間歇微量進(jìn)給3D打印平臺設(shè)計(jì)與進(jìn)給誤差分析*

趙永強(qiáng) 李瑞超 常向龍 侯紅玲

(①陜西理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西 漢中 723000；②陜西省工業(yè)自動化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 漢中 723000)

3D打印技術(shù)是20世紀(jì)80年代興起的一種新型制造技術(shù)，利用計(jì)算機(jī)圖形處理功能對已有的三維模型進(jìn)行分層切片處理，獲得每一片層的二維平面信息，由此實(shí)現(xiàn)將三維模型轉(zhuǎn)化成具有一定微小厚度的二維層片模型，最后按照二維層片模型將物料逐層堆積成型的一種增材制造技術(shù)[1]。

與傳統(tǒng)的減材制造技術(shù)相比，3D打印技術(shù)具有材料浪費(fèi)少，應(yīng)用范圍廣，成型速度快等優(yōu)點(diǎn)，適合單件或小批量物件的快速制造，尤其適用于空腔模型和形狀復(fù)雜的異形結(jié)構(gòu)，具有廣闊的應(yīng)用前景[2]。

3D打印技術(shù)中，由三維模型向二維模型轉(zhuǎn)化的層片化處理技術(shù)和層片厚度是決定3D打印的精度和速度的關(guān)鍵因素[3]。層片厚度小，3D打印的精度高但是效率低。在3D打印中層片的厚度決定于打印設(shè)備的機(jī)械結(jié)構(gòu)及其進(jìn)給精度。為了兼顧打印的精度和效率，不同形式的打印設(shè)備和控制方法層出不窮。

現(xiàn)有3D打印設(shè)備分為龍門式分層進(jìn)給和打印平臺分層進(jìn)給兩種模式。

在龍門式分層進(jìn)給3D打印設(shè)備中，采用三坐標(biāo)控制、懸臂式極坐標(biāo)控制[4]、三角坐標(biāo)控制及機(jī)械臂控制[5]等控制方法。通過打印噴頭相對于打印平臺的垂直進(jìn)給，實(shí)現(xiàn)分層打印、逐層進(jìn)給的效果，同時(shí)要求3D打印噴頭的運(yùn)動精度高[6]，造成了噴頭體積與質(zhì)量大幅增加[7]。而RuiMendes[8]等人采用微流控制方法研究打印噴頭，優(yōu)化了內(nèi)部流場流動，解決了噴頭堵塞問題。

在打印平臺分層進(jìn)給的研究方面，曲興田[9]提出了一種3D打印平臺反轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了無支撐結(jié)構(gòu)的曲面多自由度打印，此外還暫未見其他的相關(guān)報(bào)道。

不完全齒輪傳動的研究方面，劉文禮[10]等人分析了不完全齒輪嚙合軌跡，得到多齒不完全齒輪的各齒嚙合情況。官開才[11]對比分析了緩沖裝置的利弊，提出了通過鎖止弧緩沖裝置減小不完全齒輪傳動過程中的沖擊；湯為光、張小玲等人[12-13]利用調(diào)整齒頂系數(shù)的方法來避免干涉和卡死現(xiàn)象；吳昌林[14]等人通過調(diào)整初始嚙合點(diǎn)位置來調(diào)整傳動誤差，分析不完全齒輪的嚙合軌跡。上述研究中，未涉及傳動齒距誤差累積和因累積誤差而導(dǎo)致不完全齒輪在多次嚙合之后出現(xiàn)的干涉，甚至卡死的隱性故障。

本文根據(jù)打印平臺分層進(jìn)給原理，提出一種單電機(jī)驅(qū)動的3D打印平臺分層間歇進(jìn)給裝置，設(shè)計(jì)了不完全齒輪傳動[15]與絲杠螺母副組合的微距平動進(jìn)給機(jī)構(gòu)。分析了微距平動進(jìn)給機(jī)構(gòu)的運(yùn)動關(guān)系和不完全齒輪傳動的連續(xù)工作條件及傳動誤差累積，得到了避免因傳動誤差累積而造成的機(jī)構(gòu)不能連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)的判斷條件。

1 間歇式微距進(jìn)給3D打印平臺設(shè)計(jì)

如圖1所示的龍門式逐層3D打印機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單，控制、調(diào)節(jié)容易等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代3D打印設(shè)備中成為一種主流結(jié)構(gòu)，占據(jù)著主導(dǎo)地位。

但是因?yàn)槠渲饘舆M(jìn)給精度完全取決于驅(qū)動電機(jī)和傳動元件的精度，打印層的厚度和分層精度很難進(jìn)一步提高。

為此，本文提出了一種單電機(jī)驅(qū)動間歇式微量進(jìn)給的3D打印平臺(如圖2所示)，主動不完全齒輪的一端同軸連接驅(qū)動電機(jī)，另一端的花鍵軸與打印平臺同軸的花鍵孔配合連接，實(shí)現(xiàn)打印平臺相對于驅(qū)動電機(jī)及其不完全齒輪之間的相對移動。驅(qū)動電機(jī)同時(shí)帶動打印平臺和兩對不完全齒輪組轉(zhuǎn)動。兩對不完全齒輪組中的兩個(gè)主動不完全齒輪軸向疊加、對稱布置，分別與兩個(gè)軸向錯(cuò)開的完整齒輪嚙合。兩個(gè)完整齒輪分別帶動一組絲杠螺桿副間歇轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的絲杠帶動與螺母固連的打印平臺間歇微量平動進(jìn)給。

