帶有記憶項(xiàng)非線性Berger型方程的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為分析

劉琳琳，李正波，范小明

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756）

飛機(jī)在高空高速飛行過程中，機(jī)身表面常常會(huì)遇到不穩(wěn)定氣流從而產(chǎn)生非線性振動(dòng)。Berger型方程就是描述這類問題的偏微分方程。對(duì)于Berger型方程的研究，之前的探索主要關(guān)注于帶有強(qiáng)阻尼g（ut）項(xiàng)的Berger型方程［1-7］，而對(duì)帶有弱阻尼的Berger型方程則涉及較少［8-14］。Jorge等［14］研究了r階延展項(xiàng)并且?guī)в袕?qiáng)阻尼g（ut）的Berger型方程，證明了全局吸引子的存在性。Potomkin［8］研究了帶有記憶項(xiàng)并且延展項(xiàng)為2階的Berger型方程的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為，在此基礎(chǔ)上［8，14］，提出了帶有弱阻尼記憶項(xiàng)以及r階延展項(xiàng)的Berger型方程：

其中延展項(xiàng)T（·），非線性源項(xiàng)f（u）分別為

式中：Ω是R3中邊界充分光滑的有界領(lǐng)域，函數(shù)u（x，t）表示金屬板在x位置、t時(shí)刻的擾度。函數(shù)T（·）用于描述板面的伸縮程度，其中α與板平面上的壓力值成正比，函數(shù)g（s）表示記憶內(nèi)核。同時(shí)這里的邊界條件意味著板的邊緣是絞接的。

利用文獻(xiàn)［13］中的方法引入新變量將非自治動(dòng)力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為自治動(dòng)力系統(tǒng)，通過令v=ut將方程變成一階的微分方程，再運(yùn)用半群方法證明了帶記憶項(xiàng)的Berger型方程的解是適定的，可以生成一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)。將改進(jìn)能量函數(shù)定義為Φ函數(shù)，證明了Φ函數(shù)是一個(gè)嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù)，從而得到Berger型動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)梯度系統(tǒng)。不再沿用傳統(tǒng)方法只關(guān)注單個(gè)軌道，而是借助研究2個(gè)軌道差的方法，證明了帶有記憶項(xiàng)的Berger型動(dòng)力系統(tǒng)在每個(gè)正向不變有界集上是擬穩(wěn)定的，也就得到了動(dòng)力系統(tǒng)是漸近光滑的。再根據(jù)文獻(xiàn)［15］中定理7.5.9，證明了所研究的帶記憶項(xiàng)的Berger型動(dòng)力系統(tǒng)具有緊的全局吸引子A。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明了Berger系統(tǒng)的全局吸引子的分形維數(shù)是有限的。同時(shí)，應(yīng)用插值理論還證明了在拓展相空間中動(dòng)力系統(tǒng)具有有限維的廣義指數(shù)吸引子。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 基本概念、引理

定義1［15］如果X上的有界閉集A滿足：

1）對(duì)于任意t≥0，A為不變集（任意的t≥0，StA=A成立）。

2）A具有一致吸引性；對(duì)于X上全部有界集E滿足

定義2［15］令Z?X是動(dòng)力系統(tǒng)（X，St）上的正向不變集：

1）若Φ（z）是Z一個(gè)的連續(xù)函數(shù)，如果任意的z∈Z，t→Φ（Stz）為非增函數(shù)。

2）任意t＞0，若某些z∈Z，滿足Φ（Stz）=Φ（z）能推出Stz=z，并且z為（X，St）的平衡解，則Φ（z）為嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù)。

3）若在全空間X上動(dòng)力系統(tǒng)（X，St）具有嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù)，則動(dòng)力系統(tǒng)（X，St）為一個(gè)梯度系統(tǒng)。

