可靠度和維修成本，對(duì)連通性、用戶滿意度和關(guān)鍵橋可靠度的概率分析，得出綜合評(píng)價(jià)橋梁網(wǎng)絡(luò)性能的數(shù)學(xué)模型，為橋梁系統(tǒng)優(yōu)化提供指導(dǎo)。Bocchini 和Frangopol[16]考慮了最大化可恢復(fù)性和最小化總成本的干預(yù)方案，輔助極端事件后橋梁網(wǎng)絡(luò)干預(yù)的決策過程，提出橋梁網(wǎng)絡(luò)決策優(yōu)化方法。Karamlou 和Bocchini[17]提出了橋梁網(wǎng)絡(luò)震后修復(fù)策略，通過最小化災(zāi)后受損單位與臨近救援單位的連接時(shí)間，最大化橋梁網(wǎng)絡(luò)的可恢復(fù)性，提供修復(fù)策略。何峰[18]以橋梁結(jié)構(gòu)安全和交通系統(tǒng)通行能力為評(píng)價(jià)指標(biāo)，研究考慮構(gòu)件權(quán)重的單橋可恢復(fù)性，結(jié)合交通流分配情況進(jìn)行震后可恢復(fù)性量化分析。

綜上，基礎(chǔ)設(shè)施震后可恢復(fù)性分析熱度不減，考慮系統(tǒng)可恢復(fù)性提升、優(yōu)化的問題復(fù)雜，在可恢復(fù)性設(shè)計(jì)中應(yīng)利用基礎(chǔ)設(shè)施的“備災(zāi)”和“承災(zāi)”能力，實(shí)現(xiàn)功能快速恢復(fù)，目前仍存在許多問題有待解決，也是城市發(fā)展和經(jīng)濟(jì)進(jìn)步關(guān)注的熱點(diǎn)領(lǐng)域[19]。由于地震風(fēng)險(xiǎn)不同，不同的加固策略所需成本和產(chǎn)生的效果不同。為了提升城市橋梁系統(tǒng)韌性，通過計(jì)算震后可恢復(fù)性指標(biāo)、經(jīng)濟(jì)損失，與震前維護(hù)改造費(fèi)用作為多目標(biāo)優(yōu)化問題，應(yīng)用遺傳算法求取最優(yōu)解集，建立一種基于可恢復(fù)性的橋梁系統(tǒng)震前優(yōu)化維護(hù)方案。本文的分析步驟如圖2 所示。

圖2 橋梁網(wǎng)絡(luò)抗震與減災(zāi)策略流程圖Fig.2 Procedure of seismic resistant and disaster mitigation strategy for urbun bridge networks

本文分析橋梁網(wǎng)絡(luò)可恢復(fù)性指標(biāo)受上述參數(shù)(橋梁風(fēng)險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)損失、震前維護(hù)、恢復(fù)模型等參數(shù))的影響；采用NSGA-II 多目標(biāo)優(yōu)化算法[20 ? 21]，解決非凸多目標(biāo)優(yōu)化問題；對(duì)震后經(jīng)濟(jì)損失、震后可恢復(fù)性和加固改造費(fèi)用采用提出的方法進(jìn)行案例計(jì)算，明確橋梁系統(tǒng)抗震災(zāi)前加固策略的最佳方案，并以各橋梁加固改造決策的Pareto 最優(yōu)解[22]為例進(jìn)行說明。

1 橋梁震后功能恢復(fù)模型

基于可恢復(fù)性理論[3]的計(jì)算式(3)，橋梁可恢復(fù)性能需要考慮多種因素進(jìn)行分析，包括橋梁備災(zāi)水平、抗震性能、空閑時(shí)間、修復(fù)時(shí)間和檢測(cè)時(shí)間等。本節(jié)僅對(duì)考慮備災(zāi)水平的功能恢復(fù)模型建議。考慮備災(zāi)水平及抗震性能采用前期計(jì)算得到的橋梁理論易損性函數(shù)、震后剩余功能和修復(fù)時(shí)間。

1.1 震后剩余功能測(cè)算依據(jù)

橋梁震后剩余功能可定義為橋梁在不同地震作用下的性能水平，因此基于此結(jié)果可以預(yù)測(cè)此類橋梁震后功能損失，進(jìn)而判斷是否可以恢復(fù)交通。橋梁震后功能水平[23]分別為：立即通行、流量限制、開通一半的車道、打開應(yīng)急車道和完全關(guān)閉。功能定義在0 到1 之間，分別為：Fun>0.9、0.6

