數(shù)學(xué)問題解決素養(yǎng)的生成與培育

摘? ?要

指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問題解決能力有其深刻的內(nèi)涵特質(zhì)，采用概念分析與跨學(xué)科視野，建構(gòu)了問題解決素養(yǎng)生成的獨(dú)特邏輯，心理認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)科特征則是問題解決素養(yǎng)生成的客觀邏輯基礎(chǔ)。從學(xué)習(xí)論的視域入手，提出了學(xué)習(xí)范式的深度融合和學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化創(chuàng)設(shè)等兩類培育路徑。

關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)素養(yǎng)? 問題解決? 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)? 生成邏輯

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育離不開問題解決能力的提升。波利亞指出，問題解決是人類特有的智慧成就和心理活動(dòng)，他將問題界定為人類面臨的某種困難或障礙，解決問題就是尋找恰當(dāng)路徑，繞過障礙或克服困難，從而達(dá)到理想的目的[1]。在數(shù)學(xué)教育中，問題解決是教與學(xué)的核心活動(dòng)。曹才翰等人認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育研究強(qiáng)調(diào)“問題解決”是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和學(xué)習(xí)過程的回歸，是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的一種形式[2]。我國(guó)新修訂的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）首次提出了“四能”課程目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力[3]。那么，指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問題解決的內(nèi)涵特征是什么？它又是如何生成以及如何培育的？本文從學(xué)習(xí)論視角出發(fā)，通過厘清問題解決素養(yǎng)的內(nèi)涵與邊界，探究其生成與培育的內(nèi)在機(jī)理與邏輯。

一、指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問題解決

1.數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵的動(dòng)態(tài)發(fā)展歷程

源于對(duì)提升青少年基本素質(zhì)和現(xiàn)代公民素質(zhì)的訴求，西方國(guó)家于20世紀(jì)70年代正式提出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的概念。在國(guó)際上比較有影響力的組織團(tuán)體均對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展及測(cè)評(píng)提出各自標(biāo)準(zhǔn)，國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）、國(guó)際中學(xué)數(shù)學(xué)教育評(píng)估（KASSEL）、全美教育進(jìn)步評(píng)價(jià)（NAPE）、國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)的學(xué)習(xí)趨勢(shì)（TIMSS）等測(cè)評(píng)體系在世界范圍內(nèi)產(chǎn)生了重要影響。我國(guó)于2011年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)對(duì)培養(yǎng)青少年綜合素質(zhì)的重要貢獻(xiàn)[4]。數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是單個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)技能和思維方法的疊加，它是一個(gè)多維度、多元化、動(dòng)態(tài)發(fā)展的綜合體，并隨著時(shí)代的變化而發(fā)生變化。TIMSS特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的認(rèn)知能力，它跟數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)一同構(gòu)成區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)類屬的維度。PISA強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的問題情境，包括生活情境、學(xué)科情境、職業(yè)情境、個(gè)人情境以及社會(huì)人文情境等，且素養(yǎng)孕育于情境之中，將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題的過程就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的過程。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)交流、問題解決以及數(shù)學(xué)觀念的聚合體（見圖1）。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心就是發(fā)展高階思維和問題解決能力，問題解決既是個(gè)體發(fā)展思維的工具，又是認(rèn)知世界的目的。

圖1 數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的五維向度

2.問題解決素養(yǎng)的內(nèi)涵特質(zhì)