定義3［15］若nA（·）滿足：

則nA（·）是空間A上的一個(gè)半范數(shù)。如果對(duì)于所有的aj?A，若成立，有則nA（·）是一個(gè)緊的半范數(shù)。

定義4［15］nA（·）是A中緊的半范數(shù)，以及非負(fù)函數(shù)i（t），j（t），k（t）使得以下條件成立：

1）函數(shù)i（t），j（t），k（t）在［0，∞）區(qū)間局部有界。

2）j（t）∈L1（R+）并且limt→∞j（t）=0。

3）對(duì)于任意Z1，Z2∈B，滿足

那么（F，St）在集合B（B?F）上具有擬穩(wěn)定性。

引理1［12］若F為Banach空間，算子L為m-增生算子，對(duì)于任意的z0∈D（A）方程：

存在唯一的經(jīng)典解z使得：z∈C（［0，+∞），D（L））∩C1（［0，∞），F(xiàn)）成立。

引理2［15］若F為一個(gè)Banach空間，若動(dòng)力系統(tǒng)（F，St）在F上的任意正向不變有界集中具有擬穩(wěn)定性質(zhì)，那么（F，St）為一個(gè)漸近光滑動(dòng)力系統(tǒng)。

引理3［15］若動(dòng)力系統(tǒng)（F，St）為Banach空間F上漸近光滑的梯度系統(tǒng)，Φ（z）是定義在F上的Lyapunov函數(shù)。若有以下條件成立：

1）Φ（z）在F中的任意有界子集上有界。

2）對(duì)于任何的R＞0，ΦR（z：Φ（z）≤R）有界。

3）動(dòng)力系統(tǒng)（F，St）的不動(dòng)點(diǎn)集N有界。則（F，St）有緊的全局吸引子。

1.2 基本假設(shè)與工作空間

因?yàn)榉匠讨袔в杏洃涰?xiàng)，所以動(dòng)力系統(tǒng)是非自治的。因此需要通過引入新變量［8，13］把非自治的系統(tǒng)變成自治的系統(tǒng)。令

其中θt（x，0）=0，x∈Ω，t＞0初值為θ0（s）=θ0（s）且θ0（x，s）=u0（0）-u0（s）。

記憶項(xiàng)u滿足：ut=θt+θs。設(shè)有：

為計(jì)算方便?。簂0=1-k，得到如下自治動(dòng)力系統(tǒng)：

其中：

初值條件為

邊值條件為

下面給出方程中各項(xiàng)的假設(shè)。

（A1）非線性源項(xiàng)f（u）的定義與假設(shè)f（0）=0，當(dāng)n≥3時(shí)

并且存在一個(gè)常數(shù)Cf＞0，使得

其中若λ∈［2，3］，Cf=1；λ＞3，。令是一個(gè)R→R的非負(fù)C2函數(shù)，滿足

（A2）可伸縮項(xiàng)T（s2）定義與假設(shè)：令

（A3）記憶內(nèi)核g（s）的定義與假設(shè)：令g（s）是C1（R+）中的非負(fù)函數(shù)，滿足

并且存在一個(gè)正常數(shù)ρ＞0，滿足：

下面給出工作空間的定義：

其中H=H2（Ω）∩H10（Ω），L=L2（Ω），關(guān)于變量θ的加權(quán)空間M為

1.3 能量不等式

為了證明方程解的適定性問題以及動(dòng)力系統(tǒng)具有的梯度性質(zhì)，給出方程組（2）～（4）的能量函數(shù)及其估計(jì)。能量函數(shù)的定義如下：

修正能量函數(shù)為

注：這個(gè)修正的能量函數(shù)就是后面證明中定義的Φ函數(shù)。

引理4對(duì)于任意的t＞0，存在一個(gè)正常數(shù)K＞0，使得下面能量不等式成立：

證明：令

由于H10（Ω）緊嵌入到Lλ（Ω）有

所以

其中c（Ω）是Sobolev嵌入常數(shù)。

蓋碗茶具的出現(xiàn)與飲茶習(xí)俗的變化發(fā)展密不可分，是在中國(guó)古代茶具積淀之上形成的，符合中國(guó)茶事美學(xué)與實(shí)用的茶具。如今，仍以其獨(dú)特的人文屬性及靈活可變的功能形制，在現(xiàn)代茶事活動(dòng)中成為不可或缺的一類茶具。在茶文化大發(fā)展的時(shí)代背景下進(jìn)行概念厘清及發(fā)展梳理，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

