基于有限元模型修正的土木結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

翁 順，朱宏平

(華中科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北，武漢 430074)

土木工程有限元模型廣泛應(yīng)用于抗震抗風(fēng)模擬、振動(dòng)控制、損傷識(shí)別及優(yōu)化設(shè)計(jì)等方面。有限元模型修正方法的基本思想是以結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)[1]，將試驗(yàn)得到的信息與原始有限元模型分析結(jié)果進(jìn)行綜合比較。通過優(yōu)化約束，不斷修正模型物理參數(shù)，使理論值與試驗(yàn)值基本吻合，從而獲取更精確反映實(shí)際結(jié)構(gòu)特性的有限元模型。通過對(duì)比損傷前后有限元模型參數(shù)的變化，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別?；谟邢拊Ｐ托拚膿p傷識(shí)別方法，計(jì)算過程直觀、物理意義明確，能同步識(shí)別損傷位置和損傷程度，被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程。多項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)程中也明確規(guī)定結(jié)構(gòu)安全二級(jí)評(píng)估必須實(shí)施有限元模型修正[2]。近三十年，有限元模型修正方法迅速發(fā)展[1 ? 19]，在土木工程損傷識(shí)別與健康評(píng)估中發(fā)揮著越來越重要的作用。

有限元模型修正是一個(gè)約束優(yōu)化問題，屬于反問題的一種。土木工程損傷識(shí)別通常需要建立精細(xì)化的有限元模型，包含上萬乃至百萬自由度，且待修正參數(shù)多。有限元模型修正過程，需要重復(fù)計(jì)算整體結(jié)構(gòu)模型的特征解，即使少數(shù)甚至一個(gè)修正參數(shù)發(fā)生改變(局部損傷)，也需要重新分析整體結(jié)構(gòu)模型。大量修正參數(shù)使優(yōu)化過程容易出現(xiàn)病態(tài)或者收斂緩慢的問題，效率極低。特別是在考慮參數(shù)不確定性、結(jié)構(gòu)非線性等問題時(shí)，土木工程的有限元模型修正和損傷識(shí)別更是難以完成。例如，Xia 等[3]對(duì)西澳大利亞州的Balla Balla 橋進(jìn)行了模型修正，該小型橋梁有限元模型包含4200 個(gè)自由度、1200 單元和1039 個(gè)修正參數(shù)，優(yōu)化過程迭代155 次收斂，花費(fèi)約420 h。對(duì)于大型土木工程，例如青馬橋[4]、廣州塔[5]包含上百萬自由度、上萬修正參數(shù)，即使使用功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)，使用常規(guī)方法修正有限元模型也非常困難。

用于有限元模型修正的動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)反映整體結(jié)構(gòu)信息，但是結(jié)構(gòu)損傷通常只是發(fā)生在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域。子結(jié)構(gòu)方法根據(jù)分界面上的位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件將整體結(jié)構(gòu)分解為若干個(gè)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)，將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的模型修正轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的模型修正。特別是在應(yīng)用于損傷識(shí)別時(shí)，只需要重復(fù)分析某些特定(損傷區(qū)域)的子結(jié)構(gòu)，避免重復(fù)計(jì)算整體結(jié)構(gòu)特性。此外，子結(jié)構(gòu)包含的待修正參數(shù)遠(yuǎn)少于整體結(jié)構(gòu)，有助于加速大規(guī)模優(yōu)化問題的收斂。從而有效地減輕大型結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析和有限元模型修正的計(jì)算負(fù)擔(dān)，在大型土木工程結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中具有顯著的優(yōu)勢(shì)。

本文將首先介紹基于有限元模型修正的損傷識(shí)別原理與過程。然后，詳細(xì)闡述用于土木工程損傷識(shí)別的子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法，包括正向子結(jié)構(gòu)方法和逆向子結(jié)構(gòu)方法；總結(jié)基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法在頻域、時(shí)域、不確定性分析、非線性分析中的研究進(jìn)展。最后，將傳統(tǒng)有限元模型修正方法和子結(jié)構(gòu)有限元模型方法用于一個(gè)實(shí)際超高層建筑數(shù)值模型的損傷識(shí)別中，對(duì)比分析損傷識(shí)別的精度和效率。

1 基于有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

對(duì)于土木工程這一類體積龐大、參數(shù)多，且存在各類不確定性和非線性的結(jié)構(gòu)，按照結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)詳細(xì)建立的有限元模型不可避免存在各種偏差，如邊界誤差、材料參數(shù)誤差、離散化誤差等。必須采用有限元模型修正技術(shù)使得有限元模型能真實(shí)反映實(shí)際工程結(jié)構(gòu)動(dòng)靜力特性[5]。

現(xiàn)有的有限元模型修正方法可分為矩陣型修正方法和參數(shù)型修正方法。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)土木工程中參數(shù)不確定性問題和非線性問題，建立了有限元模型修正的不確定性分析方法和非線性模型修正方法。

1.1 矩陣型有限元模型修正方法

矩陣型有限元模型修正方法直接修正有限元模型的剛度、質(zhì)量、阻尼等系統(tǒng)矩陣，使得修正后的系統(tǒng)矩陣計(jì)算的響應(yīng)與實(shí)測(cè)響應(yīng)吻合。為保證系統(tǒng)矩陣原有的帶狀、稀疏特性，同時(shí)對(duì)矩陣優(yōu)化問題施加一些約束，例如振型的正交性[6]，矩陣的對(duì)稱性或正定性[7]，使得修正后系統(tǒng)矩陣與實(shí)測(cè)的系統(tǒng)矩陣盡可能接近。為保持目標(biāo)方程的一些特性，對(duì)修正矩陣的參數(shù)也施加約束，如最小范數(shù)[7]或最小秩[8]。目標(biāo)方程通常是由質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣的攝動(dòng)矩陣和施加約束的拉格朗日乘子的疊加[1]。楊朋超等[9]總結(jié)了各種矩陣型有限元模型修正方法，考慮對(duì)稱性、模態(tài)正交性及模態(tài)參與因子等約束，采用拉格朗日乘子算法，推導(dǎo)了質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的最優(yōu)解。

矩陣型有限元模型修正方法具有修正結(jié)果準(zhǔn)確和計(jì)算量小的優(yōu)勢(shì)，修正后的模型能夠精確“復(fù)制”試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)[10]。其缺點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)的連續(xù)性、修正后矩陣的稀疏性、對(duì)稱性不能得到保證；修正后的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)矩陣難以解釋、物理意義不明確；修正后的模型只在數(shù)學(xué)結(jié)果上與實(shí)際結(jié)構(gòu)相近而不具備實(shí)際工程意義。因此，近三十年，針對(duì)矩陣型有限元模型修正方法的研究逐步減少，在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別應(yīng)用中的報(bào)道較少。

1.2 參數(shù)型有限元模型修正方法

參數(shù)型有限元模型修正方法選取結(jié)構(gòu)自身物理參數(shù)(密度、單元?jiǎng)偠取⒉牧蠀?shù)等)作為修正參數(shù)，以有限元模型的動(dòng)力響應(yīng)特征值與實(shí)際結(jié)構(gòu)試驗(yàn)值的殘差為目標(biāo)函數(shù)，重復(fù)迭代調(diào)整物理參數(shù)取值，使目標(biāo)函數(shù)最小化，有限元模型修正的流程圖如圖1 所示。由于修正參數(shù)通常為結(jié)構(gòu)物理參數(shù)，該類方法的修正結(jié)果具有明確的物理意義，修正后的參數(shù)可用于損傷識(shí)別、狀態(tài)評(píng)估。參數(shù)型有限元模型修正方法能夠克服矩陣型模型修正方法的局限性，因此得到了更加廣泛的應(yīng)用。選取修正參數(shù)、構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)、迭代優(yōu)化算法和計(jì)算靈敏度矩陣是參數(shù)型有限元模型修正方法的關(guān)鍵步驟。