給出震后剩余功能計(jì)算模型，本文以多跨連續(xù)梁橋(MSCC)為例，根據(jù)表1 地震損傷參數(shù)[24]和損失功能的三角數(shù)，用蒙特卡洛方法進(jìn)行10 000次抽樣模擬，如式(4)：

式中：Q(t)表示第t 年的震后剩余功能；PDi|PGA為給定的PGA 作用下橋梁處于不同損傷狀態(tài)的概率；FRi表示與損傷狀態(tài)i 相應(yīng)的功能損失的三角數(shù)，其分布如表2 所示[8]。

表1 橋梁地震損傷參數(shù)Table 1 Parameters for seismic damage of bridges

表2 功能損失的參數(shù)類型Table 2 Parameters and distributions of structure function loss

計(jì)算多跨連續(xù)梁橋的震后剩余功能，如圖3～圖5 所示。

圖3 不同PGA 下多跨連續(xù)梁橋剩余功能Fig.3 Residual functionality of MSCC under different PGA

圖4 不同橋梁壽命下多跨連續(xù)梁橋剩余功能Fig.4 Residual functionality of MSCC during life-cycle

圖5 剩余功能的概率分布范圍Fig.5 Probability density function of residual functionality

圖3 給出了多跨連續(xù)梁橋在不同PGA 震后的剩余功能。當(dāng)遭遇PGA>0.6 g 的地震后，橋梁的剩余功能小于0.4，必須打開應(yīng)急車道緩解交通壓力。

由圖4 可見，震后剩余功能隨壽命的增加而減小。當(dāng)遭遇PGA=0.25 g 的地震后，功能下降9.28%；當(dāng)PGA=0.50 g 時(shí)，下降18.9%，即，隨PGA 增大橋梁震后剩余功能下降呈增大趨勢(shì)。復(fù)合客觀實(shí)際。以橋梁壽命40 年為例，當(dāng)遭遇PGA<0.50 g的地震后，震后剩余功能大于0.4，不需要完全關(guān)閉，以應(yīng)急車道增加運(yùn)力即可。

圖5 所示為PGA=0.20 g 和0.25 g 時(shí)，震后剩余功能的概率分布，可知震后剩余功能均值分別為0.761 和0.705，且分布范圍均在0.6～0.9，此時(shí)，可以限制流量或車道通行。

1.2 修復(fù)時(shí)間測(cè)算依據(jù)

橋梁震后修復(fù)時(shí)間(Recovery Time)關(guān)系到震后何時(shí)以及如何恢復(fù)交通，以盡可能減少震后產(chǎn)生的損失。參考式(4)給出橋梁震后修復(fù)時(shí)間的計(jì)算公式：

式中：R(t)表示第t年的震后修復(fù)時(shí)間；PDi|PGA為給定的PGA 作用下橋梁處于不同損傷狀態(tài)的概率； Ri表示與損傷狀態(tài)i相應(yīng)的修復(fù)時(shí)間的三角數(shù)，其分布形式[25]及計(jì)算流程同2.1 節(jié)，此處不再贅述。

1.3 震后功能恢復(fù)模型

而恢復(fù)功能模型主要有：逐步恢復(fù)型、直線型、三角函數(shù)型和指數(shù)型恢復(fù)模式。對(duì)于不同的修復(fù)方案采用不同的恢復(fù)函數(shù)，并用于抗震可恢復(fù)性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，如表3 所示。為了評(píng)估震后的可恢復(fù)性，本文給出一種基于sigmoid 函數(shù)[26]的通用恢復(fù)模型：

式中：a 和c 為變量；t 為修復(fù)時(shí)間。參數(shù)a 可以改變曲線的變化率，參數(shù)c 可以使曲線沿橫坐標(biāo)移動(dòng)，通過改變參數(shù)a 和c 的值，可以得到三角函數(shù)型、慢速恢復(fù)和快速恢復(fù)模式，如圖6 所示。

表3 抗震可恢復(fù)性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)Table 3 Criteria of resilience performance evalution