因此有：

由式（14）

下面分兩種情況討論能量不等式：

2 Berger系統(tǒng)解的適定性

運(yùn)用半群理論證明方程（2）～（4）的解是適定的，下面借助算子表達(dá)記憶項(xiàng)。令Gθ=-θs，θ∈D（G），因此θt=Gθ+ut，θ（0）=0。對(duì)于任意的θ∈D（G），可知：

在平移半群中，D（G）=｛θ∈M|θs∈M｝為無窮小生成元。下面通過做變換將方程（2）～（4）變?yōu)槌橄蟮目挛鲉栴}。引入新變量：v=ut將方程變換成1階演化方程：

U（t）=（u（t），v（t），θ）∈E是方程（20）的解。其中：

并且

引理5L為m增生算子。

證明：由可知算子L是一個(gè)單調(diào)算子。下面證明算子L是極大算子：給定p*=（u*，v*，θ*）∈E，存在z∈D（L），使得z-Lz=p*成立。那么有

在式（23）中對(duì)s積分，同時(shí)θ（0）=0，有

把式（24）代入式（22）并加上式（21）繼續(xù)進(jìn)行變換則可以寫成：

其中：

由式（25）給出雙線性形式B∶（H20（Ω））×L2（Ω）→R的定義：

因此雙線性B具有連續(xù)性和強(qiáng)制性。由Lax-Milgram定理可證明方程（25）存在唯一的弱解v∈H20（Ω）。下面證明θ∈M，θs∈M：由式23）并結(jié)合θ（x，0）=0，有

根據(jù)記憶內(nèi)核的假設(shè)以及young不等式可知

θ∈M得證。根據(jù)式（23）有

可以證明θs∈M。綜上z∈D（L）為z-Lz=p*的解，引理5得證。

引理6算子F于E中具有局部Lipschitz連續(xù)性。

證明：令D?E，且D是一個(gè)有界集.Ui=（ui，vi，θi）∈D（i=1，2）。

其中

由拉格朗日中值定理：

結(jié)合式（26）（27）有：

由非線性源項(xiàng)的假設(shè)式（5）可知：

定理1若（A1）～（A3）成立，對(duì)任何z0∈E，問題（2）～（4）具有唯一的柔和解z∈C（0，T；E），z（0）=z0，T＞0，使得：

并且解對(duì)初值具有連續(xù)依賴性，若z0∈D（L），能得到強(qiáng)解。

證明：（反證法）假設(shè)問題（2）～（4）的解不是整體存在的。根據(jù)引理1、引理5和引理6可知方程，具有唯一的柔和解。由引理6，方程（20）在［0，T］中存在唯一的局部柔和解。假設(shè)tmax＜∞，有

不妨令z（t）是關(guān)于初值z(mì)0∈D（L）的柔和解。又因?yàn)閦（t）為強(qiáng)解，根據(jù)能量不等式，對(duì)于任意的t≥0有：

根據(jù)稠密性定理，柔和解也滿足式（30），這與式（29）產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立。當(dāng)tmax=∞時(shí)，z（t）為1個(gè)整體解。下面證明柔和解對(duì)初值具有連續(xù)依賴：

對(duì)于任意的T≥0，任意的t∈［0，T］，假設(shè)z1（t）和z2（t）分別為關(guān)于初值z(mì)1（0）和z2（0）的柔和解。因此滿足：

由能量不等式以及引理6有：

由Gronwall不等式有：CT是與初值有關(guān)的常數(shù)，解對(duì)初值的連續(xù)依賴性得證。即證D（L）中的柔和解Z0為一個(gè)強(qiáng)解，因此證明了方程（20）解的適定性。

定義算子族：{S }tt≥0：E→E。根據(jù)定理1，假設(shè)z（t）為方程（20）的解有：

這樣得到1個(gè)在E中具有局部Lipschitz性質(zhì)的C0半群，那么研究動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）的相關(guān)性質(zhì)，即可得到方程（20）的相關(guān)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

3 Berger系統(tǒng)的全局吸引子

3.1 梯度性質(zhì)

