變壓器的原、副線圈電壓關(guān)系及微觀解釋

蘭婧

摘? ?要：文章從能量角度出發(fā)，通過解析推導(dǎo)的方法，說明了原線圈輸入電壓和原線圈感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的近似相等關(guān)系，從微觀上推導(dǎo)得到了原、副線圈輸入電壓和輸出電壓的關(guān)系，并介紹了一種處理電路中載流子能量問題的等效方法。

關(guān)鍵詞：變壓器;原、副線圈;電壓;微觀解釋;動(dòng)能定理

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）10-0061-3

1? ? 綜述

在中學(xué)物理教學(xué)中，對(duì)變壓器的講解雖然簡(jiǎn)單，但其中涉及到很多難點(diǎn)，對(duì)這些難點(diǎn)，一些文章給出了解答和討論，例如：變壓器的原理、難點(diǎn)和誤區(qū)的解讀[1-2]，電壓、電流的相位關(guān)系[3-4]，非正弦式輸入電壓的討論[5];此外，還有文章討論了一些高考題、練習(xí)題的解答范例和解題方法[6-9]。這些文章為中學(xué)生和教師提供了很好的啟發(fā)。雖然目前對(duì)變壓器原理的研究已經(jīng)十分成熟，但類似上述適合中學(xué)生和教師閱讀的文獻(xiàn)還較少，尤其是對(duì)變壓器原、副線圈電壓關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)，還鮮有文章探討。多數(shù)中學(xué)物理文獻(xiàn)中都通過磁路中磁通量變化推導(dǎo)了原、副線圈感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之比，然而，這不能直接得到輸入電壓和輸出電壓之比，原因在于原線圈的輸入電壓和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)關(guān)系并未說明，副線圈同理。本文將對(duì)上述問題進(jìn)行討論。

2? ? 原、副線圈的電壓關(guān)系

考慮無內(nèi)阻、無漏磁、鐵芯內(nèi)部無渦流損耗、線圈感抗無限大的理想變壓器，將原、副線圈的匝數(shù)分別記為N1、N2，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小分別記為ε1和ε2，ε0為發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)，如圖1所示。變壓器輸入端、輸出端電路獨(dú)立，但由于磁場(chǎng)被限制在鐵芯中，原、副線圈被關(guān)聯(lián)起來。下面分析變壓器原、副線圈電路及二者的關(guān)聯(lián)。

首先分析輸入端電路，如圖2所示。自由電子在導(dǎo)線中定向移動(dòng)形成電流，為討論方便，下文將自由電子簡(jiǎn)稱為電子。不失一般性，可設(shè)導(dǎo)線中的電子均勻排布成一列，每個(gè)電子帶電量為q。在某時(shí)刻t，輸入端導(dǎo)線中的電子排布如圖2所示，各電子分別記為m1，m2，…，mn-1，mn。在沿電流方向建立自然坐標(biāo)系后，各電子位置分別記為r1，r2，…，rn-1，rn。

設(shè)經(jīng)過一段時(shí)間Δt后，m1從r1向前運(yùn)動(dòng)至r2處，m2從r2運(yùn)動(dòng)至r3處，……，mn-1從rn-1運(yùn)動(dòng)至rn處，mn從rn運(yùn)動(dòng)至r1處，即：由m1，m2，…，mn-1，mn構(gòu)成的電子鏈整體向前推進(jìn)Δr=r2-r1，將此過程記為過程1。

先來說明Δt時(shí)間內(nèi)電路狀態(tài)近似不變。對(duì)一般金屬，自由電子濃度約為n=1028 /m3[10]，在電流密度大小約為10 A/mm2時(shí)，根據(jù)電流微觀解釋容易算出自由電子定向移動(dòng)平均速度大小約為10-4 m/s[10]。若設(shè)任意兩個(gè)相鄰電子間距為2a，則可認(rèn)為每個(gè)電子占據(jù)半徑為a的球形空間，且按密堆形式分布，如圖3所示。

容易知道，每個(gè)電子占據(jù)空間為

由于此種結(jié)構(gòu)無法完全占據(jù)空間，則由電子濃度可計(jì)算出每個(gè)電子占據(jù)空間不大于

故任意相鄰兩電子的間距不大于

此即Δr，據(jù)此易得Δt約為10-6 s，為50 Hz交流電周期的萬分之五，故可認(rèn)為此段時(shí)間內(nèi)電路狀態(tài)不變，即電路中的電壓、電動(dòng)勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度等為常量。

