電子凸輪曲線生成及使用方法研究*

黃 迪 黃云鷹 王宇翔

(①沈機(jī)(上海)智能系統(tǒng)研發(fā)設(shè)計有限公司，上海 200041；②沈陽機(jī)床(集團(tuán))有限公司上海研究院，上海200441)

電子凸輪技術(shù)利用伺服電機(jī)系統(tǒng)的受控運(yùn)行來實現(xiàn)機(jī)械凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律。就現(xiàn)有的工程手段而言，電子凸輪系統(tǒng)大多使用電子凸輪表[1]，通過規(guī)定主/從軸相對位移的關(guān)鍵位置控制點(diǎn)來描述預(yù)期的機(jī)械運(yùn)動規(guī)律。該方法對于各個控制點(diǎn)之間的系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律不做描述，工程實踐上大多由各種伺服設(shè)備基于各自的性能自由運(yùn)行實現(xiàn)，另外該方法無法在設(shè)計階段確認(rèn)執(zhí)行系統(tǒng)一定能夠無震蕩連續(xù)運(yùn)行，很多時候存在需要反復(fù)在線調(diào)試的麻煩。

使用電子凸輪曲線則相較于傳統(tǒng)的電子凸輪表可以更容易地設(shè)計出運(yùn)行平滑無沖擊的系統(tǒng)，此外電子凸輪曲線能夠?qū)崿F(xiàn)一定程度的運(yùn)行軌跡控制，能夠完成許多傳統(tǒng)凸輪機(jī)構(gòu)無法實現(xiàn)的復(fù)雜動作。電子凸輪曲線技術(shù)的運(yùn)用依賴于對運(yùn)行曲線的進(jìn)行簡便且良好的描述，機(jī)器人運(yùn)動控制學(xué)當(dāng)中使用高次多項式曲線連接相鄰的路徑點(diǎn)[2]，最終形成軌跡曲線的方法對這一類運(yùn)行軌跡的描述和解算提供了非常好的示范。本文研究了基于多項式連接位置控制點(diǎn)構(gòu)成的實際電子凸輪曲線的算法，對系統(tǒng)運(yùn)行需要的實際控制對象給出了數(shù)學(xué)解算，考慮了實際運(yùn)行系統(tǒng)當(dāng)中從軸平滑耦合到凸輪曲線的問題并給出了解決方案。文章后半部分介紹了基于相關(guān)研究內(nèi)容快速構(gòu)建一套多軸聯(lián)動的同步?jīng)_壓線控制系統(tǒng)的具體應(yīng)用案例。

1 構(gòu)建電子凸輪曲線

按照傳統(tǒng)的電子凸輪表描述主從軸相對位移的思路構(gòu)建坐標(biāo)系[3]，以主軸位置作為坐標(biāo)系的橫軸M；以從軸位置作為坐標(biāo)系的縱軸S，如此則一般凸輪表中的關(guān)鍵位置控制點(diǎn)都可以表達(dá)為該M-S直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)。采用5次多項式[4]曲線逐一連接所有的位置控制點(diǎn)則構(gòu)成了完整的凸輪曲線，如圖1所示。

1.1 求取多項式曲線：

在上述M-S坐標(biāo)系內(nèi)，令有兩控制點(diǎn)A(PMA,PSA)與B(PMB,PSB)，存在5次多項式：

(1)

通過A、B兩點(diǎn)，其中PS為S軸變量，PM為M軸變量,a～f為未知參數(shù)，將PS對PM多次求導(dǎo)，可得：

(2)

(3)

考慮到凸輪系統(tǒng)的從軸位置一定是關(guān)聯(lián)于主軸位置的，此處可定義：

VS為M-S坐標(biāo)系下從軸以主軸位移為參照系的速度；AS為M-S坐標(biāo)系下從軸主軸位移為參照系的加速度；將A、B兩控制點(diǎn)的位置坐標(biāo)值(PMA,PSA)，(PMB,PSB)代入式(1)；同時根據(jù)實際的需要，設(shè)定必要的A、B兩點(diǎn)處的VSA、ASA，VSB，ASB值，分別代入式(2)、(3)，可得到6個聯(lián)立方程組：

考慮軟件實現(xiàn)的方便，此處利用矩陣來求得a～f的解[5]，首先將方程組右側(cè)變量前的系數(shù)提取出組成矩陣M：

方程組左側(cè)的結(jié)果組成矩陣N：

矩陣M的逆矩陣與矩陣N的乘積，這里記作R，顯然：

R=M-1×N

矩陣R為1列6行矩陣，各行的值即為需要求解的式(1)中a～f值，依據(jù)上述的計算方法，即可確定M-S坐標(biāo)系內(nèi)任意兩個相鄰控制點(diǎn)之間5次曲線的描述，進(jìn)而確定M-S坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個電子凸輪曲線的全部描述。