圖1 參數(shù)型有限元模型修正流程圖Fig.1 Flowchart of parameter-based finite element model updating

1.2.1 修正參數(shù)

修正參數(shù)的選擇是有限元模型修正的首要關(guān)鍵步驟[11]。選擇過多的修正參數(shù)不僅導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析和靈敏度分析中的計(jì)算負(fù)荷增加，而且可能導(dǎo)致模型修正過程中的不適定或溢出問題[12]。因此，通常選擇不確定性較大、且對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)靜力特性影響較大的部分參數(shù)進(jìn)行修正。參數(shù)選擇方法主要分為三種：1) 綜合考慮物理意義和工程經(jīng)驗(yàn)的情況下選擇修正參數(shù)，通常選擇對(duì)結(jié)構(gòu)特性影響大的參數(shù)，如材料特性(彈性模量、密度等)，幾何特性(截面面積、截面慣性矩)和邊界條件等[5]；2) 基于靈敏度分析方法，求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)相對(duì)于參數(shù)的靈敏度，選取靈敏度大的參數(shù)作為待修正參數(shù)[12 ? 13]；3) 參數(shù)子集選擇方法，從各種組合的參數(shù)子集中挑選讓目標(biāo)方程殘差最小的參數(shù)子集[14 ? 15]。

1.2.2 目標(biāo)方程

目標(biāo)函數(shù)量化了實(shí)際結(jié)構(gòu)與有限元模型之間動(dòng)態(tài)特性的差異，通常定義為實(shí)際結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與有限元模型計(jì)算特征之間的殘差，例如：

式中：XE為實(shí)際結(jié)構(gòu)試驗(yàn)測(cè)量得到的特征；XA(r)為有限元模型的計(jì)算特征，可表達(dá)為修正參數(shù)r 的函數(shù)；r 為包含所有修正參數(shù)的向量。

根據(jù)測(cè)試的數(shù)據(jù)類型分類，用于構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的特征包括靜力數(shù)據(jù)(位移、應(yīng)變、應(yīng)力等)和動(dòng)力數(shù)據(jù)(頻率、振型、頻響函數(shù)等)[16]。靜力數(shù)據(jù)精度高，但對(duì)大型土木工程施加較大的靜力荷載難以實(shí)施，且測(cè)試會(huì)妨礙工程正常運(yùn)營(yíng)。因此，基于靜力數(shù)據(jù)的模型修正方法在實(shí)時(shí)在線結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中應(yīng)用較少[10 ? 11]。大量研究集中在基于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的有限元模型修正方法上[1, 10 ? 11]。

用于構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)包括頻域特征和時(shí)域特征。在頻域內(nèi)，頻率和振型是最早和最廣泛應(yīng)用于有限元模型修正和損傷識(shí)別的特征指標(biāo)。實(shí)測(cè)頻率可以直接運(yùn)用到有限元模型修正中。限于傳感器數(shù)目，實(shí)測(cè)振型的自由度要少于計(jì)算振型，需要通過模態(tài)縮聚或模態(tài)擴(kuò)展技術(shù)與振型自由度相匹配[17 ? 18]。頻率和振型可以分別用于構(gòu)建目標(biāo)方程[19 ? 20]，也可以通過權(quán)重系數(shù)[20 ? 21]聯(lián)合構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。由于頻率和振型往往對(duì)局部小損傷不敏感，且受噪聲影響大，導(dǎo)致?lián)p傷識(shí)別的精度較低[19 ? 20]。Meruane[22]用從傳遞矩陣中識(shí)別反共振頻率代替振型來構(gòu)建目標(biāo)方程，反共振頻率的識(shí)別難度小且精度高，同時(shí)包括了頻率和振型的結(jié)構(gòu)信息。一些模態(tài)參數(shù)的衍生指標(biāo)，如模態(tài)應(yīng)變能[23]、模態(tài)柔度[24]、應(yīng)變振型[21]、小波時(shí)頻數(shù)據(jù)[25]等，比頻率、振型對(duì)結(jié)構(gòu)局部變化更為敏感，也常用來構(gòu)建目標(biāo)方程。除模態(tài)參數(shù)外，頻響函數(shù)也用于構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)[26]。Lin 和Zhu[27]通過推導(dǎo)頻響函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度，提出自動(dòng)選擇有限頻率點(diǎn)方法，讓目標(biāo)函數(shù)包含盡可能多的信息，并將基于頻響函數(shù)的有限元模型修正方法應(yīng)用到有阻尼結(jié)構(gòu)。Gang 等[28]通過恰當(dāng)選擇測(cè)量頻率點(diǎn)和擴(kuò)充自由度，改進(jìn)有限元模型修正的精度和收斂性。

時(shí)域指標(biāo)直接運(yùn)用實(shí)測(cè)響應(yīng)數(shù)據(jù)及其衍生量作為目標(biāo)函數(shù)。最直接的時(shí)域指標(biāo)為直接測(cè)量的結(jié)構(gòu)加速度、速度、位移等指標(biāo)[29]，以實(shí)測(cè)時(shí)域數(shù)據(jù)與模型時(shí)域數(shù)據(jù)的殘差構(gòu)建目標(biāo)方程。與頻域指標(biāo)相比，時(shí)域指標(biāo)避免了數(shù)據(jù)時(shí)頻轉(zhuǎn)換的誤差，適用于非線性結(jié)構(gòu)等沒有表現(xiàn)模態(tài)特征的結(jié)構(gòu)；并且時(shí)域數(shù)據(jù)點(diǎn)較多，有利于保證有限元模型修正中優(yōu)化方程式的正定性[16]。

一些研究將動(dòng)力數(shù)據(jù)和靜力數(shù)據(jù)聯(lián)合起來構(gòu)建目標(biāo)方程，增加了數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)，同時(shí)也使有限元修正模型更能真實(shí)全面反映實(shí)際結(jié)構(gòu)特性。張啟偉和范立礎(chǔ)[30]采用基于靜動(dòng)力數(shù)據(jù)的有限元模型修正對(duì)一個(gè)懸臂梁進(jìn)行了損傷識(shí)別。

1.2.3 優(yōu)化算法

有限元模型修正是一個(gè)參數(shù)優(yōu)化過程，即尋找一組最優(yōu)參數(shù)使目標(biāo)方程最小化。常用的優(yōu)化算法，包括靈敏度算法[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[31]、仿生優(yōu)化算法[32 ? 34]等。其中，基于靈敏度分析的優(yōu)化算法[5]，利用結(jié)構(gòu)特征解對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的敏感程度，根據(jù)解的搜索方向進(jìn)行迭代優(yōu)化，具有搜索速度快、超線性收斂等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程的損傷識(shí)別和健康評(píng)估。其缺點(diǎn)是計(jì)算靈敏度矩陣耗時(shí)，且在非平滑連續(xù)處結(jié)構(gòu)的靈敏度不存在。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化算法是一種類似于人類神經(jīng)系統(tǒng)的信息處理技術(shù)，它通過學(xué)習(xí)有限元模型數(shù)據(jù)推出輸入與輸出的關(guān)系。雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有超強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力和非線性映射能力，但是其學(xué)習(xí)的準(zhǔn)確度需要大量的學(xué)習(xí)樣本來保證[31]。仿生優(yōu)化算法包括遺傳算法[32]、粒子群算法[33]、蟻群算法[34]等。這種優(yōu)化算法依據(jù)生物智能選擇能耗最小、資源安排最高效得到啟發(fā)，仿生優(yōu)化算法的發(fā)展依托處理設(shè)備計(jì)算速度與功能的提高。

1.2.4 靈敏度矩陣

靈敏度即是目標(biāo)方程關(guān)于修正參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，其一方面可以用于選取最優(yōu)的修正參數(shù)，另一方面可給優(yōu)化目標(biāo)方程提供快速的搜索方向，加快優(yōu)化過程收斂。

