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      帶有記憶項(xiàng)非線性Berger型方程的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為分析

      2021-03-22 04:27:54劉琳琳李正波范小明
      關(guān)鍵詞:有界初值維數(shù)

      劉琳琳,李正波,范小明

      (西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 611756)

      飛機(jī)在高空高速飛行過程中,機(jī)身表面常常會(huì)遇到不穩(wěn)定氣流從而產(chǎn)生非線性振動(dòng)。Berger型方程就是描述這類問題的偏微分方程。對(duì)于Berger型方程的研究,之前的探索主要關(guān)注于帶有強(qiáng)阻尼g(ut)項(xiàng)的Berger型方程[1-7],而對(duì)帶有弱阻尼的Berger型方程則涉及較少[8-14]。Jorge等[14]研究了r階延展項(xiàng)并且?guī)в袕?qiáng)阻尼g(ut)的Berger型方程,證明了全局吸引子的存在性。Potomkin[8]研究了帶有記憶項(xiàng)并且延展項(xiàng)為2階的Berger型方程的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為,在此基礎(chǔ)上[8,14],提出了帶有弱阻尼記憶項(xiàng)以及r階延展項(xiàng)的Berger型方程:

      其中延展項(xiàng)T(·),非線性源項(xiàng)f(u)分別為

      式中:Ω是R3中邊界充分光滑的有界領(lǐng)域,函數(shù)u(x,t)表示金屬板在x位置、t時(shí)刻的擾度。函數(shù)T(·)用于描述板面的伸縮程度,其中α與板平面上的壓力值成正比,函數(shù)g(s)表示記憶內(nèi)核。同時(shí)這里的邊界條件意味著板的邊緣是絞接的。

      利用文獻(xiàn)[13]中的方法引入新變量將非自治動(dòng)力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為自治動(dòng)力系統(tǒng),通過令v=ut將方程變成一階的微分方程,再運(yùn)用半群方法證明了帶記憶項(xiàng)的Berger型方程的解是適定的,可以生成一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)。將改進(jìn)能量函數(shù)定義為Φ函數(shù),證明了Φ函數(shù)是一個(gè)嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù),從而得到Berger型動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)梯度系統(tǒng)。不再沿用傳統(tǒng)方法只關(guān)注單個(gè)軌道,而是借助研究2個(gè)軌道差的方法,證明了帶有記憶項(xiàng)的Berger型動(dòng)力系統(tǒng)在每個(gè)正向不變有界集上是擬穩(wěn)定的,也就得到了動(dòng)力系統(tǒng)是漸近光滑的。再根據(jù)文獻(xiàn)[15]中定理7.5.9,證明了所研究的帶記憶項(xiàng)的Berger型動(dòng)力系統(tǒng)具有緊的全局吸引子A。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明了Berger系統(tǒng)的全局吸引子的分形維數(shù)是有限的。同時(shí),應(yīng)用插值理論還證明了在拓展相空間中動(dòng)力系統(tǒng)具有有限維的廣義指數(shù)吸引子。

      1 預(yù)備知識(shí)

      1.1 基本概念、引理

      定義1[15]如果X上的有界閉集A滿足:

      1)對(duì)于任意t≥0,A為不變集(任意的t≥0,StA=A成立)。

      2)A具有一致吸引性;對(duì)于X上全部有界集E滿足

      定義2[15]令Z?X是動(dòng)力系統(tǒng)(X,St)上的正向不變集:

      1)若Φ(z)是Z一個(gè)的連續(xù)函數(shù),如果任意的z∈Z,t→Φ(Stz)為非增函數(shù)。

      2)任意t>0,若某些z∈Z,滿足Φ(Stz)=Φ(z)能推出Stz=z,并且z為(X,St)的平衡解,則Φ(z)為嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù)。

      3)若在全空間X上動(dòng)力系統(tǒng)(X,St)具有嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù),則動(dòng)力系統(tǒng)(X,St)為一個(gè)梯度系統(tǒng)。

      定義3[15]若nA(·)滿足:

      則nA(·)是空間A上的一個(gè)半范數(shù)。如果對(duì)于所有的aj?A,若成立,有則nA(·)是一個(gè)緊的半范數(shù)。

      定義4[15]nA(·)是A中緊的半范數(shù),以及非負(fù)函數(shù)i(t),j(t),k(t)使得以下條件成立:

      1)函數(shù)i(t),j(t),k(t)在[0,∞)區(qū)間局部有界。

      2)j(t)∈L1(R+)并且limt→∞j(t)=0。

      3)對(duì)于任意Z1,Z2∈B,滿足

      那么(F,St)在集合B(B?F)上具有擬穩(wěn)定性。

      引理1[12]若F為Banach空間,算子L為m-增生算子,對(duì)于任意的z0∈D(A)方程:

      存在唯一的經(jīng)典解z使得:z∈C([0,+∞),D(L))∩C1([0,∞),F(xiàn))成立。

      引理2[15]若F為一個(gè)Banach空間,若動(dòng)力系統(tǒng)(F,St)在F上的任意正向不變有界集中具有擬穩(wěn)定性質(zhì),那么(F,St)為一個(gè)漸近光滑動(dòng)力系統(tǒng)。

      引理3[15]若動(dòng)力系統(tǒng)(F,St)為Banach空間F上漸近光滑的梯度系統(tǒng),Φ(z)是定義在F上的Lyapunov函數(shù)。若有以下條件成立:

      1)Φ(z)在F中的任意有界子集上有界。

      2)對(duì)于任何的R>0,ΦR(z:Φ(z)≤R)有界。

      3)動(dòng)力系統(tǒng)(F,St)的不動(dòng)點(diǎn)集N有界。則(F,St)有緊的全局吸引子。

      1.2 基本假設(shè)與工作空間

      因?yàn)榉匠讨袔в杏洃涰?xiàng),所以動(dòng)力系統(tǒng)是非自治的。因此需要通過引入新變量[8,13]把非自治的系統(tǒng)變成自治的系統(tǒng)。令

      其中θt(x,0)=0,x∈Ω,t>0初值為θ0(s)=θ0(s)且θ0(x,s)=u0(0)-u0(s)。

      記憶項(xiàng)u滿足:ut=θt+θs。設(shè)有:

      為計(jì)算方便?。簂0=1-k,得到如下自治動(dòng)力系統(tǒng):

      其中:

      初值條件為

      邊值條件為

      下面給出方程中各項(xiàng)的假設(shè)。

      (A1)非線性源項(xiàng)f(u)的定義與假設(shè)f(0)=0,當(dāng)n≥3時(shí)

      并且存在一個(gè)常數(shù)Cf>0,使得

      其中若λ∈[2,3],Cf=1;λ>3,。令是一個(gè)R→R的非負(fù)C2函數(shù),滿足

      (A2)可伸縮項(xiàng)T(s2)定義與假設(shè):令

      (A3)記憶內(nèi)核g(s)的定義與假設(shè):令g(s)是C1(R+)中的非負(fù)函數(shù),滿足

      并且存在一個(gè)正常數(shù)ρ>0,滿足:

      下面給出工作空間的定義:

      其中H=H2(Ω)∩H10(Ω),L=L2(Ω),關(guān)于變量θ的加權(quán)空間M為

      1.3 能量不等式

      為了證明方程解的適定性問題以及動(dòng)力系統(tǒng)具有的梯度性質(zhì),給出方程組(2)~(4)的能量函數(shù)及其估計(jì)。能量函數(shù)的定義如下:

      修正能量函數(shù)為

      注:這個(gè)修正的能量函數(shù)就是后面證明中定義的Φ函數(shù)。

      引理4對(duì)于任意的t>0,存在一個(gè)正常數(shù)K>0,使得下面能量不等式成立:

      證明:令

      由于H10(Ω)緊嵌入到Lλ(Ω)有

      所以

      其中c(Ω)是Sobolev嵌入常數(shù)。

      蓋碗茶具的出現(xiàn)與飲茶習(xí)俗的變化發(fā)展密不可分,是在中國(guó)古代茶具積淀之上形成的,符合中國(guó)茶事美學(xué)與實(shí)用的茶具。如今,仍以其獨(dú)特的人文屬性及靈活可變的功能形制,在現(xiàn)代茶事活動(dòng)中成為不可或缺的一類茶具。在茶文化大發(fā)展的時(shí)代背景下進(jìn)行概念厘清及發(fā)展梳理,具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

      因此有:

      由式(14)

      下面分兩種情況討論能量不等式:

      2 Berger系統(tǒng)解的適定性

      運(yùn)用半群理論證明方程(2)~(4)的解是適定的,下面借助算子表達(dá)記憶項(xiàng)。令Gθ=-θs,θ∈D(G),因此θt=Gθ+ut,θ(0)=0。對(duì)于任意的θ∈D(G),可知:

      在平移半群中,D(G)={θ∈M|θs∈M}為無窮小生成元。下面通過做變換將方程(2)~(4)變?yōu)槌橄蟮目挛鲉栴}。引入新變量:v=ut將方程變換成1階演化方程:

      U(t)=(u(t),v(t),θ)∈E是方程(20)的解。其中:

      并且

      引理5L為m增生算子。

      證明:由可知算子L是一個(gè)單調(diào)算子。下面證明算子L是極大算子:給定p*=(u*,v*,θ*)∈E,存在z∈D(L),使得z-Lz=p*成立。那么有

      在式(23)中對(duì)s積分,同時(shí)θ(0)=0,有

      把式(24)代入式(22)并加上式(21)繼續(xù)進(jìn)行變換則可以寫成:

      其中:

      由式(25)給出雙線性形式B∶(H20(Ω))×L2(Ω)→R的定義:

      因此雙線性B具有連續(xù)性和強(qiáng)制性。由Lax-Milgram定理可證明方程(25)存在唯一的弱解v∈H20(Ω)。下面證明θ∈M,θs∈M:由式23)并結(jié)合θ(x,0)=0,有

      根據(jù)記憶內(nèi)核的假設(shè)以及young不等式可知

      θ∈M得證。根據(jù)式(23)有

      可以證明θs∈M。綜上z∈D(L)為z-Lz=p*的解,引理5得證。

      引理6算子F于E中具有局部Lipschitz連續(xù)性。

      證明:令D?E,且D是一個(gè)有界集.Ui=(ui,vi,θi)∈D(i=1,2)。

      其中

      由拉格朗日中值定理:

      結(jié)合式(26)(27)有:

      由非線性源項(xiàng)的假設(shè)式(5)可知:

      定理1若(A1)~(A3)成立,對(duì)任何z0∈E,問題(2)~(4)具有唯一的柔和解z∈C(0,T;E),z(0)=z0,T>0,使得:

      并且解對(duì)初值具有連續(xù)依賴性,若z0∈D(L),能得到強(qiáng)解。

      證明:(反證法)假設(shè)問題(2)~(4)的解不是整體存在的。根據(jù)引理1、引理5和引理6可知方程,具有唯一的柔和解。由引理6,方程(20)在[0,T]中存在唯一的局部柔和解。假設(shè)tmax<∞,有

      不妨令z(t)是關(guān)于初值z(mì)0∈D(L)的柔和解。又因?yàn)閦(t)為強(qiáng)解,根據(jù)能量不等式,對(duì)于任意的t≥0有:

      根據(jù)稠密性定理,柔和解也滿足式(30),這與式(29)產(chǎn)生矛盾,所以假設(shè)不成立。當(dāng)tmax=∞時(shí),z(t)為1個(gè)整體解。下面證明柔和解對(duì)初值具有連續(xù)依賴:

      對(duì)于任意的T≥0,任意的t∈[0,T],假設(shè)z1(t)和z2(t)分別為關(guān)于初值z(mì)1(0)和z2(0)的柔和解。因此滿足:

      由能量不等式以及引理6有:

      由Gronwall不等式有:CT是與初值有關(guān)的常數(shù),解對(duì)初值的連續(xù)依賴性得證。即證D(L)中的柔和解Z0為一個(gè)強(qiáng)解,因此證明了方程(20)解的適定性。

      定義算子族:{S }tt≥0:E→E。根據(jù)定理1,假設(shè)z(t)為方程(20)的解有:

      這樣得到1個(gè)在E中具有局部Lipschitz性質(zhì)的C0半群,那么研究動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)的相關(guān)性質(zhì),即可得到方程(20)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

      3 Berger系統(tǒng)的全局吸引子

      3.1 梯度性質(zhì)

      定義:

      引理7Φ為E上的嚴(yán)格Lyapunov函數(shù),動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)具有梯度性質(zhì)。

      證明:假設(shè)Y?E是動(dòng)力系統(tǒng)上(E,St)一個(gè)正向不變集。任意y=(u0,0,0)∈Y,Sty=(u(t),v(t),θt),根據(jù)式(6)有:

      所以對(duì)于任意的y∈E,t→Φ(Sty)是不增的。令y=(u0,0,0)∈E,若對(duì)于所有Φ(Sty)=Φ(y)都成立,則:由式(31)可知:

      對(duì)于任意的x∈Ω,θt(x,s)=0又由于θt=Gθ+ut,有ut(x,t)=0因此對(duì)于所有的t≥0,有:u(t)=u0則Sty=y=(u0,0,0)是動(dòng)力系統(tǒng)的平衡解。

      引理8方程(2)~(4)的平衡集N為有界集。

      證明:令U=(u,0,0)是(E,St)上的一個(gè)平衡解,滿足:

      將式(32)與u在Ω上做內(nèi)積得到:

      其中C(Ω)為嵌入常數(shù),因此:

      引理9動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)的Lyapunov函數(shù)Φ(x)在E的任意有界子集上為有界的;對(duì)于任何R>0,集合ΦR={ x:Φ(x)≤R} 為有界集。

      證明:因?yàn)棣担║(t))=ε(t),所以Φ在E上任意有界子集為有界的。由能量不等式可知:

      3.2 漸近光滑與擬穩(wěn)定

      引理10若(A1)~(A3)成立,給定集合B?E是正向有界不變集。在問題(2)~(4)中:令z1=(u1(t),v1(t),θ1t)為關(guān)于初值z(mì)10的弱解,z2=(u2(t),v2(t),θ2t)為關(guān)于z20的弱解,則有常數(shù)γ,b0>0,和取決于B的常數(shù)CB>0,有:

      其中ω(t)=u1(t)-u2(t)。

      證明:令θ~=θ1t-θ2t,則(ω,ωt,)是下面問題的一個(gè)弱解。

      其中F(u)=f(u1)-f(u2),引理10主要分5步來證明。

      步驟1令

      將式(36)乘以ωt在Ω上積分得到:

      做變形

      由Young不等式及H?lder不等式有:

      由Gagliardo-Nirenberg插值不等式有:

      由H?lder不等式以及拉格朗日中值定理:

      因此得到關(guān)于E′ω(t)的估計(jì):

      步驟2令φ1(t)=(ω,ωt)Ω

      由H?lder不等式以及Poincare不等式有

      由H?lder不等式以及拉格朗日中值定理有

      因此有

      步驟3令

      對(duì)φ2(t)求導(dǎo),由式(36)中的第2個(gè)方程有:

      其中

      由Young不等式可知:

      步驟4令J(t)=E(t)+ε1φ1(t)+ε2φ2(t)

      其中0<ε1,ε2<1,則J(t)是想要的Lyapunov函數(shù)。并且存在σ>0,對(duì)于任意t≥0有下面的估計(jì)成立:

      其中σ1=1-σ,σ2=1+σ。

      證明:由Young不等式以及Poincare不等式有:

      那么存在一個(gè)常數(shù)σ0>0,使得

      令σ1=1-σ0,σ2=1+σ0,σ1,σ2>0,便得到不等式(45)。

      步驟5 證明有非常小的ε>0,以及與B相關(guān)的正常數(shù)cλ>0,滿足

      證明:根據(jù)步驟4中J(t)的定義知:

      根據(jù)式(42)~(44)的估計(jì)有:

      結(jié)合式(48),不等式(46)得證。由式(45)以及Gronwall不等式可知:

      又因?yàn)棣?E(t)≤J(t)≤σ2E(t)可得:

      定理2動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)在E上的任何正向不變有界集B都具有擬穩(wěn)定性。

      證明:令X=H2∩H10(Ω),Y=L2(Ω),Z=L2g(R+,H20),則X能夠緊嵌入到Y(jié)中,根據(jù)解對(duì)初值的連續(xù)依賴性,有

      有j(t)∈L1(R+),且成立。又因?yàn)锽是E上的有界集,所以k(t)在[0,∞)區(qū)間內(nèi)具有局部有界性。由式(35)可知:

      由定義4可知:(E,St)在E上任意一個(gè)正向不變有界集B中都具有擬穩(wěn)定性,從而證明了動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)是漸近光滑的動(dòng)力系統(tǒng)。

