解兩點(diǎn)邊值問題的一種新方法

張杰華,周實(shí)然

(1.凱里學(xué)院理學(xué)院,貴州 凱里 556011)

(2.凱里學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院,貴州 凱里 556011)

1 引言

隨著微分方程理論的不斷發(fā)展,兩點(diǎn)邊值問題的研究也日益活躍,它在工程力學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制論及生命科學(xué)等領(lǐng)域的許多實(shí)際問題中都有著廣泛的應(yīng)用.有限體積法,又被稱之為廣義差分法、控制體積法,它兼顧了有限差分法和有限元法各自的優(yōu)點(diǎn),是求解偏微分方程的一種有效數(shù)值方法[1].

眾所周知,有限元法及其超收斂理論研究已經(jīng)比較完善[2,3],而有限體積法的研究還不盡人意.關(guān)于求解兩點(diǎn)邊值問題的有限體積法研究,多年來碩果累累.上世紀(jì)八、九年代,學(xué)者們已經(jīng)開始致力于有限體積法的基礎(chǔ)理論研究[4–7].到了本世紀(jì)初,關(guān)于高階有限體積法及其超收斂理論分析的研究,開始逐漸成為關(guān)注的熱點(diǎn),進(jìn)入學(xué)者們的視野[8–15].特別地,文獻(xiàn)[16]證明了線性有限體積法的解與相應(yīng)的有限元法的解具有H1模超逼近性質(zhì).專著[17]給出了兩點(diǎn)邊值問題二階與三階有限體積法的H1模超逼近及其應(yīng)力佳點(diǎn)的超收斂結(jié)論.文獻(xiàn)[18]建立了基于應(yīng)力佳點(diǎn)的三階有限體積法并得到了關(guān)于其導(dǎo)數(shù)誤差估計(jì)的超收斂結(jié)果.文獻(xiàn)[19–21]給出了兩點(diǎn)邊值問題的任意階有限體積法在節(jié)點(diǎn)處與高斯點(diǎn)處的超收斂分析.雖然,大部分的這些研究工作分析了對(duì)應(yīng)的有限體積法的最優(yōu)H1模和L2模誤差估計(jì),給出了應(yīng)力佳點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)誤差估計(jì)以及整體的H1模超收斂結(jié)果,但都很少提及有限體積法的L2模超逼近和超收斂后處理估計(jì).

此外,近年來基于三角形網(wǎng)格剖分的有限體積法研究也取得了突破性的進(jìn)展.文獻(xiàn)[22,23]借助于離散范數(shù)等價(jià),在三角形網(wǎng)格上分析了一類橢圓問題的高階有限體積法的強(qiáng)制性要求.文獻(xiàn)[24]通過選取特殊的三角形對(duì)偶剖分,利用從試驗(yàn)函數(shù)空間到檢驗(yàn)函數(shù)空間的特殊映射,構(gòu)建了與三角形形狀無關(guān)的無條件穩(wěn)定的二階有限體積法.正是這些已有的研究成果啟發(fā)了本文的工作.

本文基于Lagrange二次有限體積法,構(gòu)造求解兩點(diǎn)邊值問題的一種新Lagrange二次數(shù)值方法,得到了新方法的H1模和L2模的超逼近估計(jì).具體地,基于有限體積法[24]構(gòu)造特殊對(duì)偶剖分及其特殊映射的思想,引入從Lagrange二次有限體積法的試驗(yàn)函數(shù)空間到檢驗(yàn)函數(shù)空間的一個(gè)新映射,從而得到求解兩點(diǎn)邊值問題的一種Lagrange二次新數(shù)值方法.此數(shù)值方法在特殊對(duì)偶剖分時(shí)即為L(zhǎng)agrange二次有限體積法.借助于文獻(xiàn)[22,23]中離散等價(jià)范數(shù)的技巧,利用等價(jià)二次型的性質(zhì),本文構(gòu)造了與H1模,H2離散半模等價(jià)的離散范數(shù),證明了對(duì)任意的Lagrange二次對(duì)偶剖分此文的數(shù)值方法均具有最優(yōu)H1模誤差估計(jì).特別地,當(dāng)對(duì)偶剖分單元節(jié)點(diǎn)取為應(yīng)力佳點(diǎn)(Gauss點(diǎn))時(shí),本文分析了新數(shù)值方法的第一型和第二型插值弱估計(jì),從而得到了H1模和L2模的超逼近估計(jì)(第二型插值弱估計(jì)是得到L2模超逼近的關(guān)鍵).對(duì)此特殊對(duì)偶剖分的數(shù)值解作局部二級(jí)插值處理,則可得到新數(shù)值方法的整體H1模和L2模超收斂估計(jì),其收斂階與其對(duì)應(yīng)的二次Lagrange有限元法結(jié)論一致.利用本文的技巧,同樣可分析Lagrange二次有限體積法的超收斂結(jié)論.另外,本文的思想與方法可以擴(kuò)展至高維高階的數(shù)值方法情形.