以頻域指標(biāo)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時(shí)，計(jì)算特征值(頻率)和特征向量(振型)靈敏度主要包括三類方法：1) 有限差分法，估計(jì)特征解靈敏度為設(shè)計(jì)點(diǎn)特征解與其附近有限步長(zhǎng)點(diǎn)的特征解關(guān)于步長(zhǎng)的斜率[35]。該方法的誤差與步長(zhǎng)的選取有關(guān)；2) 模態(tài)法[36]，將特征向量靈敏度表達(dá)為所有特征向量的線性組合，該方法需要計(jì)算所有特征向量，大型結(jié)構(gòu)通常采用模態(tài)截?cái)嗟姆椒ㄈ〔糠帜B(tài)，會(huì)影響計(jì)算精度；3) Nelson 的方法[37]，是將特征向量靈敏度表達(dá)為一個(gè)齊次項(xiàng)和非齊次項(xiàng)之和，精度和效率較高。在這三種方法的基礎(chǔ)上，還發(fā)展出其他的計(jì)算方法，包括幾何法[38]、Lanczos 法[39]、迭代法[40]、奇異分解法[41]、攝動(dòng)法[42]、子結(jié)構(gòu)法[43]、模型縮聚法[44]等。頻響函數(shù)靈敏度的計(jì)算可通過模態(tài)疊加法，將頻響函數(shù)靈敏度表示為所有模態(tài)的疊加，進(jìn)而通過模態(tài)截?cái)嗟姆椒ㄌ岣哂?jì)算效率，通過補(bǔ)充舍棄模態(tài)的貢獻(xiàn)以提高計(jì)算精度[45]。時(shí)域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的計(jì)算，可對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求偏導(dǎo)，通過Newmark 方法或者Newton Rapson 方法計(jì)算偏導(dǎo)方程的響應(yīng)，作為時(shí)域內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)靈敏度[46]。

參數(shù)型有限元模型修正方法優(yōu)化結(jié)構(gòu)物理參數(shù)，物理意義明確，對(duì)實(shí)際工程損傷評(píng)估具有指導(dǎo)意義；靈敏度分析為參數(shù)優(yōu)化提供快速搜索方向，是一種被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程的有限元模型修正方法。該類方法的進(jìn)步在一定程度上得益于優(yōu)化算法、靈敏度計(jì)算等數(shù)學(xué)方法的發(fā)展，以及硬件設(shè)備計(jì)算能力的提高，未來將在大型土木工程損傷評(píng)估中發(fā)揮越來越重要的作用。

1.3 不確定性有限元模型修正方法

有限元模型和測(cè)試數(shù)據(jù)都存在不確定性。模型不確定包括材料制作誤差、材料本構(gòu)關(guān)系建模誤差、邊界條件建模誤差、單元?jiǎng)澐终`差、非結(jié)構(gòu)特性建模誤差等[47]。測(cè)量不確定性主要包括測(cè)量噪聲和數(shù)據(jù)處理誤差。常用三種方法來考慮模型修正過程中的不確定性：蒙特卡洛法、攝動(dòng)法、貝葉斯法。

蒙特卡洛法生成大量服從特定概率密度分布的樣本點(diǎn)，對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)參數(shù)分別進(jìn)行有限元模型修正，然后從修正結(jié)果中估計(jì)修正參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性[48]。Mares 等[49]詳細(xì)闡述了蒙特卡洛法及其在概率參數(shù)估計(jì)上的應(yīng)用。蒙特卡洛法需要生成大量的分析數(shù)據(jù)來保證其修正結(jié)果的精度，計(jì)算效率低。

攝動(dòng)法通過引入微小變化量考慮不確定性[50]，給有限元模型修正方程的每個(gè)變量一個(gè)微小變化量，推導(dǎo)一個(gè)近似的微分方程來求解函數(shù)的不確定性，參數(shù)的一階矩和二階矩常用來估計(jì)參數(shù)的均值和方差。與傳統(tǒng)的基于靈敏度的有限元模型修正方法一樣，攝動(dòng)法要求修正參數(shù)的初值要接近真實(shí)值，當(dāng)攝動(dòng)量較大時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差，需要使用高階攝動(dòng)方程[51]。

基于貝葉斯理論的有限元模型修正方法，根據(jù)主觀已知修正參數(shù)先驗(yàn)分布信息和測(cè)試數(shù)據(jù)信息，識(shí)別修正參數(shù)的后驗(yàn)概率密度分布。Beck 和Karafygiotis[52 ? 53]詳細(xì)闡述了基于貝葉斯理論的模型修正過程，該方法不僅能獲得修正參數(shù)的最優(yōu)解，還能從它們聯(lián)合概率分布中評(píng)估參數(shù)不確定性水平。Lam 等[54]從環(huán)境數(shù)據(jù)中評(píng)估參數(shù)不確定性水平，并基于貝葉斯模型修正方法對(duì)IASC-ASCE基準(zhǔn)模型進(jìn)行了損傷識(shí)別。Yuen 和Katafygiotis[55]將該方法擴(kuò)展到隨機(jī)模型輸入未知的情況。該方法不需要響應(yīng)是平穩(wěn)的，也不需要基于輸入譜密度的參數(shù)先驗(yàn)信息。Cheung 和Beck[56]提出利用混合蒙特卡洛來求解貝葉斯模型修正問題，適合于求解高緯度參數(shù)空間的優(yōu)化問題，且不局限于模型的類別(線性或非線性)和測(cè)試數(shù)據(jù)的類型。

有限元模型和測(cè)試數(shù)據(jù)的不確定性會(huì)影響有限元模型修正和損傷識(shí)別的結(jié)果，研究參數(shù)識(shí)別過程中的不確定性問題勢(shì)在必行。隨著統(tǒng)計(jì)理論與大數(shù)據(jù)分析方法的發(fā)展，為不確定性分析提供新的契機(jī)，這也將為考慮不確定性分析的有限元模型修正和損傷識(shí)別創(chuàng)造良好的條件。

1.4 非線性有限元模型修正方法

嚴(yán)格來講土木工程結(jié)構(gòu)是非線性的，線性只是特例或一種簡(jiǎn)化方法。例如，混凝土等材料本身的非線性引起的結(jié)構(gòu)非線性、結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形時(shí)產(chǎn)生的幾何非線性、結(jié)構(gòu)阻尼耗散的非線性、結(jié)構(gòu)邊界條件及狀態(tài)的非線性等。結(jié)構(gòu)的各種損傷也呈現(xiàn)出典型的非線性特征，如裂縫的產(chǎn)生和發(fā)展、節(jié)點(diǎn)的松動(dòng)和滑移、剛度退化等。土木工程結(jié)構(gòu)遭受地震、強(qiáng)風(fēng)等較強(qiáng)的荷載激勵(lì)時(shí)，表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特征，必須采用非線性模型。目前，線性系統(tǒng)的模態(tài)分析理論并不適用于非線性系統(tǒng)，非線性有限元模型修正方法的發(fā)展沒有線性模型修正方法成熟，非線性有限元模型修正技術(shù)尚待進(jìn)一步發(fā)展[16]。

非線性模型修正方法主要包括頻域內(nèi)的諧波平衡方法[57]、本構(gòu)方程誤差法[58 ? 59]和時(shí)域內(nèi)的恢復(fù)力面法[60]、本征正交分解[61]。頻域方法一般將非線性特征表達(dá)為線性貢獻(xiàn)和非線性貢獻(xiàn)的疊加[59]，或?qū)⒎蔷€性貢獻(xiàn)的多維度高階特征線性化[58]。由于線性化過程損失了一些結(jié)構(gòu)信息，該方法不適用于復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)的有限元模型修正[62]。時(shí)域方法通過輸入輸出振動(dòng)方程識(shí)別出非線性方程的恢復(fù)力[60]，或者將時(shí)間序列數(shù)據(jù)分解為非線性系統(tǒng)的正交基[61]，進(jìn)而以恢復(fù)力或非線性正交基構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)來修正非線性參數(shù)。Silva等[63]比較了頻域的非線性模型修正方法(諧波平衡法、本構(gòu)方程誤差法)和時(shí)域的非線性模型修正方法(恢復(fù)力面法、本征正交分解)，認(rèn)為時(shí)域方法比頻域方法計(jì)算效率高，其中恢復(fù)力面法是耗時(shí)最小且識(shí)別結(jié)果精度最高的模型修正方法。