在驅(qū)動電機(jī)和打印平臺移動之間通過不完全齒輪傳動組和絲杠螺母副的組合傳動，利用電機(jī)直驅(qū)控制打印平臺的連續(xù)旋轉(zhuǎn)，不完全齒輪組的間歇運(yùn)動和絲杠螺母副的傳動帶動打印平臺的軸向間歇微距平動進(jìn)給，實(shí)現(xiàn)打印平臺打印完一層的平面任務(wù)之后微量進(jìn)給至下一打印層，最終得到單一電機(jī)驅(qū)動的平面打印和逐層累積的3D打印效果。

2 3D打印平臺的傳動系統(tǒng)設(shè)計(jì)

在圖2所示的單電機(jī)驅(qū)動的間歇式微距進(jìn)給3D打印平臺中，傳動機(jī)構(gòu)分為兩組：一是由不完全齒輪與完整齒輪組成的齒輪組實(shí)現(xiàn)間歇傳動；二是絲杠螺母副實(shí)現(xiàn)運(yùn)動轉(zhuǎn)換和微距平動進(jìn)給。

兩種傳動的設(shè)計(jì)中，絲杠螺母副重點(diǎn)解決絲杠旋轉(zhuǎn)與螺母微距進(jìn)給之間的關(guān)系，而不完全齒輪傳動組需要解決主從動齒輪的嚙合、齒數(shù)配比和傳動比之外，必須避免因傳動誤差累積而造成干涉的隱性難題，這也是本文擬解決的主要問題。本文初步設(shè)計(jì)的3D打印平臺傳動系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 3D打印平臺傳動系統(tǒng)參數(shù)表

2.1 不完全齒輪傳動的設(shè)計(jì)

不完全齒輪傳動屬于間歇機(jī)構(gòu)，參與不完全齒輪傳動的一對齒輪中一個(gè)是完整齒輪，另一個(gè)是不完全齒輪，而不完全齒輪是單齒或者連續(xù)多齒的非完整齒輪。不完全齒輪的傳動關(guān)系如圖3所示，為了實(shí)現(xiàn)無限次的間歇傳動，通常將不完全齒輪作為主動齒輪，而完整齒輪作為從動齒輪。圖3中，從動完整齒輪的齒頂圓半徑ra2、分度圓半徑r2和齒根圓半徑rb2；主動不完全齒輪的齒頂圓半徑ra1、分度圓半徑r1和齒根圓半徑rb1，不完全齒輪傳動的中心距a。

(1)不完全齒輪為單齒齒輪

(2)不完全齒輪為連續(xù)多齒齒輪

因此，不完全齒輪的傳動關(guān)系可表示為：

(1)

2.2 不完全齒輪的傳動比計(jì)算

不完全齒輪傳動的傳動比不能表示為主、從動齒輪的實(shí)際齒數(shù)的比例關(guān)系，只能用主、從動齒輪的轉(zhuǎn)角表示。

(1)單齒不完全齒輪的傳動比

在圖5的坐標(biāo)系xO2y中，

(2)

ra2cosγ2≤x≤ra2cos(γ2-β24)

(3)

式中：β24為完整齒輪的單齒分度角。

根據(jù)余弦定理可得：

(4)

主動不完全齒輪轉(zhuǎn)動一周，從動完整齒輪轉(zhuǎn)過的角度β2m為

(5)

式中：Z1為主動不完全齒輪作為完整齒輪的理論齒數(shù)；Z2為從動完整齒輪的齒數(shù)。

在單次嚙合過程中，主動不完全齒輪的轉(zhuǎn)角β1m為

(6)

單齒不完全齒輪的傳動比為

(7)

(2)連續(xù)雙齒不完全齒輪的傳動比

將連續(xù)雙齒不完全齒輪的傳動關(guān)系簡化放大后如圖6所示。

在圖6中，存在如下關(guān)系：

(8)

(9)

(10)

連續(xù)雙齒不完全齒輪的傳動比中包括了第一齒為單齒的傳動比和第二連續(xù)齒的附加傳動，第二連續(xù)齒的附加傳動轉(zhuǎn)角θ2m為

θ2m=∠N2O2B1-∠N2O2B2

(11)

則連續(xù)雙齒不完全齒輪的傳動中，從動完整齒輪的轉(zhuǎn)角θ為：

θ=β2m+θ2m

(12)

因此，連續(xù)雙齒不完全齒輪的單次傳動中，主、從動齒的嚙入和嚙出關(guān)系分別表示為圖7和圖8。

從圖7和圖8的連續(xù)雙齒不完全齒輪嚙合傳動關(guān)系可見，主動不完全齒輪的轉(zhuǎn)角θ1為：

θ1=β1m+β14

(13)

