細(xì)繩牽引條件下二體彈性碰撞的分析與討論

張 孟 陸 慧 吳趙龍 鐘菊花

(1 華東理工大學(xué)物理系,上海,200237)

碰撞是物質(zhì)間作用的常見(jiàn)形式,表現(xiàn)為兩粒子或物體間極短時(shí)間的相互作用,碰撞過(guò)程中伴隨著動(dòng)量、能量和角動(dòng)量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移。因其涉及物理學(xué)中諸多的守恒定律,故碰撞知識(shí)點(diǎn)是高中和大學(xué)物理的重要內(nèi)容?，F(xiàn)有的物理學(xué)教材和文獻(xiàn)對(duì)兩小球的非牽引碰撞做了非常詳盡的討論[1-7],但對(duì)于細(xì)繩牽引條件下的碰撞卻鮮有文獻(xiàn)報(bào)道。文獻(xiàn)[3]以高中物理教學(xué)常用的速度關(guān)聯(lián)方法對(duì)理想剛性細(xì)繩繃直條件下的兩球碰撞問(wèn)題展開(kāi)了多種解法的討論,而文獻(xiàn)[4]從能量角度定性討論了牽引碰撞問(wèn)題,但對(duì)牽引過(guò)程的動(dòng)力學(xué)方程和兩物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化過(guò)程沒(méi)有給出具體的定量分析。為深入研究牽引碰撞的本質(zhì)規(guī)律,本文對(duì)兩小球更為一般的彈性牽引碰撞進(jìn)行分析與討論,細(xì)繩牽引下碰撞過(guò)程模型如下:

如圖1所示,光滑平面上用長(zhǎng)為x0的輕質(zhì)細(xì)繩連接質(zhì)量分別為m1與m2的小球,初始時(shí)細(xì)繩松弛,m1速度大小為v0,m2靜止,細(xì)繩拉緊以后,兩小球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化類似碰撞過(guò)程,故稱為牽引碰撞。

圖1 牽引碰撞示意圖

當(dāng)小球和細(xì)繩均完全無(wú)彈性時(shí),兩小球發(fā)生完全非彈性牽引碰撞,碰撞后兩小球以相同速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)[4]。然而,一般情況下小球和細(xì)繩均具有一定彈性,以下將建立諧振子模型對(duì)彈性牽引碰撞的性質(zhì)進(jìn)行研究。

1 模型建立

為了描述牽引碰撞過(guò)程中小球和細(xì)繩的彈性形變,首先建立簡(jiǎn)諧振子模型代替系統(tǒng)中的彈性部分。該模型清晰直觀,簡(jiǎn)化了彈性牽引碰撞的具體過(guò)程,盡管忽略了細(xì)繩的松弛狀態(tài),但仍可以將牽引碰撞的性質(zhì)闡述清楚。

如圖2所示,該諧振子模型將兩小球發(fā)生彈性牽引碰撞時(shí)未形變的部分看成質(zhì)量分別為m1與m2的剛性物體,而形變部分質(zhì)量很小,可看作輕質(zhì)彈簧(原長(zhǎng)為x0),并假設(shè)回復(fù)力F與形變位移x-x0成正比,又因?yàn)榕鲎策^(guò)程通常存在能量耗散,設(shè)耗散力f與形變速度˙x成正比[2],即

圖2 彈性牽引碰撞的諧振子模型

特別地,若兩小球發(fā)生完全彈性牽引碰撞,則彈簧振子形變過(guò)程中不存在能量的耗散,即γ=0,耗散力為零。除此之外,在非完全彈性牽引碰撞中,γ均不為零,且γ越大表示牽引碰撞中能量耗散越快。阻尼存在時(shí)彈性牽引碰撞的阻尼力如圖3所示。