土木工程結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)是非線性的，非線性有限元模型修正和損傷識(shí)別更能反映土木工程的本質(zhì)特征。隨著非線性動(dòng)力分析的發(fā)展和設(shè)備計(jì)算能力的提高，非線性有限元模型修正將為土木工程損傷評(píng)估提供更貼切、更可靠的信息。

1.5 基于有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

當(dāng)結(jié)構(gòu)損傷導(dǎo)致其剛度參數(shù)發(fā)生變化，運(yùn)用有限元模型修正方法來識(shí)別損傷前后結(jié)構(gòu)的剛度參數(shù)變化，從而根據(jù)剛度參數(shù)變化的位置和程度實(shí)現(xiàn)損傷的定位和定量?；谟邢拊Ｐ托拚膿p傷識(shí)別過程分為兩個(gè)階段，具體流程如圖2所示。

圖2 基于有限元模型修正的損傷識(shí)別過程Fig.2 Flowchart of damage identification based on finite element model updating

第一個(gè)過程，建立結(jié)構(gòu)未損狀態(tài)下的有限元模型，即基準(zhǔn)模型。初始有限元模型尚不能準(zhǔn)確反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的特性，需要通過對(duì)其材料參數(shù)、截面尺寸、約束條件進(jìn)行修正，避免初始建模誤差對(duì)第二個(gè)過程中損傷識(shí)別結(jié)果的影響。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)過程的有限元模型修正完成，將修正好的模型作為精準(zhǔn)的未損狀態(tài)結(jié)構(gòu)有限元模型。在第二個(gè)過程中，由于第一個(gè)過程已經(jīng)對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量約束等進(jìn)行修正，則認(rèn)為只有損傷造成剛度變化，其他因素是不變的。因此，以單元?jiǎng)偠茸鳛榇拚齾?shù)，利用現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的損傷結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)基準(zhǔn)模型進(jìn)行模型修正，得到損傷后的剛度參數(shù)，從而識(shí)別損傷位置和損傷程度。

Brownjohn 等[64]利用實(shí)測(cè)振型和頻率，采用基于靈敏度的有限元模型修正方法識(shí)別了實(shí)際橋梁的損傷狀況。Fritzen 等[65]利用基于頻響函數(shù)靈敏度的有限元修正方法識(shí)別實(shí)際結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度。Abdel[66]、Jaishi 和Ren[23]分別推導(dǎo)了模態(tài)曲率靈敏度和模態(tài)柔度靈敏度的計(jì)算方法，建立了基于模態(tài)曲率和模態(tài)柔度的有限元模型修正方法，完成實(shí)際橋梁的損傷識(shí)別。Lu 和Law[67]提出了基于動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的模型修正方法，識(shí)別了一個(gè)小型橋梁的損傷狀況。針對(duì)實(shí)際工程的損傷識(shí)別中，為提高有限元模型修正計(jì)算效率，通常會(huì)采用簡(jiǎn)化的有限元模型，或者從有限元模型的眾多不確定性參數(shù)中選取少數(shù)待修正參數(shù)，在不同程度上通過犧牲有限元模型的精度來提高模型修正過程的效率，修正后的模型難以準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的一些真實(shí)損傷狀況。

基于有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，計(jì)算過程直觀、物理意義明確，能識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷發(fā)生的位置和損傷程度，并根據(jù)模型物理參數(shù)的變化評(píng)估結(jié)構(gòu)安全狀況，是了解和掌握結(jié)構(gòu)安全狀況最直接、最準(zhǔn)確的途徑。然而，土木工程結(jié)構(gòu)有限元模型龐大，不確定性參數(shù)多，導(dǎo)致基于有限元模型修正的損傷識(shí)別過程效率低、精度差，特別是在考慮不確定性和非線性后，耗時(shí)巨大甚至是無法實(shí)施。雖然現(xiàn)有硬件設(shè)備具有日益強(qiáng)大的計(jì)算能力，為大型土木工程有限元模型修正計(jì)算創(chuàng)造了良好的條件，但是大型土木工程精細(xì)化有限元模型修正和損傷識(shí)別仍然難以實(shí)現(xiàn)[3 ? 5]，計(jì)算方法上的突破仍然是土木工程研究者與實(shí)踐者需要努力的方向。

2 基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

為保證損傷識(shí)別的精度，土木工程通常需要建立比較精細(xì)的有限元模型，包含大量單元、節(jié)點(diǎn)、自由度和待修正參數(shù)。有限元模型修正屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的逆問題，大尺寸模型的動(dòng)力分析精度極低，大量待識(shí)別參數(shù)使參數(shù)識(shí)別過程容易出現(xiàn)病態(tài)或者收斂緩慢的問題。

用于有限元模型修正的動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)反映整體結(jié)構(gòu)信息，但是結(jié)構(gòu)損傷通常只是發(fā)生在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域。子結(jié)構(gòu)方法將整體結(jié)構(gòu)分解為獨(dú)立的子結(jié)構(gòu)，通過協(xié)調(diào)條件將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的分析，是解決有限元模型修正精度低、效率低的有效方法。子結(jié)構(gòu)方法應(yīng)用于大型土木工程結(jié)構(gòu)有限元模型修正有如下優(yōu)勢(shì)[68 ? 70]：

1) 各子結(jié)構(gòu)之間相互獨(dú)立，采用不同的方法獨(dú)立分析，獨(dú)立存儲(chǔ)，并行計(jì)算；

2) 將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的分析，子結(jié)構(gòu)模型尺寸遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)模型，將減少模型分析時(shí)間，從而降低對(duì)分析計(jì)算設(shè)備的需求；

3) 獨(dú)立子結(jié)構(gòu)修正參數(shù)的數(shù)量遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)修正參數(shù)的數(shù)量，從而加速優(yōu)化過程的收斂，獲取更精確的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果。

4) 子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法用于損傷識(shí)別中，由于損傷往往發(fā)生在結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域，只需對(duì)少數(shù)關(guān)鍵子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，避免了對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行反復(fù)運(yùn)算。

子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法分為兩類：第一類為正向子結(jié)構(gòu)方法，通過子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)組集得到整體結(jié)構(gòu)特征參數(shù)，進(jìn)而修正結(jié)構(gòu)參數(shù)使得整體模型特征參數(shù)與測(cè)量得到的整體特征參數(shù)相吻合；第二類為逆向子結(jié)構(gòu)方法，將整體結(jié)構(gòu)試驗(yàn)特征參數(shù)分解為獨(dú)立子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)特征參數(shù)，進(jìn)而修正獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模型。

2.1 正向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

正向子結(jié)構(gòu)方法的核心思想是將整體結(jié)構(gòu)特征參數(shù)表達(dá)為獨(dú)立子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)的疊加。該方法的過程是[70]：首先，將整體結(jié)構(gòu)有限元模型劃分為若干個(gè)獨(dú)立的子結(jié)構(gòu)模型，計(jì)算子結(jié)構(gòu)模型的振動(dòng)特性；然后，組集子結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性得到整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性；最后，通過優(yōu)化過程調(diào)整子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)，使得整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性與實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)損傷識(shí)別(如圖3 所示)。用作有限元模型修正的振動(dòng)特性包括頻域特性(頻率、振型、頻響函數(shù)等)和時(shí)域特性(加速度、位移等時(shí)程響應(yīng))。

圖3 正向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正流程圖Fig.3 Flowchart of model updating based on forward substructure