式中：β14為不完全齒輪的單齒分度角，β1m同式(6)。

因此，連續(xù)雙齒不完全齒輪的傳動比ip2為：

(14)

同理，連續(xù)多齒不完全齒輪的傳動比ipN為

(15)

其中，從動完整齒輪的轉(zhuǎn)角θ為：

θ=β2m+(Z1r-1)θ2m

2.3 不完全齒輪連續(xù)傳動的條件

在不完全齒輪傳動中，首次傳動或者多次傳動之后會出現(xiàn)如圖9所示的干涉，其中首次傳動出現(xiàn)的干涉可以通過裝配調(diào)整解決，而多次嚙合之后因誤差累積出現(xiàn)的干涉將無法保持運(yùn)動連續(xù)。

從動完整齒輪的單次傳動轉(zhuǎn)角θ與完整齒輪的單齒分度角β24的比值記為

(16)

當(dāng)k不等于正整數(shù)時(shí)，則必然存在轉(zhuǎn)角誤差σ，則：

σ=β24(k-int[k])

(17)

式中：int[k]是k的取整函數(shù)；σ為第二次嚙合點(diǎn)相對于首次嚙合點(diǎn)的偏離角度。

在MATLAB軟件中，將齒輪齒數(shù)小于100的不完全齒輪進(jìn)行配對，按照偏離最小齒數(shù)差和最小角度差進(jìn)行尋優(yōu)，得到的比較理想的配對結(jié)果如表2所示。

表2 二次偏離最小誤差及齒輪齒數(shù)匹配關(guān)系

表2中給出了不完全齒輪傳動中相鄰兩次嚙合產(chǎn)生的誤差較小齒數(shù)配對，其中所涉及的相鄰兩次嚙合的誤差值較小，但是在多次嚙合之后的誤差值nσ會存在關(guān)系：

nσ+β21≤β24

(18)

式中：n為主動不完全齒輪轉(zhuǎn)動的圈數(shù)。

式(18)是產(chǎn)生干涉的判斷條件，對于不完全齒輪傳動中產(chǎn)生干涉或卡死現(xiàn)象的調(diào)整方法有兩種：一是采用逐次誤差歸零；二是在多次傳動后的累積誤差歸零，具體的改進(jìn)方法本文暫不探討。

2.4 不完全齒輪連續(xù)傳動的傳動關(guān)系

本文所設(shè)計(jì)的兩個(gè)連續(xù)雙齒不完全齒與上下對稱布置的完整齒輪的嚙合關(guān)系如圖10所示。

電機(jī)帶動不完全齒輪組運(yùn)動一個(gè)周期時(shí)，不完全齒輪組通過絲杠螺母副帶動3D打印平臺的軸向平動位移s1為

(19)

式中：p為絲杠的螺距， mm。

利用MATLAB軟件對x的取值范圍劃分為10萬等分進(jìn)行求解得到最小誤差值σ=1.568 3×10-8rad時(shí)，所對應(yīng)的x取值為20.270 7 mm，根據(jù)表1給出的設(shè)計(jì)參數(shù)，代入式(5)中計(jì)算出當(dāng)主動不完全齒輪旋轉(zhuǎn)一周，從動完整齒輪轉(zhuǎn)過1.256 6 rad，代入式(19)得到當(dāng)打印平臺轉(zhuǎn)動一周時(shí)，沿軸向平動的位移僅為0.2 mm。

3 結(jié)語

本文針對現(xiàn)有噴涂式3D打印機(jī)的運(yùn)動缺陷，提出了一種單電機(jī)驅(qū)動的3D打印平臺，引入了不完全齒輪傳動機(jī)構(gòu)，研究了不完全齒輪連續(xù)傳動的嚙合關(guān)系及其連續(xù)傳動的判斷條件，得到如下結(jié)論：

(1)提出了單電機(jī)驅(qū)動的3D打印平臺的傳動原理，推導(dǎo)了驅(qū)動電機(jī)與打印平臺轉(zhuǎn)動和平動之間的運(yùn)動關(guān)系，驗(yàn)證了單電機(jī)驅(qū)動的3D打印平臺連續(xù)旋轉(zhuǎn)與間歇平動升降的特殊運(yùn)動組合。

(2)通過對不同齒數(shù)的不完全齒輪的傳動情況分析，推導(dǎo)出單次傳動誤差的計(jì)算公式和誤差累積的修正公式，得到了不完全齒輪傳動時(shí)避免干涉或卡死現(xiàn)象的判斷條件，使3D打印平臺能夠連續(xù)穩(wěn)定工作。

(3)在MATLAB中進(jìn)行數(shù)值精確計(jì)算，得到了不完全齒輪在不同實(shí)際齒數(shù)情況下的最小誤差值和主、從動齒輪的齒數(shù)配對關(guān)系，為后期的不完全齒輪組的齒數(shù)配對選型提供參考。