問題解決是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要構(gòu)成要素和向度。許多國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確將問題解決能力作為衡量數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的指標(biāo)，它是生長(zhǎng)與建構(gòu)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究會(huì)（MLSC）將數(shù)學(xué)素養(yǎng)界定為個(gè)體的數(shù)學(xué)價(jià)值傾向，是超越了數(shù)學(xué)理解、運(yùn)算、推理以及問題解決能力的聚合[5]。南非的國(guó)家課程報(bào)告將數(shù)學(xué)素養(yǎng)描述為發(fā)展數(shù)字與空間思考能力，學(xué)會(huì)解釋性與批判性觀點(diǎn)，提高解決問題的能力與信心[6]。中國(guó)臺(tái)灣在提升國(guó)民素養(yǎng)專案計(jì)劃報(bào)告中指出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是個(gè)體的數(shù)學(xué)能力和態(tài)度，能辨別社會(huì)與職業(yè)情境中的問題和數(shù)學(xué)的關(guān)系，能夠發(fā)揮數(shù)學(xué)思維方式特長(zhǎng)，在解決問題過程中能夠有效地與他人交流溝通[7]。新加坡的中學(xué)數(shù)學(xué)大綱強(qiáng)調(diào)問題解決是形成與養(yǎng)育數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效路徑[8]。

問題解決是數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵必不可少的一部分，它也是理解數(shù)學(xué)、探究知識(shí)、遷移應(yīng)用、有效使用數(shù)學(xué)原理的橋梁。習(xí)性學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是一種適應(yīng)，大多數(shù)的學(xué)習(xí)行為都是功能性的，為了解決某種問題而產(chǎn)生的[9]。問題解決就是個(gè)體作用于問題情境過程中的一種適應(yīng)性的心理行為反應(yīng)過程，它由某個(gè)特定問題情境引起，個(gè)體應(yīng)用已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)技能，并依據(jù)一定價(jià)值目標(biāo)取向，對(duì)其進(jìn)行系列的認(rèn)知思維操作，最后使得問題得以解決的過程。這個(gè)過程包括了對(duì)問題情境的發(fā)現(xiàn)與識(shí)別、表征與分析、實(shí)施與操作、評(píng)價(jià)與檢驗(yàn)等。數(shù)學(xué)問題得到真實(shí)解決，其本質(zhì)就是引發(fā)和引導(dǎo)個(gè)體心理傾向、能力行為發(fā)生了相對(duì)持久的變化，這種變化是因個(gè)體活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)引發(fā)的，而不是其他生理性或刺激性行為引起的，這正是數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成與建構(gòu)的起點(diǎn)所在。

二、問題解決素養(yǎng)生長(zhǎng)的邏輯基礎(chǔ)

1.基于心理認(rèn)知規(guī)律的生成邏輯

目前，問題解決理論主要涉及了桑代克的試誤說、科勒的頓悟說、西蒙的信息加工說、吉爾福特的智力結(jié)構(gòu)說、弗萊威爾的元認(rèn)知、布魯納的結(jié)構(gòu)主義、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)以及數(shù)學(xué)化。這些理論涉及了問題解決過程中的主要構(gòu)成要素，即動(dòng)機(jī)驅(qū)力、經(jīng)驗(yàn)聯(lián)結(jié)、心理完形、信息加工、智力結(jié)構(gòu)、認(rèn)知的監(jiān)控與調(diào)節(jié)、學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)情境、數(shù)學(xué)建模等。

問題孕育于情境（學(xué)科情境、生活情境、職業(yè)情境、文化情境等），對(duì)問題的感知與發(fā)現(xiàn)是問題解決的前提條件。問題意識(shí)基于個(gè)體的生命需要，它是對(duì)未知世界的好奇、困惑、探索，充滿張力與驅(qū)力。當(dāng)情境空間轉(zhuǎn)換到問題空間后，需要對(duì)問題進(jìn)行描述、界定，即進(jìn)入到問題的表征階段。問題表征需要準(zhǔn)確把握問題的已知條件和預(yù)設(shè)目標(biāo)，它由有意義的數(shù)學(xué)符號(hào)、圖象表格、邏輯命題構(gòu)成，即符號(hào)表征、圖表表征、命題表征。