圖6 Sigmoid 函數(shù)表述功能恢復(fù)模式Fig.6 Sigmoid function of bridge recovery pattern

例如，假設(shè)橋梁結(jié)構(gòu)受中等損傷，以365 d 為調(diào)查時(shí)間，取空閑時(shí)間60 d、監(jiān)測(cè)時(shí)間65 d、恢復(fù)時(shí)間240 d。若采用快速恢復(fù)、慢速恢復(fù)和一般恢復(fù)模式，其恢復(fù)模式相關(guān)的可恢復(fù)性指標(biāo)如圖7 所示?？梢钥闯?，采用快速修復(fù)模式的可恢復(fù)指數(shù)最高，為0.771，可恢復(fù)性為良好；采用一般型恢復(fù)模式的可恢復(fù)指數(shù)為0.631，可恢復(fù)性良好；采用慢速修復(fù)模式的可恢復(fù)指標(biāo)為0.576，可恢復(fù)性較差?？苫謴?fù)性與地區(qū)備災(zāi)資源有關(guān)，如果該地區(qū)救災(zāi)資源較多，震后可以迅速采取快速、有效措施修復(fù)橋梁；但如果該地區(qū)救災(zāi)資源較少，震后采取慢速修復(fù)措施；而信息不確定地區(qū)，可以采用一般型恢復(fù)模式介于兩者之間。當(dāng)然也可以采用更復(fù)雜的模型，此處不再贅述。

圖7 不同恢復(fù)模式的可恢復(fù)性Fig.7 Resilience for different rehabilitation models

通過蒙特卡洛模擬考慮參數(shù)不確定性?？紤]橋梁的設(shè)計(jì)使用年限為50 年，可以計(jì)算橋梁在不同地震動(dòng)峰值加速度下的震后可恢復(fù)性，本文以城市多跨連續(xù)梁橋?yàn)槔f明，如圖8 所示。

圖8 橋梁震后可恢復(fù)性Fig.8 Seismic resilience performance of bridges

以快速型恢復(fù)模式為例，當(dāng)遭遇PGA=0.2 g的地震后，多跨連續(xù)梁橋的震后可恢復(fù)指標(biāo)為0.911，根據(jù)表2 可以得出多跨連續(xù)梁橋的震后可恢復(fù)性為出色；而當(dāng)遭遇PGA=0.6 g 的地震后，多跨連續(xù)梁橋的震后可恢復(fù)指標(biāo)為0.682，為中等可恢復(fù)。

2 橋梁的震后經(jīng)濟(jì)損失

受篇幅所限，震后經(jīng)濟(jì)損失以多跨連續(xù)梁為例，后續(xù)計(jì)算還考慮了單跨鋼構(gòu)橋、單跨混凝土梁橋、多跨連續(xù)板橋、多跨箱梁橋型。此時(shí)橋梁震后情況涉及的易損性分析方法和參數(shù)取值可參見文獻(xiàn)[10]。

2.1 直接經(jīng)濟(jì)損失

震后直接經(jīng)濟(jì)損失包括清除廢墟、建造臨時(shí)通路和重建橋梁有關(guān)修復(fù)成本[25]，計(jì)算式如下：

式中：CREP,i為震后直接經(jīng)濟(jì)損失；RCRi為橋梁在損傷狀態(tài)i 時(shí)的修復(fù)成本比率；CREB為每平方米的修復(fù)成本；W 為橋梁的寬度；L 為橋梁的長(zhǎng)度，如表4 和表5 所示；r 為時(shí)效劣化系數(shù)(3.7%/10 年)[27]。

表4 修復(fù)成本計(jì)算參數(shù)Table 4 Repair cost evaluation parameters

表5 不同損傷狀態(tài)的修復(fù)成本比Table 5 Repair cost ratio for different damage conditions

考慮不同PGA 代表的地震風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算不同橋梁在設(shè)計(jì)使用年限內(nèi)的震后直接經(jīng)濟(jì)損失，如圖9所示。當(dāng)遭遇PGA=0.25 g 的地震后，30 年的多跨連續(xù)梁橋的震后直接經(jīng)濟(jì)損失為28 萬元～60 萬元；而當(dāng)遭遇PGA=0.75 g 的地震后，直接經(jīng)濟(jì)損失為179 萬元～544 萬元，橋梁的震后直接經(jīng)濟(jì)損失隨橋梁壽命增長(zhǎng)而增加。

圖9 震后多跨連續(xù)梁橋直接經(jīng)濟(jì)損失Fig.9 Direct economic loss of MSCC due to earthquake