1) 基于子結(jié)構(gòu)的頻域特征計(jì)算方法

頻域子結(jié)構(gòu)方法主要用來快速計(jì)算結(jié)構(gòu)的特征解(頻率)和特征向量(振型)。Kron 子結(jié)構(gòu)[68]方法通過拉格朗日乘子和虛功原理在相鄰子結(jié)構(gòu)界面施加位移約束組集各個(gè)子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)。該方法精度高，且適用于復(fù)雜的分界面，但是Kron 子結(jié)構(gòu)方法需要計(jì)算每個(gè)子結(jié)構(gòu)所有階模態(tài)，效率極低，對(duì)較大子結(jié)構(gòu)難以完成。Weng 等[69]只保留了部分模態(tài)來改進(jìn)Kron 子結(jié)構(gòu)方法的計(jì)算效率，同時(shí)通過剩余柔度補(bǔ)充舍棄模態(tài)的貢獻(xiàn)來保證方法的精度，該方法也被擴(kuò)展到快速計(jì)算特征解靈敏度[71]。模態(tài)綜合法是將結(jié)構(gòu)特征解表達(dá)為子結(jié)構(gòu)模態(tài)的疊加[72 ? 75]。子結(jié)構(gòu)模態(tài)分為正交模態(tài)、剛體模態(tài)、約束模態(tài)和附加模態(tài)。根據(jù)子結(jié)構(gòu)界面約束類型，模態(tài)綜合法分為固定界面模態(tài)綜合法和自由界面模態(tài)綜合法。子結(jié)構(gòu)方法也被用來通過子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)快速計(jì)算整體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)[75 ? 80]。Klerk 等[75]綜述了基于子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)計(jì)算方法，包括阻抗耦合法[76]、導(dǎo)納耦合法[77]、拉格朗日乘子耦合法[78]。Lim 和Li[79]用最小二乘法和縮聚的奇異值分解法來改進(jìn)子結(jié)構(gòu)方法計(jì)算頻響函數(shù)的精度。Law 和Ihlenfeldt[80]將基于子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)計(jì)算方法拓展到計(jì)算結(jié)構(gòu)多點(diǎn)柔度特征。

2) 基于子結(jié)構(gòu)的時(shí)域特征計(jì)算方法

時(shí)域子結(jié)構(gòu)方法快速計(jì)算結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)[81,82]和脈沖響應(yīng)函數(shù)[83]。Zhu 等[82]基于Kron 子結(jié)構(gòu)方法將整體結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)表達(dá)為獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的疊加，為提高計(jì)算效率只保留了部分子結(jié)構(gòu)低階模態(tài)，舍棄的高階模態(tài)的貢獻(xiàn)通過考慮一階效應(yīng)和二階效應(yīng)的指標(biāo)來補(bǔ)償，并推導(dǎo)了基于子結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)靈敏度計(jì)算方法，應(yīng)用于超高層建筑的損傷識(shí)別。Gruber 等[84 ? 85]將模態(tài)綜合法拓展到時(shí)域計(jì)算結(jié)構(gòu)位移，并轉(zhuǎn)換到狀態(tài)域計(jì)算非比例阻尼線性系統(tǒng)時(shí)程響應(yīng)。時(shí)域子結(jié)構(gòu)方法通過一定約束條件組集子結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，也被用于快速計(jì)算整體結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)函數(shù)。Gordis[83,86]通過對(duì)子結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行杜哈梅積分和模態(tài)疊加法得到整體結(jié)構(gòu)脈沖響應(yīng)函數(shù)，用于瞬時(shí)沖擊或敲擊荷載作用下的動(dòng)力分析和模型修正?；谧咏Y(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)計(jì)算方法也被應(yīng)用到剛性-彈性混合節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)的有限元模型修正中[87]。

在正向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正過程中，當(dāng)結(jié)構(gòu)損傷引起局部參數(shù)發(fā)生改變，只需要重新計(jì)算一個(gè)或者幾個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，其他子結(jié)構(gòu)保持不變，即可快速計(jì)算整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，通過修正少數(shù)子結(jié)構(gòu)模型實(shí)現(xiàn)損傷識(shí)別，極大地提高了有限元模型修正的效率。

2.2 逆向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

逆向子結(jié)構(gòu)方法通過探索整體結(jié)構(gòu)與獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的位移、力等參數(shù)的相似性，以及子結(jié)構(gòu)分界面處位移平衡、力協(xié)調(diào)等約束條件，建立整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性與獨(dú)立子結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性之間的聯(lián)系。進(jìn)而，將整體結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)特征參數(shù)分解為獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)特征參數(shù)。將子結(jié)構(gòu)完全從整體結(jié)構(gòu)中分離出來，成為獨(dú)立自由的個(gè)體。最后，建立獨(dú)立子結(jié)構(gòu)有限元模型，以獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模型的特征參數(shù)和子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)特征參數(shù)的殘差作為優(yōu)化目標(biāo)，以獨(dú)立自由的子結(jié)構(gòu)模型為修正對(duì)象，其他的子結(jié)構(gòu)并不參與模型修正過程，基于逆向子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正過程如圖4 所示。逆向子結(jié)構(gòu)方法的實(shí)質(zhì)是將整體結(jié)構(gòu)上測(cè)得的特征參數(shù)通過建立數(shù)學(xué)方程分解為局部區(qū)域的特征參數(shù)，進(jìn)而對(duì)某一個(gè)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正。從整體結(jié)構(gòu)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取的子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)包括頻域特征參數(shù)和時(shí)域特性參數(shù)。

圖4 逆向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正流程圖Fig.4 Flowchart of model updating based on inverse substructure

1) 頻域內(nèi)逆向子結(jié)構(gòu)法

頻域逆向子結(jié)構(gòu)方法的關(guān)鍵是建立子結(jié)構(gòu)特征解和整體結(jié)構(gòu)特征解的關(guān)系，然后再?gòu)恼w結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取出子結(jié)構(gòu)頻域特征參數(shù)。Doebling 等[88]根據(jù)預(yù)先假定的子結(jié)構(gòu)連接性和應(yīng)變能量分布從整體剛度和柔度矩陣中提取出了子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，進(jìn)而從形狀方程和幾何關(guān)系中計(jì)算子結(jié)構(gòu)特征向量，并通過線性最小二乘法求解子結(jié)構(gòu)特征值。Alvin 和Park[89]依據(jù)力法基本原理，基于力轉(zhuǎn)換矩陣從整體柔度矩陣中提取出子結(jié)構(gòu)柔度矩陣。由于轉(zhuǎn)換矩陣的計(jì)算非常耗時(shí)，這種方法主要用于簡(jiǎn)單梁結(jié)構(gòu)的計(jì)算。Park和Reich[90]綜述了從整體測(cè)量數(shù)據(jù)中提取子結(jié)構(gòu)特征的柔度法，包括自由-自由子結(jié)構(gòu)柔度法、基于變形的柔度法、基于應(yīng)變的柔度法。Hou 等[91]根據(jù)虛擬變形方法推導(dǎo)了子結(jié)構(gòu)隔離方法，將其他子結(jié)構(gòu)對(duì)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的作用等效為一個(gè)虛擬力，利用分界面的虛擬力變形隔離出一個(gè)不受其余子結(jié)構(gòu)影響的目標(biāo)子結(jié)構(gòu)。

Weng 等[92]根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件和力平衡方程從整體模態(tài)數(shù)據(jù)提取出了子結(jié)構(gòu)柔度矩陣，并建立正交投影算子剔除子結(jié)構(gòu)剛體模態(tài)用于自由子結(jié)構(gòu)的分析[93]。從子結(jié)構(gòu)柔度矩陣中提取子結(jié)構(gòu)頻率和振型，以獨(dú)立子結(jié)構(gòu)為對(duì)象構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算靈敏度矩陣，并修正獨(dú)立子結(jié)構(gòu)模型[94]。由于結(jié)構(gòu)損傷通常發(fā)生在局部區(qū)域，子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)比整體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)對(duì)損傷更加敏感。該方法用于廣州塔的有限元模型修正和損傷識(shí)別[94]，局部小損傷對(duì)子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變量為1.84%，而對(duì)整體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變量?jī)H為0.01%，證實(shí)了子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)比整體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)對(duì)局部損傷更加敏感。以所提取的子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)修正目標(biāo)子結(jié)構(gòu)有限元模型，系統(tǒng)方程的尺寸從21 690×21 690 縮小為2736×2736，基于逆向子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正時(shí)間為整體有限元模型修正時(shí)間的10%，極大地提高了基于有限元模型修正的損傷識(shí)別的精度和效率。