問題的存在是因?yàn)楝F(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、已有條件、刺激模式與預(yù)設(shè)目標(biāo)之間存在差距，所以才引起了認(rèn)知的沖突。解決認(rèn)知沖突與矛盾需要選擇可操作的認(rèn)知策略，確定問題解決的備擇策略。一類是層次結(jié)構(gòu)性策略，包括試誤、頓悟（或漸悟）、信息加工、求同求異策略、元認(rèn)知策略等;另一類是學(xué)科認(rèn)知策略，包括知識(shí)遷移、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)化、抽象推理、定量分析、化歸策略、分類討論策略等。通過對(duì)備擇的認(rèn)知策略進(jìn)行實(shí)施與操作，改變問題的初始狀態(tài)，逐步逼近預(yù)設(shè)目標(biāo)狀態(tài)，并在過程中完成策略的調(diào)試、監(jiān)控、檢驗(yàn)、完善等操作。

2.基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的生成邏輯

問題解決作為一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，需要遵循基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和規(guī)律，它是在學(xué)科結(jié)構(gòu)背景下實(shí)施的心智活動(dòng)。問題解決跟數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)觀念構(gòu)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的五維向度，它的生成過程并非是單獨(dú)進(jìn)行的，而是與其他素養(yǎng)交織在一起。問題解決過程涉及到個(gè)體情感感知、問題界定與表征、方法備擇、實(shí)施操作、檢驗(yàn)評(píng)判、素養(yǎng)轉(zhuǎn)化等環(huán)節(jié)，而每個(gè)環(huán)節(jié)都蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)觀念等認(rèn)知以及觀念因素（見表1）。

數(shù)學(xué)思維的主要作用是促進(jìn)學(xué)生自主地形成以數(shù)學(xué)視角觀察問題、思考問題、表達(dá)問題的能力品質(zhì)。在問題解決過程中，數(shù)學(xué)思維主要起到深層次思考、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、批判創(chuàng)新、自我調(diào)節(jié)等功能。相對(duì)于低階思維，它更傾向于發(fā)展學(xué)生的高階思維品質(zhì)，即內(nèi)省思維、創(chuàng)造性思維。數(shù)學(xué)方法涉及了數(shù)學(xué)學(xué)科中的一般方法、特殊方法以及邏輯學(xué)方法。執(zhí)行問題解決策略，尤其是面對(duì)復(fù)雜的問題，往往需要對(duì)問題進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化、重構(gòu)、甚至重新解構(gòu)與表征，這就離不開數(shù)學(xué)方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問題，不斷逼近目標(biāo)，縮小初始目標(biāo)與預(yù)設(shè)目標(biāo)間的距離。數(shù)學(xué)交流是指以數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表、文字等作為語言媒介，以數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)等作為載體，以數(shù)學(xué)信息的提取、加工、交流為目的一種數(shù)學(xué)活動(dòng)。從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)交流是數(shù)學(xué)思維的外在形式，屬于數(shù)學(xué)思維的流動(dòng)。從交流對(duì)象上說，分為外部交互（師生交流、同伴交流）和內(nèi)部交互（自我表達(dá)、內(nèi)?。?。數(shù)學(xué)觀念是學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)的一種基本態(tài)度與看法，對(duì)問題意識(shí)的啟發(fā)、問題方案的表征與分析、策略實(shí)施的自我規(guī)劃與調(diào)控等都有著重要的導(dǎo)向作用。

所以，數(shù)學(xué)思維決定問題解決的心智技能水平，尤其是自主思考能力和推理能力;數(shù)學(xué)方法是問題解決過程中必不可少的認(rèn)知操作門徑和方法策略;數(shù)學(xué)交流有助于提升思維的流暢程度以及交流表達(dá)水平，在問題解決過程中的促進(jìn)人際合作與交往;數(shù)學(xué)觀念是影響問題解決過程中情感與動(dòng)機(jī)的最根本因素。