考慮橋梁的使用年限的不同，可以計(jì)算多跨連續(xù)橋梁在不同強(qiáng)度地震后的經(jīng)濟(jì)損失，圖10 繪制了多跨連續(xù)梁橋的震后直接經(jīng)濟(jì)損失，例如，當(dāng)遭遇PGA=0.50 g 的地震后，多跨連續(xù)梁橋的震后直接經(jīng)濟(jì)損失為102 萬元～324 萬元。

圖10 考慮地震和劣化的橋梁震后直接經(jīng)濟(jì)損失Fig.10 Direct economic loss of bridges due to earthquake and degradation

當(dāng)橋梁遭遇PGA = 0.5 g 和PGA = 1.0 g 的地震后，可計(jì)算多跨連續(xù)梁橋震后直接經(jīng)濟(jì)損失的頻率分布直方圖，如圖11 所示。對(duì)PGA=0.5 g 和PGA=1.0 g 的地震，多跨連續(xù)梁橋直接經(jīng)濟(jì)損失的均值分別為145 萬元和428 萬元。

圖11 橋梁震后直接經(jīng)濟(jì)損失分布直方圖Fig.11 Histogram of direct economic loss of bridges

2.2 震后間接經(jīng)濟(jì)損失計(jì)算

橋梁的震后間接經(jīng)濟(jì)損失主要包括車輛繞行的運(yùn)營(yíng)成本和時(shí)間成本。它可能產(chǎn)生比修復(fù)或重建受損基礎(chǔ)設(shè)施成本高的后果。當(dāng)橋梁遭遇地震后，橋梁功能會(huì)降低，交通流將在包含該橋所在的橋梁網(wǎng)絡(luò)之間重新分配，影響應(yīng)急響應(yīng)和恢復(fù)運(yùn)營(yíng)。本文沿用參考文獻(xiàn)[10]考慮和計(jì)算，此處不再贅述。

3 改進(jìn)可恢復(fù)性能措施

3.1 加固措施對(duì)抗震性能提升

通過各損傷狀態(tài)相關(guān)的易損性曲線來表明加固措施對(duì)橋梁抗震性能的影響。選擇地震動(dòng)強(qiáng)度中值作為自變量參數(shù)，則在加固后橋梁的地震動(dòng)強(qiáng)度中值計(jì)算公式如下：

式中：mi(t)為不采取修造加固措施下與損傷狀態(tài)i 對(duì)應(yīng)的地震動(dòng)強(qiáng)度中值；γRET,i為與損傷狀態(tài)i 對(duì)應(yīng)的韌性提高比率。

圖12 定性地給出了加固措施對(duì)單座橋梁易損性的影響，為多跨連續(xù)梁橋有、無加固下的易損性曲線?？梢钥闯鲈诩庸檀胧┖髽蛄旱氖Ц怕食霈F(xiàn)不同程度的降低，不同損傷狀態(tài)相關(guān)的地震動(dòng)強(qiáng)度的中值有所提高。假定加固措施使橋梁某一損傷狀態(tài)相關(guān)的地震動(dòng)強(qiáng)度中值提高到某一水平，則橋梁在輕微損傷、中等損傷、嚴(yán)重?fù)p傷和倒塌破壞狀態(tài)下，與采用鋼夾套提升韌性后的地震強(qiáng)度中值增強(qiáng)比[28]為0.55、0.75、1.04 和1.45。假設(shè)橋梁網(wǎng)絡(luò)中所有的橋梁在不同損傷狀態(tài)下有不同的強(qiáng)化比，來反映加固后的效果。

圖12 易損性曲線體現(xiàn)的橋梁加固效益Fig.12 Resilience changes with representative fragility curves

3.2 可恢復(fù)性提升措施成本

通過震前加固改造防患于未然，實(shí)施的總成本[29]公式如下：

對(duì)于第i 座橋梁采用j 措施的成本計(jì)算公式如下：

式中： Wi和 Li分別為第i 座橋梁的寬度和長(zhǎng)度；γRET,j為j 措施的改造費(fèi)用比；cREB為每平米橋梁的重建費(fèi)用。限于篇幅，此處不再贅述。

4 橋梁系統(tǒng)地震可恢復(fù)性

4.1 系統(tǒng)性能分析

本文演示簡(jiǎn)單橋梁網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型為例，模型如圖13 所示。以PGA=0.25 g 為例，假設(shè)1 號(hào)橋?yàn)槎嗫邕B續(xù)梁橋，2 號(hào)為多跨連續(xù)剛構(gòu)橋，3 號(hào)為多跨簡(jiǎn)支梁橋，且均為新建橋梁，不考慮震中距的影響，假設(shè)橋梁網(wǎng)絡(luò)以勻速修復(fù)到初始狀態(tài)。