2) 時(shí)域內(nèi)逆向子結(jié)構(gòu)法

在時(shí)域內(nèi)，如果能提取目標(biāo)子結(jié)構(gòu)與其他子結(jié)構(gòu)的界面力，那么就可以將界面力當(dāng)作輸入力作用在目標(biāo)子結(jié)構(gòu)上，將目標(biāo)子結(jié)構(gòu)從整體結(jié)構(gòu)中分離出來，作為一個(gè)獨(dú)立的結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析[95]，并對(duì)該獨(dú)立子結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正和損傷識(shí)別。因此，時(shí)域內(nèi)逆向子結(jié)構(gòu)方法的關(guān)鍵是獲取目標(biāo)子結(jié)構(gòu)與其他子結(jié)構(gòu)的界面力。

獲取子結(jié)構(gòu)界面力最直接的方法是測(cè)量界面處的響應(yīng)，通過界面處的響應(yīng)來計(jì)算界面力。Koh等[95]測(cè)量每個(gè)子結(jié)構(gòu)分界面結(jié)點(diǎn)的位移、速度、加速度，通過參數(shù)優(yōu)化方法識(shí)別其他子結(jié)構(gòu)對(duì)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的界面力。Yun 和Lee[96]構(gòu)建界面處加速度響應(yīng)與界面力的時(shí)間序列模型，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法從復(fù)雜結(jié)構(gòu)中提取子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)和子結(jié)構(gòu)界面力[97]。這些方法需要測(cè)量界面處所有自由度的響應(yīng)數(shù)據(jù)，在實(shí)驗(yàn)室模型試驗(yàn)中取得較好的結(jié)果。在實(shí)際工程中，測(cè)量目標(biāo)子結(jié)構(gòu)所有界面結(jié)點(diǎn)的所有響應(yīng)難以實(shí)施。一些研究試圖通過數(shù)學(xué)變換來消除目標(biāo)子結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程中與界面結(jié)點(diǎn)有關(guān)的項(xiàng)，以避免測(cè)量子結(jié)構(gòu)界面處所有結(jié)點(diǎn)響應(yīng)。Koh 和Shankar[98]使用傳遞方程來關(guān)聯(lián)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的響應(yīng)和另一個(gè)結(jié)點(diǎn)的激勵(lì)，測(cè)量同樣激勵(lì)條件下目標(biāo)子結(jié)構(gòu)上多組響應(yīng)數(shù)據(jù)，建立轉(zhuǎn)換矩陣將子結(jié)構(gòu)界面上未測(cè)量的響應(yīng)轉(zhuǎn)換為已測(cè)響應(yīng)的函數(shù)。Tee 等[99]將模型縮聚和恢復(fù)方法融合，解決子結(jié)構(gòu)界面處不完備測(cè)量的問題。

針對(duì)實(shí)際工程中目標(biāo)子結(jié)構(gòu)界面處測(cè)量不完備的難題，另一種處理方法是將子結(jié)構(gòu)界面力當(dāng)作未知參數(shù)，在有限元模型修正過程中與其余待識(shí)別參數(shù)同步識(shí)別。Li 和Law[100]融合響應(yīng)重構(gòu)方法和傳遞方程，采用基于靈敏度的有限元模型修正方法同步識(shí)別子結(jié)構(gòu)界面力和損傷參數(shù)。Zhu等[101]將移動(dòng)荷載和子結(jié)構(gòu)界面力表示為切比雪夫多項(xiàng)式，推導(dǎo)了在狀態(tài)域內(nèi)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)關(guān)于結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)偠葏?shù)和切比雪夫多項(xiàng)式因子的靈敏度，通過子結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)和靈敏度分析方法同步識(shí)別移動(dòng)列車荷載作用下軌道參數(shù)和列車荷載。

逆向子結(jié)構(gòu)方法建立整體結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特征與獨(dú)立子結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特征的聯(lián)系，將子結(jié)構(gòu)完全從整體結(jié)構(gòu)中分離出來，成為獨(dú)立自由的個(gè)體，對(duì)獨(dú)立自由的子結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行有限元模型修正。用于大型土木工程的損傷識(shí)別時(shí)，只需要建立局部損傷區(qū)域的有限元模型，修正獨(dú)立的局部子結(jié)構(gòu)模型，而其他大部分未損區(qū)域不參與有限元建模和修正過程，是提高大型結(jié)構(gòu)有限元模型修正計(jì)算效率最理想的途徑。由于整體結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)參數(shù)包含測(cè)量噪聲等誤差，且整體結(jié)構(gòu)特征參數(shù)與子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)關(guān)系復(fù)雜，在提取子結(jié)構(gòu)特征參數(shù)時(shí)這些誤差會(huì)被放大和積累，因此，如何在數(shù)學(xué)方法上降低整體-子結(jié)構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性，提高子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)特征參數(shù)的精度，是目前逆向子結(jié)構(gòu)方法亟待解決的難題。

2.3 考慮不確定性的子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

大型結(jié)構(gòu)有限元模型修正過程非常耗時(shí)，考慮不確定性分析后，需要對(duì)大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)分析，勢(shì)必進(jìn)一步增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。一方面，子結(jié)構(gòu)方法可以對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)分別建立統(tǒng)計(jì)模型，對(duì)包含支座、損傷等不確定性較大的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行重復(fù)統(tǒng)計(jì)分析，避免了反復(fù)分析整個(gè)結(jié)構(gòu)。另一方面，對(duì)每個(gè)子結(jié)構(gòu)分別建立統(tǒng)計(jì)模型，而不是對(duì)整體結(jié)構(gòu)建立統(tǒng)一的統(tǒng)計(jì)模型，精度更高。

Beck 等[102]將貝葉斯方法引入子結(jié)構(gòu)方法中，通過子結(jié)構(gòu)參數(shù)的先驗(yàn)概率估計(jì)整體結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，減少了不確定性有限元模型修正的時(shí)間。Tran 等[103]將子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法與蒙特卡洛方法相結(jié)合，Chentouf 等[104]評(píng)估了兩種模態(tài)綜合法在基于蒙特卡洛不確定分析中的魯棒性。蒙特卡洛方法產(chǎn)生大量樣本點(diǎn)，并對(duì)大量樣本點(diǎn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)有限元模型修正和損傷識(shí)別計(jì)算，子結(jié)構(gòu)方法有效減少了大量重復(fù)計(jì)算負(fù)擔(dān)。梁鋒[105]將子結(jié)構(gòu)方法與攝動(dòng)法相結(jié)合，建立子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)、子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)、整體結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)、整體結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的定量關(guān)系，基于攝動(dòng)法推導(dǎo)了不確定性參數(shù)的一階和二階統(tǒng)計(jì)矩，提高了大型結(jié)構(gòu)不確定性分析的效率。

子結(jié)構(gòu)方法可以對(duì)各獨(dú)立子結(jié)構(gòu)分別建立統(tǒng)計(jì)模型，不僅精度更高，而且將重復(fù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算限制在少數(shù)子結(jié)構(gòu)內(nèi)，為大型結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別及其概率估計(jì)提供了高效率、高精度的途徑。