三、問題解決素養(yǎng)的培育路徑

1.素養(yǎng)培育與學(xué)習(xí)范式的深度融合

從學(xué)習(xí)范式角度看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思維、方法等習(xí)得性與生成性的一種基本意向。即便是同一種數(shù)學(xué)活動(dòng)，在不同的學(xué)習(xí)范式過程中也有著不同的學(xué)習(xí)結(jié)果。問題解決是知識(shí)遷移、創(chuàng)新性思維的表現(xiàn)，它需要結(jié)合恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)范式才能取得相應(yīng)的成效以及心理發(fā)展。高翔、徐斌艷等人研究結(jié)果證實(shí)問題解決需要提升個(gè)體的深層次思維與數(shù)學(xué)表達(dá)能力[10]。

培育個(gè)體的問題解決素養(yǎng)，就是根據(jù)個(gè)體的實(shí)際情況，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育與相應(yīng)的學(xué)習(xí)范式進(jìn)行深度的融合。自主學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、個(gè)性化學(xué)習(xí)的共同特征（交集）就是充分發(fā)揮個(gè)體的主體性，強(qiáng)調(diào)個(gè)體學(xué)習(xí)的自我建構(gòu)、自我規(guī)劃。這對(duì)培育個(gè)體的數(shù)學(xué)問題意識(shí)（發(fā)現(xiàn)問題和提出問題）具有重要作用，也是這些學(xué)習(xí)范式的精髓所在。合作學(xué)習(xí)有利于開展同伴學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)交流能力。深度學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)是發(fā)展數(shù)學(xué)思維，特別是高階思維，有效地提升個(gè)體分析、解決數(shù)學(xué)問題能力。

2.素養(yǎng)培育與學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

學(xué)科結(jié)構(gòu)和已有經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，學(xué)習(xí)目標(biāo)、內(nèi)容、進(jìn)度等要素需要聯(lián)結(jié)學(xué)科結(jié)構(gòu)和已有經(jīng)驗(yàn)。培育個(gè)體的問題解決素養(yǎng)，需要重新組織、轉(zhuǎn)換、建構(gòu)恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是基于學(xué)生的學(xué)情和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)創(chuàng)建的，它是學(xué)習(xí)過程中的各個(gè)要素的有機(jī)結(jié)合，有利于個(gè)體的知、情、意、行的協(xié)調(diào)發(fā)展。問題素養(yǎng)培育與學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)具有一定的因果邏輯生成關(guān)系。數(shù)學(xué)知識(shí)技能只有融入數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系中才能更好地意義建構(gòu)和理解，知識(shí)的建構(gòu)與理解只有促進(jìn)個(gè)體心理發(fā)生比較持久的變化才能使得知識(shí)技能得以鞏固。

培育問題解決素養(yǎng)的學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，聯(lián)結(jié)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)進(jìn)度、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)資源、學(xué)習(xí)環(huán)境等要素。這種學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)需要有效聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)主體與學(xué)習(xí)客體的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與環(huán)境的聯(lián)系[11]。學(xué)習(xí)客體包括學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)習(xí)材料（數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)資源）。問題解決活動(dòng)就是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的載體，搭建學(xué)習(xí)主體與客體交互的平臺(tái)，它貫穿于整個(gè)學(xué)習(xí)過程中。其中學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)進(jìn)度、學(xué)習(xí)方式等是調(diào)節(jié)、監(jiān)控學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)主體狀態(tài)的重要維度。問題解決素養(yǎng)的生成則是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果和學(xué)習(xí)表現(xiàn)。

綜上所述，問題解決是數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的核心，它不僅是一項(xiàng)智能活動(dòng)，還是個(gè)體建構(gòu)能力素養(yǎng)生成和心理認(rèn)知發(fā)展的過程。深入探究問題解決素養(yǎng)的培育路徑，不但能夠促進(jìn)人們深度認(rèn)識(shí)問題解決素養(yǎng)形成的內(nèi)在機(jī)理，而且為深入分析與建構(gòu)問題解決素養(yǎng)的生成路徑創(chuàng)建必要的理論底蘊(yùn)。

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