圖13 城市橋梁系統(tǒng)模型Fig.13 Networks for urbun bridge netwroks

3 種橋梁系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)遭受地震作用時(shí)，計(jì)算參數(shù)如表6～表8 所示。

表6 串聯(lián)模型震后參數(shù)Table 6 Series model paramters subjected to earthquakes

表7 并聯(lián)模型震后參數(shù)Table 7 Parallel model paramters subjected to earthquakes

表8 串并聯(lián)模型震后參數(shù)Table 8 Series-parallel model paramters subjected to earthquakes

對(duì)于橋梁網(wǎng)絡(luò)a 來說，當(dāng)PGA>0.20 g 后，橋梁網(wǎng)絡(luò)的剩余功能下降明顯，而對(duì)于橋梁網(wǎng)絡(luò)b和網(wǎng)絡(luò)c 來說下降較平緩，通過以上參數(shù)計(jì)算橋梁網(wǎng)絡(luò)的震后可恢復(fù)性，如圖14 所示。

圖14 橋梁系統(tǒng)在不同PGA 作用下的可恢復(fù)性Fig.14 Reslience performance for bridge network subjected to different earthquake PGAs

橋梁網(wǎng)絡(luò)a 的三座橋梁處于串聯(lián)狀態(tài)，某一座橋梁的損壞會(huì)影響整個(gè)橋梁網(wǎng)絡(luò)的通行狀態(tài)，而橋梁網(wǎng)絡(luò)b 的橋梁處于并聯(lián)狀態(tài)，某一座橋梁的損壞不會(huì)造成整個(gè)橋梁網(wǎng)絡(luò)通行受損，對(duì)于橋梁網(wǎng)絡(luò)c 來說，橋梁2 或橋梁3 其中一座橋梁的損傷并不會(huì)導(dǎo)致整個(gè)橋梁網(wǎng)絡(luò)的通行，如果橋梁2和橋梁3 均無法通行，那么恢復(fù)其中一座橋梁也可以使整個(gè)橋梁網(wǎng)絡(luò)通行。

5 多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA-II

當(dāng)橋梁進(jìn)行抗震加固后，橋梁的可恢復(fù)性有一定提升；若加固不及時(shí)，會(huì)導(dǎo)致橋梁可恢復(fù)性低于預(yù)期。一般而言，不僅希望震前改造費(fèi)用小，還希望橋梁的震后可恢復(fù)性高、經(jīng)濟(jì)損失小，即多目標(biāo)優(yōu)化選擇。由于多目標(biāo)優(yōu)化問題存在多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，最終解是Pareto 最優(yōu)解組成的解集[30]，如圖15 所示。本文旨在給出震前加固順序方案，由于不同的決策者會(huì)根據(jù)主、客觀條件(考慮改造費(fèi)用、震后可恢復(fù)性和震后損失)，選擇不同的方案。即，加固策略優(yōu)化為決策者提供了一個(gè)最優(yōu)解集，而非單一最優(yōu)加固改造方案，便于發(fā)揮主觀選擇的優(yōu)勢(shì)。

圖15 Pareto 最優(yōu)解示意圖(2 個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù))Fig.15 Pareto solution plot for 2 optimization objects

橋梁加固措施的目標(biāo)是確定橋梁在正常使用下的震后可恢復(fù)性、經(jīng)濟(jì)損失和震前加固費(fèi)用滿足Pareto 最優(yōu)的要求，其表達(dá)式如下：

式中：T=(T1,T2,···,Ti,···) 和R=(R1,R2,···,Ri,···)分別為加固時(shí)間序列和加固措施序列，其中，Ti和 Ri分別為第i 次加固時(shí)間及加固措施；CRET為震前橋梁系統(tǒng)總加固費(fèi)用；C(t)為橋梁系統(tǒng)服役t 年的震后經(jīng)濟(jì)損失；R(t)為相應(yīng)可恢復(fù)性；[R]和[CRET]分別為可接受的可恢復(fù)性和加固費(fèi)用；t 為時(shí)長(zhǎng)，本文統(tǒng)一取1～30 的整年；n 為整個(gè)t 年內(nèi)加固的總次數(shù)，本文[n]取1 次。