下一節(jié),本文將給出求解兩點(diǎn)邊值問題的Lagrange二次新數(shù)值方法.第三節(jié)將給出離散范數(shù)等價(jià)估計(jì).第四節(jié)考慮對(duì)任意二次對(duì)偶剖分新數(shù)值方法的最優(yōu)H1模誤差估計(jì).第五節(jié),采用特殊對(duì)偶剖分,分析新數(shù)值方法的第一型及第二型插值弱估計(jì),并證明數(shù)值解的H1模和L2模超逼近估計(jì),以及利用二級(jí)插值處理后的超收斂估計(jì).最后,給出數(shù)值算例,說明本文理論結(jié)果的正確性.

2 新Lagrange二次數(shù)值方法

方程(2.6)即為本文所分析的求解兩點(diǎn)邊值問題的Lagrange二次新數(shù)值方法.

3 等價(jià)范數(shù)

4 H1誤差分析

book=180,ebook=89

5 超收斂估計(jì)

6 算例

本節(jié)給出數(shù)值算例,驗(yàn)證數(shù)值方法(2.6)的有效性及其超逼近,超收斂估計(jì).本文中的所有數(shù)值計(jì)算均是在個(gè)人PC機(jī)上利用Matlab(R2010b)軟件計(jì)算得到.采用GMRES迭代方法求解線性方程組(2.6),取其截?cái)嗾`差為10?10.表格中的,h為單元長(zhǎng)度.

考慮如下兩個(gè)兩點(diǎn)邊值問題.

例 6.1設(shè)方程(2.1)中的p(x)=1,a=0,b=1,其真解為u=exsin(πx)+πex?π,x∈(0,1).顯然有u(0)=u0(1)=0.

例 6.2設(shè)方程 (2.1)中的p(x)=e?πx,a=0,b=1,其真解為u=eπxsin(πx)+πeπx,x∈(0,1).顯然也有u(0)=u0(1)=0.

表1和表2列出了數(shù)值方法(2.6)關(guān)于例6.1的計(jì)算結(jié)果.其中,取參數(shù).從表1的數(shù)值結(jié)果不難發(fā)現(xiàn),數(shù)值方法(2.6)具有最優(yōu)階H1模誤差估計(jì)和H1模,L2模超逼近估計(jì).而表2的數(shù)值結(jié)果顯示,數(shù)值方法(2.6)的解經(jīng)過二級(jí)插值處理之后具有H1模,L2模超收斂結(jié)果.這些數(shù)值結(jié)果與本文的理論結(jié)果相一致,且與相對(duì)應(yīng)的有限元法具有相同的收斂階.

表1 數(shù)值方法(2.6),例6.1,

表1 數(shù)值方法(2.6),例6.1,

N |u?uh|1 Order kΠhu?uhk0 Order kΠhu?uhk1 Order 4 8.02640e-2 - 4.14592e-4 - 5.32098e-3 -8 2.06660e-2 1.957493 2.57620e-5 4.008374 6.68766e-4 2.992119 16 5.20305e-3 1.989832 1.60757e-6 4.002296 8.37055e-5 2.998107 32 1.30303e-3 1.997486 1.00432e-7 4.000587 1.04666e-5 2.999531 64 3.25899e-4 1.999373 6.27605e-9 4.000219 1.30843e-6 2.999883 128 8.14837e-5 1.999843 3.90959e-10 4.004766 1.63557e-7 2.999971