      定理3(A1)~(A3)成立,動(dòng)力系統(tǒng)(E,S(t))具有緊的全局吸引子,Mu(N)為N傳出的不穩(wěn)定流形。

      證明:由引理7能夠證得(E,St)是一個(gè)梯度系統(tǒng),定理2證得(E,St)是漸近光滑的,根據(jù)引理8可得Φ(x)在E上任意有界子集上具有有界性,同時(shí)ΦR也具有有界性,結(jié)合引理9得到動(dòng)力系統(tǒng)平衡解集N也具有有界性。根據(jù)引理3可知?jiǎng)恿ο到y(tǒng)(E,St)存在緊的全局吸引子。

      3.3 有限分形維數(shù)、正則性及廣義指數(shù)吸引子

      定義5[15]若X是度量空間,E為X上的一緊集。E的分形維數(shù)定義如下:

      其中n(E,r)是能夠覆蓋集合E的閉球的最小個(gè)數(shù),閉球的直徑為2r。

      定義6[15]若A是一個(gè)具有有限分形維數(shù)的正向不變集,并且對(duì)于X上每一個(gè)有界集K,都存在正常數(shù)tK,CK,rK,對(duì)于任意t≥tK滿足:

      則X上的緊集Aexp是動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)的慣性流形(分形指數(shù)吸引子)。

      定理4 動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)全局吸引子A的分形維數(shù)是有限的。任意屬于A的全軌道{u(t),ut(t),θ(t):t∈R} 存在如下正則性:

      并且對(duì)于R>0,有:

      證明:根據(jù)家理2、定理3可知,吸引子A的分形維數(shù)有限同時(shí)能得到全軌道關(guān)于時(shí)間的正則性。

      定義7令A(yù)=-Δ是定義在L2(Ω)上的拉普拉斯算子,D(A)=H2(Ω)∩H10(Ω)

      刻度空間:

      定義空間:

      當(dāng)t≤s時(shí):Fs可以嵌入到Ft中。

      定理5若(A1)~(A3)成立,那么動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)在空間E上存在廣義指數(shù)吸引子。對(duì)于任何γ∈(0,1],空間E上的廣義指數(shù)吸引子于拓展空間E-γ內(nèi)分形維數(shù)有限。拓展空間定義如下:

      證明:令B={ y|Φ(y)≤R},Φ(·)為引理7所定義的嚴(yán)格的Lyapunov函數(shù)。對(duì)于足夠大的R,集合B為正向有界不變吸收集,這樣便可得到(E,St)在B內(nèi)具有擬穩(wěn)定性。

      下面分2種情況討論拓展空間中廣義指數(shù)吸引子的存在性。

      1)當(dāng)γ=1時(shí)

      B是正向不變有界吸收集,關(guān)于初值φ0=(u0,v0,θt0)的一個(gè)解φ(t),由式(20)知存在一個(gè)CB>0對(duì)于任意T>0,有:

      所以對(duì)于任意0≤t1<t2<T有:

      那么t→Sty于E-1中具有H?lder連續(xù)性。動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)存在分形維數(shù)有限的廣義指數(shù)吸引子。

      2)當(dāng)0<γ<1時(shí)

      由插值不等式,對(duì)于任意的g∈Fm都存在一個(gè)正常數(shù)Cm>0,(m=0,1,2),滿足

      B是半徑為r0的球中的一個(gè)正向不變有界集,φ(t)=(u(t),ut(t),θt)∈B。因此有:

      結(jié)合式(55)~(57)有:

      因此對(duì)于任意的φ∈B,映射t→Sty于擴(kuò)展空間E-γ內(nèi)具有H?lder連續(xù)性。動(dòng)力系統(tǒng)(E,St)在E-γ中存在廣義指數(shù)吸引子同時(shí)其分形維數(shù)有限。

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      一種適用于平動(dòng)點(diǎn)周期軌道初值計(jì)算的簡(jiǎn)化路徑搜索修正法
      一類齊次Moran集的上盒維數(shù)
      一類具低階項(xiàng)和退化強(qiáng)制的橢圓方程的有界弱解
      三維擬線性波方程的小初值光滑解
      淺談?wù)?xiàng)有界周期數(shù)列的一些性質(zhì)
      關(guān)于齊次Moran集的packing維數(shù)結(jié)果
      涉及相變問題Julia集的Hausdorff維數(shù)
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