遺傳算法主要由：編碼、生成初始種群、適應(yīng)度評(píng)價(jià)、選擇、交叉與變異和終止準(zhǔn)則等組成?？梢越鉀Q單、多目標(biāo)，連續(xù)、離散，凸和非凸優(yōu)化問題。Deb 等[21]提出了帶精英策略的非支配排序遺傳算法(Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm - II，NSGA-II)，該算法引入快速非支配排序算法、精英策略，采用擁擠度比較算子，降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度，使得Pareto 最優(yōu)解前沿中的個(gè)體能均勻地?cái)U(kuò)展到整個(gè)解空間，保證了種群的多樣性，可以使多個(gè)目標(biāo)簡(jiǎn)化至適應(yīng)度函數(shù)的方式，解決任意數(shù)量的多目標(biāo)優(yōu)化問題。NSGA-II算法具備較高的效率和魯棒性，已成為解決多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域的基本算法之一。

6 算例分析

采用NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法，選擇橋梁系統(tǒng)如圖16所示，起點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)1，終點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)4，由10 座橋梁構(gòu)成，其中1 號(hào)、6 號(hào)和10 號(hào)橋梁為多跨連續(xù)梁橋，2 號(hào)、3 號(hào)和8 號(hào)橋梁為多跨簡(jiǎn)支梁橋，4 號(hào)、9 號(hào)橋梁為多跨連續(xù)剛構(gòu)橋，5 號(hào)、7 號(hào)橋梁為多跨簡(jiǎn)支箱梁橋。假設(shè)橋梁相互獨(dú)立，且各路段重要性都相同，本文忽略震中距的影響。

若在震后經(jīng)濟(jì)損失和震前加固改造費(fèi)用之間尋求橋梁網(wǎng)絡(luò)中橋梁改造行動(dòng)的最佳時(shí)機(jī)，通過NSGA-II 遺傳算法計(jì)算得到的解如圖17 所示。每個(gè)帕累托最優(yōu)解對(duì)應(yīng)韌性提高、加固成本和經(jīng)濟(jì)損失的關(guān)系。為了說明方便，分別進(jìn)行探討，如圖18所示，考慮修造費(fèi)用和震后損失的Pareto 解集。

圖17 多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化生成Pareto 解Fig.17 Pareto solution for multi-objects optimization

策略A 和策略B 加固改造時(shí)間序列如圖19 所示。策略A(圖19(a))相應(yīng)年度的預(yù)計(jì)震后經(jīng)濟(jì)損失，策略A 第2 年對(duì)橋梁1、7 改造，第3 年對(duì)橋梁6、8 改造，第5 年對(duì)橋梁2 改造，第6 年對(duì)橋梁3、9 改造，第8 年對(duì)橋梁4、5 改造，第23 年對(duì)橋梁10 改造。策略B(圖19(b))是一種高風(fēng)險(xiǎn)，低成本的解決策略，最大的預(yù)計(jì)經(jīng)濟(jì)損失為607 萬元、改造費(fèi)用為331 萬元。與策略A 相比，

圖18 考慮修造費(fèi)用和震后損失的Pareto 解集Fig.18 Pareto solution for repair cost and earthquake loss

圖19 策略A 和策略B 效果對(duì)比Fig.19 Comparison of strategies A and B

策略B 加固改造成本的降低導(dǎo)致了更高的預(yù)計(jì)經(jīng)濟(jì)損失。策略B 第1 年對(duì)橋梁7 改造，第4 年對(duì)橋梁2 改造，第6 年對(duì)橋梁1、6 改造，第14 年對(duì)橋梁5 改造，第18 年對(duì)橋梁4 改造，第19 年對(duì)橋梁3、9 改造，第29 年對(duì)橋梁8、10 改造。通過對(duì)橋梁網(wǎng)絡(luò)中現(xiàn)有的橋梁進(jìn)行震前加固改造，可以降低橋梁網(wǎng)絡(luò)地震災(zāi)害相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)。

若在震后可恢復(fù)性和震前加固改造費(fèi)用之間尋求橋梁網(wǎng)絡(luò)中橋梁改造行動(dòng)的最佳時(shí)機(jī)，通過NSGA-Ⅱ計(jì)算得到的解如圖20 所示。

圖20 考慮修造費(fèi)用和可恢復(fù)性能的Pareto 解集Fig.20 Pareto solution for repair cost and resilience