1.2 實際運(yùn)行系統(tǒng)的參照系轉(zhuǎn)換

上述M-S坐標(biāo)系運(yùn)算中，從軸S的速度、加速度的描述是基于主軸M為參照系計算的，實際的運(yùn)行條件下需要將其轉(zhuǎn)換為的真實物理速度和加速度，具體算法如下：

實際運(yùn)行系統(tǒng)的主軸位置PM=f(t)，從軸位置PS=g(t)，即主/從軸的位移是時間t的函數(shù)，顯然基于速度和加速度的物理意義，存在：

將這4個t的函數(shù)代入之前1.1中式(2)、(3)可得：

VSt=VS·VM

(4)

=[g＂(t)f′(t)-g′(t)f＂(t)]/f′(t)3

(5)

通過式(4)、(5)，即可獲得實際運(yùn)行時從軸對應(yīng)于M-S坐標(biāo)系內(nèi)凸輪曲線的實際物理運(yùn)行速度和加速度的數(shù)學(xué)解。

1.3 從軸耦合到凸輪曲線的切入方法：

實際系統(tǒng)的從軸和主軸有時會處于解耦狀態(tài)——比如系統(tǒng)開始上電運(yùn)行之初，此時需要將從軸耦合到預(yù)設(shè)的凸輪曲線上，具體方法為：

系統(tǒng)運(yùn)行的開始時刻，讀取當(dāng)前主軸與從軸的位置(PM0,PS0)作為一個臨時的關(guān)鍵位置控制點(diǎn)P0，并以此臨時構(gòu)建出一條連接預(yù)設(shè)凸輪曲線首個位置控制點(diǎn)P1的5次多項式曲線。解算該曲線需要的主/從軸速度VM、VSt、加速度AM,ASt可以直接從物理驅(qū)動器讀出獲得，按照上述式(2)～(5)解算出M-S坐標(biāo)系內(nèi)的從軸VS、AS，即可完成耦合段多項式的解算。還是以圖1為例子，構(gòu)建出的曲線如圖2所示。

2 用于拉管機(jī)同步?jīng)_壓生產(chǎn)線的實例

實際設(shè)備見圖3。

沖孔機(jī)作為下位機(jī)，不能反向控制拉管機(jī)主軸的出料時間與出料速度，僅能通過其編碼器的值讀到位置信息，因此實際執(zhí)行為跟隨主軸出料長度的追沖的形式[6]。該同步?jīng)_壓生產(chǎn)線中包含三個運(yùn)動軸：

(1)主軸：理解為拉管機(jī)的出料機(jī)構(gòu)，將金屬棒料擠出，主軸為單一方向持續(xù)運(yùn)行。

(2)跟隨軸：推動沖孔軸機(jī)構(gòu)跟隨主軸的運(yùn)行到達(dá)并保持在預(yù)設(shè)位置點(diǎn)的伺服軸，需要往復(fù)運(yùn)行。

(3)沖孔軸：在跟隨軸到達(dá)預(yù)設(shè)的主軸跟隨位置點(diǎn)時執(zhí)行沖孔動作的伺服軸，需要往復(fù)運(yùn)行。

實例中主軸每出料1 200 mm完成一個加工循環(huán)，每次循環(huán)執(zhí)行3個孔的沖孔動作，位置分別在主軸循環(huán)長度的150 mm、510 mm與1 050 mm處。跟隨軸與沖孔軸分別使用各自的凸輪表與主軸同步。

2.1 凸輪表和凸輪曲線設(shè)計實現(xiàn)

圖4～5為隨沖系統(tǒng)兩個伺服軸的電子凸輪曲線的設(shè)計實現(xiàn)，相應(yīng)的表1～2為對應(yīng)軸的凸輪關(guān)鍵位置控制點(diǎn)設(shè)計實現(xiàn)。

表1 跟隨軸凸輪表

表2 沖孔軸凸輪表

3 結(jié)語

本文使用5次多項式生成的電子凸輪曲線可使得伺服電機(jī)系統(tǒng)在運(yùn)行過程中加速度處處可導(dǎo)，大幅度消除了機(jī)械硬性沖擊；實現(xiàn)了運(yùn)行過程中從動軸伺服的關(guān)鍵位置和過程運(yùn)動完全可控。另外在具體的實現(xiàn)方法上，主從軸可動態(tài)耦合和解耦，適應(yīng)更多復(fù)雜場景；可以實現(xiàn)多個從軸耦合于一個主軸進(jìn)而執(zhí)行多軸同步運(yùn)動控制；如有必要還可以進(jìn)一步使用虛擬主軸，完成傳統(tǒng)機(jī)械凸輪系統(tǒng)無法完成的動作。