表2 數(shù)值方法(2.6),例6.1,

表2 數(shù)值方法(2.6),例6.1,

N ku?uhk0 Order ku?Π42huhk0 Order ku?Π42huhk1 Order 8 3.99663e-4 - 3.10952e-5 - 1.07284e-3 -16 5.02110e-5 2.992708 1.89730e-6 4.034675 1.27489e-4 3.072983 32 6.28422e-6 2.998199 1.17852e-7 4.008896 1.57213e-5 3.019584 64 7.85772e-7 2.999551 7.35405e-9 4.002295 1.95838e-6 3.004991 128 9.82291e-8 2.999888 4.58286e-10 4.004219 2.44585e-7 3.001254

表3列出了數(shù)值方法(2.6)關(guān)于例6.2的最優(yōu)階H1模誤差估計(jì)和H1模,L2模的超逼近估計(jì).表4列出了數(shù)值方法(2.6)關(guān)于例6.2的H1模,L2模的整體超收斂結(jié)果.其中參數(shù)仍取.其數(shù)據(jù)結(jié)果再次表明,本文采用的數(shù)值方法(2.6)對(duì)變系數(shù)p(x)的兩點(diǎn)邊值問題是有效的,且具有最優(yōu)階H1模誤差估計(jì),H1模和L2模的超逼近及超收斂結(jié)果.

表3 數(shù)值方法(2.6),例6.2,

表3 數(shù)值方法(2.6),例6.2,

N |u?uh|1 Order kΠhu?uhk0 Order kΠhu?uhk1 Order 4 1.62187e+0 - 3.28276e-3 - 5.62933e-2 -8 4.07429e-1 1.993042 1.93032e-4 4.087997 7.01979e-3 3.003463 16 1.01948e-1 1.998712 1.19176e-5 4.017672 8.78792e-4 2.997835 32 2.54924e-2 1.999699 7.42771e-7 4.004036 1.09907e-4 2.999241 64 6.37341e-3 1.999926 4.63899e-8 4.001035 1.37403e-5 2.999796 128 1.59337e-3 1.999982 2.89841e-9 4.000476 1.71760e-6 2.999949

表4 數(shù)值方法(2.6),例6.2,

表4 數(shù)值方法(2.6),例6.2,

N ku?uhk0 Order ku?Π42huhk0 Order ku?Π42huhk1 Order 8 7.86798e-3 - 2.62651e-4 - 1.16978e-2 -16 9.83483e-4 3.000021 1.57159e-5 4.062851 1.37097e-3 3.092966 32 1.22933e-4 3.000028 9.64183e-7 4.026774 1.66284e-4 3.043471 64 1.53665e-5 3.000008 5.99440e-8 4.007619 2.06046e-5 3.012612 128 1.92081e-6 3.000002 3.74103e-9 4.002110 2.56974e-6 3.003273

表5 數(shù)值方法(2.6),例6.2,

表5 數(shù)值方法(2.6),例6.2,

N |u?uh|1 Order kΠhu?uhk0 Order kΠhu?uhk1 Order 4 1.63231e+0 - 3.15357e-2 - 1.80229e-1 -8 4.08929e-1 1.996993 8.58828e-3 1.876545 3.47342e-2 2.375403 16 1.02261e-1 1.999590 2.19802e-3 1.966162 7.97950e-3 2.121986 32 2.55669e-2 1.999908 5.52761e-4 1.991480 1.95022e-3 2.032659 64 6.39183e-3 1.999978 1.38394e-4 1.997868 4.84757e-4 2.008306 128 1.59796e-3 1.999994 3.46114e-5 1.999467 1.21014e-4 2.002086

7 結(jié)論

本文構(gòu)造了求解兩點(diǎn)邊值問題的一種新Lagrange二次數(shù)值方法,利用等價(jià)離散范數(shù)證明了該方法的第一型與第二型弱估計(jì),從而得到該數(shù)值方法的整體H1模和L2模超逼近結(jié)果,其收斂階與對(duì)應(yīng)的有限元法結(jié)果相一致.本文的思想與方法可以擴(kuò)展至高維高階的有限體積法情形.