2.4 非線性子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法

土木工程非線性通常存在于結(jié)構(gòu)的局部位置，例如非線性支撐或非線性連接，結(jié)構(gòu)損傷也是一種局部非線性發(fā)展過程。局部非線性特征使整個(gè)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)非線性行為，必須對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性動(dòng)力分析。常用直接積分法、諧波平衡法求解非線性方程，大型結(jié)構(gòu)的非線性計(jì)算非常耗時(shí)。子結(jié)構(gòu)方法考慮局部非線性特征分別建立非線性子結(jié)構(gòu)和線性子結(jié)構(gòu)，對(duì)線性子結(jié)構(gòu)采用線性疊加、動(dòng)態(tài)縮聚等高效的動(dòng)力分析方法，將耗時(shí)的非線性動(dòng)力分析限制在局部子結(jié)構(gòu)內(nèi)，極大地提高非線性動(dòng)力分析及有限元模型修正的效率。

Praveen 和Padmanabhan[106]依據(jù)整體結(jié)構(gòu)的非線性特征，將剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分為主自由度和從自由度，與非線性區(qū)域和外力自由度相關(guān)的部分作為主自由度，其余的線性區(qū)域作為從自由度。對(duì)主自由度進(jìn)行耗時(shí)的非線性動(dòng)力分析，非線性修正力施加到線性部分作為非線性效應(yīng)影響，以提高計(jì)算效率。Weng 等[107]將整體非線性結(jié)構(gòu)分解為線性子結(jié)構(gòu)和非線性子結(jié)構(gòu)，將線性子結(jié)構(gòu)表達(dá)為低階模態(tài)的疊加從而縮減線性子結(jié)構(gòu)方程尺寸，非線性結(jié)構(gòu)保持原狀。由于土木工程中大部分區(qū)域?yàn)榫€性，耗時(shí)的非線性動(dòng)力分析和參數(shù)識(shí)別被限制在少數(shù)非線性子結(jié)構(gòu)內(nèi)，所計(jì)算的地震荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)被用于非線性參數(shù)識(shí)別中。Apiwattanalunggarn 等[108]引入子結(jié)構(gòu)非線性正交模態(tài)，通過模態(tài)綜合法縮減線性子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，通過非線性正交模態(tài)縮減非線性子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，非線性正交模態(tài)是線性正交模態(tài)的拓展，它們通過線性約束模態(tài)耦合起來[109]。

非線性子結(jié)構(gòu)方法將耗時(shí)的非線性動(dòng)力分析限制在局部子結(jié)構(gòu)內(nèi)，并極大地縮聚線性子結(jié)構(gòu)尺寸，為土木工程局部非線性動(dòng)力分析、參數(shù)識(shí)別和損傷識(shí)別開辟了一個(gè)高效的途徑。

2.5 基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

由于土木工程損傷通常發(fā)生在局部區(qū)域，在判定結(jié)構(gòu)損傷區(qū)域后，可只對(duì)發(fā)生損傷的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元模型修正，而其他大部分未損結(jié)構(gòu)保持不變，將提高損傷識(shí)別的精度和效率。

Weng 等[70]推導(dǎo)了基于正向子結(jié)構(gòu)的特征解和特征解靈敏度求解方法，建立了基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，完成澳大利亞Balla Balla 橋的損傷識(shí)別；并進(jìn)一步提取獨(dú)立子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)柔度矩陣，建立了逆向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法，應(yīng)用于廣州塔的損傷識(shí)別[92,94]。Zhu 等[83]利用子結(jié)構(gòu)方法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)位移和位移靈敏度的快速計(jì)算方法，通過子結(jié)構(gòu)有限元模型修正過程對(duì)武漢長(zhǎng)江航運(yùn)中心進(jìn)行損傷識(shí)別。Yu 等[110]推導(dǎo)了固定界面模態(tài)綜合法、自由界面模態(tài)綜合法[111]計(jì)算結(jié)構(gòu)特征靈敏度，并基于特征解和特征靈敏度對(duì)一框架建筑進(jìn)行了損傷識(shí)別。Lam 和Yang[112]綜合貝葉斯模型修正和子結(jié)構(gòu)方法，依據(jù)試驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了鋼塔的損傷識(shí)別。Jensen 等[113]在時(shí)域內(nèi)建立了貝葉斯模型修正和損傷識(shí)別方法，其中子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法用來縮小模型的尺寸。Xu 等[29]提出了多尺度子結(jié)構(gòu)模型修正方法，首先在子結(jié)構(gòu)層面識(shí)別出損傷的子結(jié)構(gòu)，然后在單元層面識(shí)別出損傷發(fā)生的單元和程度。

土木工程結(jié)構(gòu)龐大而損傷往往只是發(fā)生在局部區(qū)域，子結(jié)構(gòu)方法將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的分析，將耗時(shí)的優(yōu)化計(jì)算、不確定性分析和非線性計(jì)算限制在局部子結(jié)構(gòu)內(nèi)，避免對(duì)整體結(jié)構(gòu)大尺寸方程實(shí)施各類耗時(shí)的運(yùn)算，在保證損傷識(shí)別高精度的同時(shí)提高損傷識(shí)別的效率，為土木工程基于有限元模型修正的損傷識(shí)別開辟了新的途徑。

3 工程應(yīng)用

本節(jié)將上述有限元模型修正方法和子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法用于超高層建筑武漢長(zhǎng)江航運(yùn)中心模型的損傷識(shí)別。武漢長(zhǎng)江航運(yùn)中心大樓地上66 層，建筑高度335 m，如圖5 所示。主體結(jié)構(gòu)為第1 層～第64 層，高度306 m，采用外框架-核心筒結(jié)構(gòu)體系。外框架由4 根鋼管混凝土柱和16 根型鋼混凝土柱構(gòu)成，截面尺寸50 m×50 m。核心筒為鋼筋混凝土剪力墻，截面尺寸30 m×30 m。

依據(jù)施工圖紙建立該實(shí)際工程有限元模型，包含9112 個(gè)單元、3950 個(gè)結(jié)點(diǎn)、23 364 個(gè)自由度。首先，采用現(xiàn)場(chǎng)模態(tài)試驗(yàn)測(cè)得的頻率和振型修正有限元模型的剛度參數(shù)，完成第一階段有限元模型修正。然后，以修正后的有限元模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行第二階段有限元模型修正，即損傷識(shí)別。

圖5 武漢長(zhǎng)江航運(yùn)中心及其有限元模型Fig.5 Wuhan Yangtze River Navigation Center and its finite element model

在第二階段有限元模型修正過程中，分別采用傳統(tǒng)的有限元模型修正和子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法作對(duì)比分析。在采用子結(jié)構(gòu)方法時(shí)，將有限元模型劃分為9 個(gè)子結(jié)構(gòu)。由于該實(shí)際工程目前沒有發(fā)生損傷，因此數(shù)值模擬結(jié)構(gòu)損傷。對(duì)局部區(qū)域(子結(jié)構(gòu)3)中單元21 和單元77(剪力墻單元)的單元?jiǎng)偠确謩e折減20%和30%來模擬損傷，對(duì)整體有限元模型施加如圖6 所示水平地震荷載作用，地震荷載持續(xù)30 s，采樣頻率是0.03 s，總的時(shí)間步為1001，采用Newmark 法計(jì)算損傷后模型的動(dòng)位移作為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。有限元模型修正過程中，目標(biāo)方程為試驗(yàn)動(dòng)位移和有限元模型計(jì)算位移的殘差，當(dāng)目標(biāo)方程小于2 × 10?15時(shí)，模型修正過程停止。有限元模型修正的待修正參數(shù)選為第三個(gè)子結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)所有單元的剛度，共336 個(gè)剛度參數(shù)。傳統(tǒng)以整體結(jié)構(gòu)為對(duì)象進(jìn)行有限元模型修正時(shí)，一般取所有單元?jiǎng)偠葏?shù)為待修正參數(shù)，即9112 個(gè)單元參數(shù)，現(xiàn)有計(jì)算設(shè)備難以完成對(duì)9112 個(gè)單元參數(shù)的優(yōu)化。因此，本算例中兩種有限元模型修正方法均采用336 個(gè)修正參數(shù)，即以整體結(jié)構(gòu)為對(duì)象進(jìn)行損傷識(shí)別時(shí)只取局部336 個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