定義：

引理7Φ為E上的嚴(yán)格Lyapunov函數(shù)，動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）具有梯度性質(zhì)。

證明：假設(shè)Y?E是動(dòng)力系統(tǒng)上（E，St）一個(gè)正向不變集。任意y=（u0，0，0）∈Y，Sty=（u（t），v（t），θt），根據(jù)式（6）有：

所以對(duì)于任意的y∈E，t→Φ（Sty）是不增的。令y=（u0，0，0）∈E，若對(duì)于所有Φ（Sty）=Φ（y）都成立，則：由式（31）可知：

對(duì)于任意的x∈Ω，θt（x，s）=0又由于θt=Gθ+ut，有ut（x，t）=0因此對(duì)于所有的t≥0，有：u（t）=u0則Sty=y=（u0，0，0）是動(dòng)力系統(tǒng)的平衡解。

引理8方程（2）～（4）的平衡集N為有界集。

證明：令U=（u，0，0）是（E，St）上的一個(gè)平衡解，滿足：

將式（32）與u在Ω上做內(nèi)積得到：

其中C（Ω）為嵌入常數(shù)，因此：

則

引理9動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）的Lyapunov函數(shù)Φ（x）在E的任意有界子集上為有界的；對(duì)于任何R＞0，集合ΦR={ x：Φ（x）≤R} 為有界集。

證明：因?yàn)棣担║（t））=ε（t），所以Φ在E上任意有界子集為有界的。由能量不等式可知：

3.2 漸近光滑與擬穩(wěn)定

引理10若（A1）～（A3）成立，給定集合B?E是正向有界不變集。在問題（2）～（4）中：令z1=（u1（t），v1（t），θ1t）為關(guān)于初值z(mì)10的弱解，z2=（u2（t），v2（t），θ2t）為關(guān)于z20的弱解，則有常數(shù)γ，b0＞0，和取決于B的常數(shù)CB＞0，有：

其中ω（t）=u1（t）-u2（t）。

證明：令θ～=θ1t-θ2t，則（ω，ωt，）是下面問題的一個(gè)弱解。

其中F（u）=f（u1）-f（u2），引理10主要分5步來證明。

步驟1令

將式（36）乘以ωt在Ω上積分得到：

做變形

由Young不等式及H?lder不等式有：

由Gagliardo-Nirenberg插值不等式有：

由H?lder不等式以及拉格朗日中值定理：

因此得到關(guān)于E′ω（t）的估計(jì)：

步驟2令φ1（t）=（ω，ωt）Ω

由H?lder不等式以及Poincare不等式有

由H?lder不等式以及拉格朗日中值定理有

因此有

步驟3令

對(duì)φ2（t）求導(dǎo)，由式（36）中的第2個(gè)方程有：

其中

由Young不等式可知：

步驟4令J（t）=E（t）+ε1φ1（t）+ε2φ2（t）

其中0＜ε1，ε2＜1，則J（t）是想要的Lyapunov函數(shù)。并且存在σ＞0，對(duì)于任意t≥0有下面的估計(jì)成立：

其中σ1=1-σ，σ2=1+σ。

證明：由Young不等式以及Poincare不等式有：

那么存在一個(gè)常數(shù)σ0＞0，使得

令σ1=1-σ0，σ2=1+σ0，σ1，σ2＞0，便得到不等式（45）。

步驟5 證明有非常小的ε＞0，以及與B相關(guān)的正常數(shù)cλ＞0，滿足

證明：根據(jù)步驟4中J（t）的定義知：

根據(jù)式（42）～（44）的估計(jì)有：

結(jié)合式（48），不等式（46）得證。由式（45）以及Gronwall不等式可知：

又因?yàn)棣?E（t）≤J（t）≤σ2E（t）可得：

定理2動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）在E上的任何正向不變有界集B都具有擬穩(wěn)定性。

證明：令X=H2∩H10（Ω），Y=L2（Ω），Z=L2g（R+，H20），則X能夠緊嵌入到Y(jié)中，根據(jù)解對(duì)初值的連續(xù)依賴性，有