為了將過程1中的非靜電力、靜電力、渦旋電場(chǎng)力做功與ε0、ε1聯(lián)系，需要將過程1等效為以下過程：某一個(gè)電子在過程1中相同的非靜電力、靜電力、渦旋電場(chǎng)力作用下，繞回路一周回到初始點(diǎn)。不失一般性，可設(shè)這個(gè)電子為m1?？扇缟系刃У脑蛉缦拢哼^程1中，m1從r1到r2，與此同時(shí)m2從r2到r3，m3，m4，…，mn以此類推。由于各電子是全同的，故m2在外力作用下從r2到r3，與m1在相同外力作用下從r2到r3無異。對(duì)m3，m4，…，mn重復(fù)同樣步驟，可得上述結(jié)論。為討論方便，將“在與過程1中相同的非靜電力、靜電力、渦旋電場(chǎng)力作用下，m1繞回路一周回到初始點(diǎn)”記為過程2。根據(jù)上述討論易知，過程1中非靜電力、靜電力、渦旋電場(chǎng)力對(duì)所有電子做的總功，等于非靜電力、靜電力、渦旋電場(chǎng)力在過程2中對(duì)一個(gè)電子做的總功。

在過程2中，一個(gè)電子經(jīng)過發(fā)電機(jī)時(shí)，非靜電力對(duì)它做正功，大小為其電量q與發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)的乘積qε0;當(dāng)它經(jīng)過原線圈時(shí)，根據(jù)楞次定律，渦旋電場(chǎng)力對(duì)它做負(fù)功，大小為qε1。過程2中雖可能存在靜電場(chǎng)做功，但由于靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，故一周后靜電場(chǎng)對(duì)電子做功為零，因此過程2中外力對(duì)一個(gè)自由電子做的總功為qε0-qε1。由于上文已說明過程2與過程1等效，故過程1中外力對(duì)整個(gè)電子鏈做的總功也為qε0-qε1。因此在過程1中，對(duì)所有電子，由動(dòng)能定理可得：

電子鏈總動(dòng)能變化量ΔEk為：

其中，N為導(dǎo)線中定向移動(dòng)的自由電子總數(shù)?？紤]半徑為r、長(zhǎng)為l、自由電子濃度為n的導(dǎo)線，當(dāng)其中自由電子速度由v0變?yōu)関0+Δv時(shí)，動(dòng)能變化量為：

根據(jù)上述討論可知電流密度為10 A/mm2的電子定向移動(dòng)平均速度大小約為10-4 m/s，對(duì)長(zhǎng)為103 m，半徑為10-3 m的導(dǎo)線，代入數(shù)據(jù)后可作出動(dòng)能變化量大小隨速度變化大小關(guān)系圖，如圖4所示。

上文已經(jīng)論述了過程1持續(xù)時(shí)間極短，速度變化極小。由圖4可見，即使電子速度增大103倍，即電流密度增大103倍時(shí)，動(dòng)能變化量大小約為10-6 J，遠(yuǎn)小于上述Δt內(nèi)的變壓器輸入能量和輸出能量，故一般情況下電子的動(dòng)能變化量可忽略，則（4）式變?yōu)椋?/p>

即發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)和原線圈感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等大。

需要說明的是，上述討論只是將過程1等效為過程2，目的在于通過過程2將過程1中的功與電動(dòng)勢(shì)ε0、ε1聯(lián)系，從而用ε0、ε1表示過程1中的功，實(shí)際上過程2并未發(fā)生，因?yàn)殡娮訜o法在萬分之五的周期內(nèi)沿回路繞行一周。對(duì)任意ε0、ε1，重復(fù)上述過程都可得（8）式，不再贅述。若發(fā)電機(jī)無內(nèi)阻，則原線圈輸入電壓U1在數(shù)值上也為ε0[11]，故有

下面討論副線圈。如圖5所示，副線圈中的渦旋電場(chǎng)力為電子提供動(dòng)力，負(fù)載電阻中的晶格提供阻力。副線圈中電子受力分析、能量轉(zhuǎn)化、生熱等問題，本質(zhì)上是渦旋電場(chǎng)中的電路問題，文章《對(duì)渦旋電場(chǎng)力做功及渦旋電場(chǎng)中電路的討論》[11]中已有清晰解釋，此文雖只討論了單匝線圈，但對(duì)變壓器的多匝副線圈并無本質(zhì)區(qū)別。故在副線圈無內(nèi)阻時(shí)，應(yīng)有：

最后討論原、副線圈中的電壓關(guān)系。眾所周知，對(duì)無漏磁的變壓器，穿過原、副線圈的磁通量完全相同，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得：

即原線圈與副線圈輸入、輸出電壓比等于原、副線圈匝數(shù)比。

3? ? 總? 結(jié)

本文從微觀層面，運(yùn)用動(dòng)能定理嚴(yán)格推導(dǎo)得到下面2個(gè)結(jié)論：

（1）原線圈輸入能量用以克服原線圈渦旋電場(chǎng)力做功及轉(zhuǎn)化為電子動(dòng)能，但一般情況電子動(dòng)能及變化可忽略，原線圈輸入電壓與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等大。

（2）對(duì)變壓器原、副線圈電壓比的一般推導(dǎo)方法進(jìn)行修正，介紹了一種更加嚴(yán)格的變壓器原、副線圈電壓比的推導(dǎo)方法。

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（欄目編輯? ? 羅琬華）

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