圖6 地震荷載激勵(lì)Fig.6 Earthquake excitation

首先采用基于正向子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，每個(gè)子結(jié)構(gòu)只保留了少量的低階模態(tài)來組集得到縮聚的振動(dòng)方程，進(jìn)而計(jì)算出整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移，并對(duì)縮聚的振動(dòng)方程求偏導(dǎo)計(jì)算動(dòng)位移靈敏度。在振動(dòng)方程中補(bǔ)充一個(gè)額外項(xiàng)來考慮舍棄的高階模態(tài)的貢獻(xiàn)。保留的模態(tài)數(shù)量會(huì)影響子結(jié)構(gòu)方法的精度，保留的模態(tài)越多，精度越高。但是，保留模態(tài)的數(shù)目越多，計(jì)算效率會(huì)大大降低。模型修正越接近最優(yōu)解，對(duì)位移和位移靈敏度的精度要求越高。因此，為了同時(shí)保證子結(jié)構(gòu)模型修正的精度和效率，在不同模型修正階段保留不同數(shù)量的模態(tài)。最初的前6 階迭代中，保留30 階模態(tài)。隨著有限元模型修正過程逐漸接近收斂，保留模態(tài)的數(shù)目不斷增加。在最后的3 次迭代中，保留130 階模態(tài)。有限元模型修正過程在滿足目標(biāo)方程小于2 × 10?15時(shí)完成運(yùn)算?；谧咏Y(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別結(jié)果如圖7所示，識(shí)別出單元21 和77 的剛度折減值分別為0.2 和0.3，而其他單元識(shí)別的剛度折減值均為0，該方法高精度地識(shí)別出預(yù)先設(shè)定的損傷位置和損傷程度。同樣也應(yīng)用傳統(tǒng)的基于整體結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，采用相同的目標(biāo)函數(shù)、靈敏度計(jì)算和優(yōu)化過程。由于本算例數(shù)值模擬結(jié)構(gòu)損傷，且未考慮不確定性和噪聲影響，傳統(tǒng)的基于整體結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法同樣能高精度地識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度。

圖7 基于有限元模型修正的損傷識(shí)別結(jié)果Fig.7 Damage identification by finite element model updating

表1 比較了兩種方法的迭代過程和計(jì)算時(shí)間，圖8 對(duì)比了兩種方法的收斂曲線?；谧咏Y(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法，當(dāng)模態(tài)保留30 階時(shí)，振動(dòng)方程和靈敏度方程的尺寸被縮聚為270×270，每次迭代花費(fèi)時(shí)間為0.18 h。在最后3 次迭代，振動(dòng)方程/靈敏度方程的尺寸為1170×1170，每次迭代花費(fèi)時(shí)間為0.90 h。子結(jié)構(gòu)方法總共需要23 個(gè)迭代步和9.78 h 收斂。整體結(jié)構(gòu)方法計(jì)算整體模型的動(dòng)力響應(yīng)與靈敏度，振動(dòng)方程/靈敏度方程尺寸為23 364×23 364，每個(gè)迭代步花費(fèi)14.17 h，一共花費(fèi)了14 個(gè)迭代步和198.38 h 達(dá)到收斂。綜上所述，在相同收斂條件、相同計(jì)算精度的前提下，基于子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的損傷識(shí)別方法花費(fèi)的時(shí)間是傳統(tǒng)整體模型修正方法的4.93%。

表1 有限元模型修正計(jì)算時(shí)間和迭代步數(shù)的比較Table 1 Comparison of computational time and iterations by finite element model updating

子結(jié)構(gòu)有限元模型修正能極大地提高損傷識(shí)別的效率，原因主要在如下三個(gè)方面：1) 子結(jié)構(gòu)方法極大地縮減了模型尺寸，當(dāng)子結(jié)構(gòu)模態(tài)保留30 階時(shí)，振動(dòng)方程和靈敏度方程的尺寸由23 364×23 364 縮減為270×270；2) 計(jì)算靈敏度是一個(gè)比較耗時(shí)的過程，在采用子結(jié)構(gòu)方法計(jì)算靈敏度時(shí)，各個(gè)子結(jié)構(gòu)是相互獨(dú)立的，通過計(jì)算第3 個(gè)子結(jié)構(gòu)的靈敏度矩陣來組集得到整體結(jié)構(gòu)的靈敏度，而其余8 個(gè)子結(jié)構(gòu)的靈敏度矩陣為零，對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)計(jì)算靈敏度比對(duì)整體結(jié)構(gòu)計(jì)算靈敏度效率高；3) 局部子結(jié)構(gòu)的待修正參數(shù)遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)，本算例中對(duì)子結(jié)構(gòu)方法和整體結(jié)構(gòu)方法均取局部336 個(gè)修正參數(shù)，整體結(jié)構(gòu)有限元模型修正消耗198.38 h。在實(shí)際結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，以整體結(jié)構(gòu)為對(duì)象時(shí)，一般取所有單元?jiǎng)偠葏?shù)為待修正參數(shù)，也即9112 個(gè)單元參數(shù)?？梢灶A(yù)測(cè)，同時(shí)優(yōu)化9112 個(gè)單元參數(shù)的耗時(shí)將成級(jí)數(shù)倍增加，現(xiàn)有的計(jì)算設(shè)備難以完成。

圖8 整體結(jié)構(gòu)有限元模型修正和子結(jié)構(gòu)有限元模型修正的收斂曲線Fig.8 Convergence of global-based and substructurebased finite element model updating process

4 結(jié)論

本文詳細(xì)介紹了有限元模型修正方法及其在土木工程損傷識(shí)別中的應(yīng)用，并總結(jié)了不確定性和非線性有限元模型修正方法。土木工程結(jié)構(gòu)龐大而損傷往往發(fā)生在局部區(qū)域，針對(duì)大型土木工程有限元模型修正效率低的難題，詳細(xì)闡述了子結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法，并介紹了適合于土木結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的正向子結(jié)構(gòu)方法和逆向子結(jié)構(gòu)方法。主要結(jié)論如下：

(1)基于有限元模型修正的損傷識(shí)別方法計(jì)算過程直觀、物理意義明確，能同步識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度，是一種直接、有效的土木工程損傷識(shí)別技術(shù)。然而，土木工程有限元模型包含大量節(jié)點(diǎn)、單元和待修正參數(shù)，大型結(jié)構(gòu)有限元模型修正效率極低，甚至無法完成。

(2)土木工程尺寸龐大而損傷通常發(fā)生在局部區(qū)域，子結(jié)構(gòu)方法將對(duì)整體結(jié)構(gòu)的分析轉(zhuǎn)換為對(duì)獨(dú)立子結(jié)構(gòu)的分析，將耗時(shí)的優(yōu)化計(jì)算、不確定性分析和非線性計(jì)算限制在局部子結(jié)構(gòu)內(nèi)，通過局部子結(jié)構(gòu)有限元模型修正實(shí)現(xiàn)損傷識(shí)別，有效提高了損傷識(shí)別的精度和效率，為傳統(tǒng)基于有限元模型修正的損傷識(shí)別技術(shù)開辟了新的途徑。

基于有限元模型修正的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域已經(jīng)取得了較好的理論成果和工程應(yīng)用，多個(gè)結(jié)構(gòu)健康評(píng)估規(guī)范中均規(guī)定結(jié)構(gòu)二次評(píng)估需要實(shí)施基于有限元模型修正的損傷識(shí)別，該方法正在為結(jié)構(gòu)安全評(píng)估提供越來越重要的信息?；谟邢拊Ｐ托拚膿p傷識(shí)別方法與子結(jié)構(gòu)方法、貝葉斯方法、人工智能與大數(shù)據(jù)方法等先進(jìn)方法的深入融合，以及計(jì)算設(shè)備的高速化、智能化，將推動(dòng)土木工程安全評(píng)估進(jìn)一步向高精高效、智能化、信息化的可持續(xù)方向發(fā)展。