圖3 阻尼存在時(shí)彈性牽引碰撞的示意圖

為方便分析,進(jìn)一步假設(shè)該模型的初始狀態(tài)為:物體m1以v0速度運(yùn)動(dòng),m2靜止,且彈簧處于原長(zhǎng)x0。以下在該模型的基礎(chǔ)上對(duì)完全彈性牽引碰撞與非完全彈性牽引碰撞進(jìn)行分析討論,且考慮到最終要分析實(shí)驗(yàn)室系中的觀察結(jié)果,故為避免參照系變換引入的麻煩,以下分析直接在實(shí)驗(yàn)室系進(jìn)行計(jì)算。

2 完全彈性牽引碰撞

對(duì)于兩小球的完全彈性牽引碰撞,設(shè)x1與x2分別為物體m1與m2的位置,則根據(jù)動(dòng)量守恒定理與動(dòng)力學(xué)方程,有

分別對(duì)式(3)與式(4)求導(dǎo),并與式(2)聯(lián)立,可得

為求解式(5)的三階常系數(shù)非齊次微分方程,列出其初始條件

進(jìn)一步計(jì)算可以得到兩物體的速度大小v1與v2以及彈簧長(zhǎng)度x隨時(shí)間的變化關(guān)系

采用MATLAB對(duì)上述解析式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和分析,給出兩小球的速度v隨時(shí)間t演化的曲線圖,其中m1=1.5kg,m2=1kg,x0=1m,v0=1m/s,k=0.6N/m。

分析式(8)并對(duì)照?qǐng)D4可知,在完全彈性牽引碰撞中,兩小球的速度隨時(shí)間發(fā)生周期性變化,且諧振子的振動(dòng)永不停止。速度表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)等于質(zhì)心速度,振蕩項(xiàng)符號(hào)相反,即動(dòng)量在兩小球之間不斷地發(fā)生周期性交換;做伽利略變換后,質(zhì)心系中兩物體反相位振動(dòng),因而彈簧長(zhǎng)度以相同頻率周期變化,即能量在動(dòng)能與彈性勢(shì)能之間不斷轉(zhuǎn)化。同時(shí),系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒,總動(dòng)能在諧振子恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)守恒,滿足完全彈性牽引碰撞的要求。

圖4 完全彈性牽引碰撞后兩物體的v-t圖

特別地,當(dāng)小球和細(xì)繩完全失去彈性時(shí),即k→∞,ω→∞,則運(yùn)動(dòng)方程化為

即兩小球以相同速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng),類似完全非彈性牽引碰撞。

3 非完全彈性牽引碰撞

對(duì)于非完全彈性牽引碰撞,γ≠0,則動(dòng)力學(xué)方程式(3)與式(4)應(yīng)修正為

對(duì)式(2)求導(dǎo)可得

分別對(duì)式(10)與式(11)求導(dǎo),并與式(2)、式(12)聯(lián)立,可得三階常系數(shù)非齊次微分方程

同時(shí),初始條件修正為

進(jìn)一步計(jì)算可得

②β=ω時(shí),解得

進(jìn)一步計(jì)算可得

進(jìn)一步計(jì)算可得

分析式(20)可知,當(dāng)形變過(guò)程耗散較慢時(shí),兩物體相對(duì)速度大小與彈簧長(zhǎng)度衰減振蕩,經(jīng)過(guò)更長(zhǎng)時(shí)間后振蕩項(xiàng)才衰減為零,最終兩物體仍以相同速度運(yùn)動(dòng),彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)。

圖5和圖6分別給出了非完全彈性牽引碰撞(β＞ω,β=ω和β＜ω)時(shí)兩物體m1和m2的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)v-t圖。其中m1=1.5kg,m2=1kg,x0=1m,v0=1m/s,k=0.096N/m,γ分別為:0.83N·s/m(β＞ω),0.48N ·s/m (β=ω),0.13N·s/m(β＜ω)。