策略C 和策略D 加固改造時(shí)間序列如圖21 所示，每個(gè)帕累托最優(yōu)解對(duì)應(yīng)改造成本和可恢復(fù)性的關(guān)系?？梢钥闯鲭S著改造費(fèi)用的提高，橋梁網(wǎng)絡(luò)的震后可恢復(fù)性提高。策略C 和策略D 是圖示兩種不同的改造策略，策略C 代表一種低加固改造成本，低可恢復(fù)性的策略，每年最大的預(yù)計(jì)加固改造成本為332 萬元，可恢復(fù)性為0.8187，可恢復(fù)性表現(xiàn)為出色。圖21(a)給出了策略C 相應(yīng)年度的預(yù)計(jì)可恢復(fù)性變化，策略C 表示第2 年對(duì)橋梁10 改造，第4 年對(duì)橋梁1、4～9 改造，第5 年對(duì)橋梁2 改造，第14 年對(duì)橋梁3 改造。策略D 是一種高加固改造成本，高可恢復(fù)的解決策略，每年最大的預(yù)計(jì)改造成本為535 萬元，可恢復(fù)性為0.8509，可恢復(fù)性表現(xiàn)為出色。與策略C 相比，策略D 加固改造成本的提高導(dǎo)致了更高的可恢復(fù)性，圖21(b)給出了策略D 相應(yīng)年度的預(yù)計(jì)可恢復(fù)性變化。策略D 表示在第1 年對(duì)橋梁6 改造，在第2 年對(duì)橋梁5、7 和9 改造，在第4 年對(duì)橋梁1、10 改造，在第12 年對(duì)橋梁3 改造，在第16 年對(duì)橋梁4 改造，在第19 年對(duì)橋梁8 改造，在第20 年對(duì)橋梁2 改造。通過震前加固改造，降低與橋梁系統(tǒng)地震災(zāi)害相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)，提高橋梁網(wǎng)絡(luò)的震后可恢復(fù)性。

圖21 策略C 和策略D 的改造效果對(duì)比Fig.21 Comparison of strategies C and D

7 結(jié)論

本文以城市橋梁網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，分析橋梁體系和網(wǎng)絡(luò)震前加固對(duì)震后可恢復(fù)性、經(jīng)濟(jì)方面綜合影響，并進(jìn)行了改造策略優(yōu)化，主要結(jié)論如下：

(1)橋梁震后恢復(fù)過程與震后剩余功能和修復(fù)時(shí)間有關(guān)，提出新的功能恢復(fù)模型代表多種恢復(fù)模式，通用性好，考慮震后修復(fù)工作的差異性，用于實(shí)施維護(hù)和加固措施。

(2)對(duì)城市橋梁系統(tǒng)不同損傷情況，本文系統(tǒng)給出了可恢復(fù)指數(shù)、修復(fù)時(shí)間、震后經(jīng)濟(jì)損失等參數(shù)計(jì)算的具體流程，服務(wù)于韌性提升；但決策者應(yīng)根據(jù)地區(qū)的資金投入、允許的經(jīng)濟(jì)損失和震后的可恢復(fù)性來合理選擇恢復(fù)策略。

(3)基于多目標(biāo)優(yōu)化方法對(duì)橋梁系統(tǒng)加固改造排序，可直觀地將可恢復(fù)性納入橋梁系統(tǒng)管理框架中；加固改造由預(yù)算影響，較高的預(yù)算可以選擇更佳的加固計(jì)劃，相應(yīng)的震后經(jīng)濟(jì)損失較小，可恢復(fù)性較高。

(4)多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA-II 適用于本文建立的加固策略優(yōu)化問題求解、功能函數(shù)非凸的優(yōu)化排序，當(dāng)決策目標(biāo)維度繼續(xù)增加，可考慮采用多目標(biāo)差分進(jìn)化算法(MOEA/D 等)將目標(biāo)問題降維加權(quán)后求解。

需要說明的是：橋梁可恢復(fù)性分析中，沒有考慮橋梁部件影響，僅考慮了單橋的理論易損性分析模型；對(duì)功能恢復(fù)模型，受限于調(diào)查和主觀判斷，本文旨在說明一般情況，復(fù)雜工況的考慮擬另撰文研究；評(píng)估中假設(shè)橋梁震損相互獨(dú)立并重要性相同，而橋梁實(shí)際重要性是不同的，后期將考慮不同橋梁權(quán)重的影響分析工作。