有j（t）∈L1（R+），且成立。又因?yàn)锽是E上的有界集，所以k（t）在［0，∞）區(qū)間內(nèi)具有局部有界性。由式（35）可知：

由定義4可知：（E，St）在E上任意一個(gè)正向不變有界集B中都具有擬穩(wěn)定性，從而證明了動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）是漸近光滑的動(dòng)力系統(tǒng)。

定理3（A1）～（A3）成立，動(dòng)力系統(tǒng)（E，S（t））具有緊的全局吸引子，Mu（N）為N傳出的不穩(wěn)定流形。

證明：由引理7能夠證得（E，St）是一個(gè)梯度系統(tǒng)，定理2證得（E，St）是漸近光滑的，根據(jù)引理8可得Φ（x）在E上任意有界子集上具有有界性，同時(shí)ΦR也具有有界性，結(jié)合引理9得到動(dòng)力系統(tǒng)平衡解集N也具有有界性。根據(jù)引理3可知?jiǎng)恿ο到y(tǒng)（E，St）存在緊的全局吸引子。

3.3 有限分形維數(shù)、正則性及廣義指數(shù)吸引子

定義5［15］若X是度量空間，E為X上的一緊集。E的分形維數(shù)定義如下：

其中n（E，r）是能夠覆蓋集合E的閉球的最小個(gè)數(shù)，閉球的直徑為2r。

定義6［15］若A是一個(gè)具有有限分形維數(shù)的正向不變集，并且對(duì)于X上每一個(gè)有界集K，都存在正常數(shù)tK，CK，rK，對(duì)于任意t≥tK滿足：

則X上的緊集Aexp是動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）的慣性流形（分形指數(shù)吸引子）。

定理4 動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）全局吸引子A的分形維數(shù)是有限的。任意屬于A的全軌道{u（t），ut（t），θ（t）：t∈R} 存在如下正則性：

并且對(duì)于R＞0，有：

證明：根據(jù)家理2、定理3可知，吸引子A的分形維數(shù)有限同時(shí)能得到全軌道關(guān)于時(shí)間的正則性。

定義7令A(yù)=-Δ是定義在L2（Ω）上的拉普拉斯算子，D（A）=H2（Ω）∩H10（Ω）

刻度空間：

定義空間：

當(dāng)t≤s時(shí)：Fs可以嵌入到Ft中。

定理5若（A1）～（A3）成立，那么動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）在空間E上存在廣義指數(shù)吸引子。對(duì)于任何γ∈（0，1］，空間E上的廣義指數(shù)吸引子于拓展空間E-γ內(nèi)分形維數(shù)有限。拓展空間定義如下：

證明：令B={ y|Φ（y）≤R}，Φ（·）為引理7所定義的嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù)。對(duì)于足夠大的R，集合B為正向有界不變吸收集，這樣便可得到（E，St）在B內(nèi)具有擬穩(wěn)定性。

下面分2種情況討論拓展空間中廣義指數(shù)吸引子的存在性。

1）當(dāng)γ=1時(shí)

B是正向不變有界吸收集，關(guān)于初值φ0=（u0，v0，θt0）的一個(gè)解φ（t），由式（20）知存在一個(gè)CB＞0對(duì)于任意T＞0，有：

所以對(duì)于任意0≤t1＜t2＜T有：

那么t→Sty于E-1中具有H?lder連續(xù)性。動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）存在分形維數(shù)有限的廣義指數(shù)吸引子。

2）當(dāng)0＜γ＜1時(shí)

由插值不等式，對(duì)于任意的g∈Fm都存在一個(gè)正常數(shù)Cm＞0，（m=0，1，2），滿足

B是半徑為r0的球中的一個(gè)正向不變有界集，φ（t）=（u（t），ut（t），θt）∈B。因此有：

結(jié)合式（55）～（57）有：

因此對(duì)于任意的φ∈B，映射t→Sty于擴(kuò)展空間E-γ內(nèi)具有H?lder連續(xù)性。動(dòng)力系統(tǒng)（E，St）在E-γ中存在廣義指數(shù)吸引子同時(shí)其分形維數(shù)有限。