圖5 非完全彈性牽引碰撞后物體m1的v1-t圖

圖6 非完全彈性牽引碰撞后物體m2的v2-t圖

將圖5和圖6與式(16)、式(18)、式(20)對(duì)照可知,當(dāng)形變過(guò)程耗散較快時(shí),兩物體相對(duì)速度大小與彈簧長(zhǎng)度單調(diào)衰減,且β＞ω時(shí)較β=ω的情況衰減得更快;當(dāng)形變過(guò)程耗散較慢時(shí)(β＜ω),兩物體相對(duì)速度大小與彈簧長(zhǎng)度振蕩衰減。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后兩物體均以相同速度運(yùn)動(dòng),彈簧長(zhǎng)度也均恢復(fù)原長(zhǎng)。

需要指出的是,由于細(xì)繩只有伸長(zhǎng)時(shí)才會(huì)有收縮張力,壓縮時(shí)細(xì)繩變軟,不會(huì)有拉伸的張力,所以嚴(yán)格地說(shuō),本文采取的彈簧振子模型,與細(xì)繩模型還是存在差異的。但從上面討論的結(jié)果來(lái)看,細(xì)繩模型在完全彈性牽引碰撞時(shí)兩小球也做能量不損耗的周期運(yùn)動(dòng),只是每個(gè)周期內(nèi)前半段與后半段運(yùn)動(dòng)不對(duì)稱,一段受到回復(fù)力,另一段細(xì)繩變軟不受力,兩小球會(huì)發(fā)生碰撞,作用效果類似向外的回復(fù)力;非完全彈性牽引碰撞時(shí),阻尼力僅在細(xì)繩拉伸時(shí)存在,壓縮時(shí)同樣不受力,運(yùn)動(dòng)形式也與彈簧振子模型非常相似。因此,在彈簧振子模型基礎(chǔ)上,本文對(duì)細(xì)繩牽引條件下兩體碰撞做了有益的討論和研究。

此外,如果在質(zhì)心系中考慮該問(wèn)題,可以將二體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單體問(wèn)題。以質(zhì)心為原點(diǎn),兩小球的位置分別為與,以完全彈性情況為例,物體m1在質(zhì)心系中的折合質(zhì)量為,列出其相對(duì)于物體m2的動(dòng)力學(xué)方程

由此可以解得相對(duì)位移與相對(duì)速度

兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心系的速度為

因?yàn)樽罱K需要求解實(shí)驗(yàn)室系中兩小球的運(yùn)動(dòng),故需要根據(jù)以下方程組進(jìn)行變換

該結(jié)果與上文中在實(shí)驗(yàn)室系的結(jié)論式(8)相一致。因此,如果讀者對(duì)折合質(zhì)量與參照系變換較熟悉,則在質(zhì)心系中計(jì)算可以相應(yīng)減少數(shù)學(xué)運(yùn)算的復(fù)雜度。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)牽引碰撞采用諧振子模型的分析與討論,可以得到彈性牽引碰撞的具體動(dòng)力學(xué)表達(dá)式和各種性質(zhì):

①兩小球發(fā)生完全彈性牽引碰撞后,總動(dòng)量與總能量均不損失,且諧振子恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)動(dòng)能守恒。式(8)與式(9)表明,兩小球的相對(duì)速度與諧振子長(zhǎng)度發(fā)生周期性變化,永不停止。

②兩小球發(fā)生非完全彈性牽引碰撞后,總動(dòng)量不損失,但總能量減小。式(16)、式(18)與式(20)表明,當(dāng)耗散力較大時(shí),兩小球相對(duì)速度與諧振子長(zhǎng)度不斷衰減,當(dāng)耗散力較小時(shí),兩小球相對(duì)速度與諧振子長(zhǎng)度衰減振蕩,且最終均趨于相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài):兩小球以相同速度運(yùn)動(dòng),彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)。

一般情況下,碰撞總伴隨能量損失,因而非完全彈性牽引碰撞更符合實(shí)際情況。與完全非彈性牽引碰撞類似,非完全彈性牽引碰撞后兩小球以非線性變化方式也趨于以相同速度運(yùn)動(dòng),故文獻(xiàn)[1]～文獻(xiàn)[4]中相關(guān)的習(xí)題解答是合理的。