相互作用勢對(duì)原子核α團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的影響

狄宣平 方德清 何萬兵 馬余剛

1（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海201800）

2（中國科學(xué)院大學(xué) 北京100049）

3（復(fù)旦大學(xué)現(xiàn)代物理研究所教育部核物理與離子束應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海200433）

結(jié)團(tuán)現(xiàn)象在自然界中普遍存在，原子核內(nèi)的團(tuán)簇結(jié)構(gòu)一直都是原子核物理的重要研究方向之一。自從12C 的Hoyle 態(tài)的重要性［1-2］被發(fā)現(xiàn)后，人們對(duì)α團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的研究逐漸升溫。穩(wěn)定的團(tuán)簇結(jié)構(gòu)一般存在于輕核激發(fā)態(tài)以及遠(yuǎn)離β 穩(wěn)定線的輕核基態(tài)中。在α共軛核［3］內(nèi)，α粒子之間可以形成不同的幾何構(gòu)型，比如12C 中存在三角形或鏈狀的3-α 奇異結(jié)構(gòu)，16O存在正四面體、鏈狀、風(fēng)箏型或矩形的4-α奇異結(jié)構(gòu)［4-5］，甚至當(dāng)質(zhì)量數(shù)（A）為28～52 的原子核具有足夠高的角動(dòng)量時(shí)環(huán)形構(gòu)型［6-10］也可能存在。為了觀測α團(tuán)簇的不同構(gòu)型，何萬兵等［4-5，11］研究發(fā)現(xiàn)，不同構(gòu)型的α 團(tuán)簇結(jié)構(gòu)具有不同的巨偶極共振特征峰，并提出可以作為探測α 團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的探針。目前，已經(jīng)有多種對(duì)α 團(tuán)簇性質(zhì)的研究方法，但原子核內(nèi)核子結(jié)團(tuán)的的詳細(xì)機(jī)制還有待進(jìn)一步研究。

團(tuán)簇態(tài)可以解釋為晶體與液相之間的一種混合狀態(tài)，當(dāng)溫度降低和密度增加時(shí)，通過短程力相互作用的粒子系統(tǒng)經(jīng)歷從經(jīng)典氣態(tài)到液態(tài)再到固態(tài)的轉(zhuǎn)變［12-15］。隨著密度的增加，系統(tǒng)內(nèi)粒子的波函數(shù)發(fā)生重疊，從而形成團(tuán)簇［16］。團(tuán)簇的形成受很多因素的影響，比如粒子系統(tǒng)內(nèi)密度的增加、溫度的降低、原子核的形變［16-21］等。Ebran［22］和Freer［23］等從理論上發(fā)現(xiàn)核勢深度的不同也會(huì)影響團(tuán)簇的形成，Ebran分別用非相對(duì)論性密度泛函理論Skyrme SLy4［24-25］和相對(duì)論性密度泛函理論DD-ME2［26］計(jì)算了20Ne的自洽基態(tài)密度，并且DD-ME2 的自洽平均場勢要比SLy4深得多，他發(fā)現(xiàn)更深的核勢更容易產(chǎn)生團(tuán)簇結(jié)構(gòu)。本文將用輸運(yùn)理論模型研究不同深度的核相互作用勢對(duì)α 共軛核內(nèi)團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生及其構(gòu)型的影響。

輕核的團(tuán)簇結(jié)構(gòu)對(duì)原子核中的玻色-愛因斯坦凝聚、低密度核物質(zhì)狀態(tài)方程及核天體物理中元素合成過程具有重要意義［1，27-28］。研究不同的核勢深度對(duì)α 團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的影響，有利于我們了解團(tuán)簇的形成條件，甚至將來我們可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來探索原子核內(nèi)的短程力相互作用，從而加深對(duì)核物質(zhì)狀態(tài)方程的認(rèn)識(shí)。

1 模型和參數(shù)調(diào)整

量子分子動(dòng)力學(xué)（Quantum Molecular Dynamics，QMD）模型是研究核反應(yīng)動(dòng)力學(xué)的有效工具，傳統(tǒng)的QMD 模型［29］對(duì)于中重核描述比較準(zhǔn)確，但是對(duì)于輕核尤其是遠(yuǎn)離穩(wěn)定線的原子核性質(zhì)描述不太恰當(dāng)。1996 年Maruyama 等［30-31］通過引入摩擦冷卻方法、可變的波包寬度、泡利勢等提出了一種擴(kuò)展的QMD 模型，稱為EQMD 模型。該模型能夠很好地描述原子核基態(tài)性質(zhì)，特別是輕核的團(tuán)簇結(jié)構(gòu)。

1.1 EQMD模型介紹

EQMD模型對(duì)單個(gè)核子的描述采用復(fù)數(shù)的高斯波包的形式：

式中：Ri和Pi分別表示第i個(gè)波包的位置和動(dòng)量的中心，整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)用所有核子波函數(shù)的直積來表示。νi表示波包寬度，復(fù)數(shù)表達(dá)式為：

式中：λi和δi分別表示波包的實(shí)部和虛部，分別對(duì)應(yīng)核子的坐標(biāo)和動(dòng)量分布寬度。

在坐標(biāo)空間中核子的密度分布函數(shù)為：

系統(tǒng)的哈密頓量表示為：

式中：Tc.m.和Hint分別表示系統(tǒng)的零點(diǎn)質(zhì)心動(dòng)能和相互作用勢能。

EQMD模型選取團(tuán)簇的判斷機(jī)制如下：

以上就是判斷兩個(gè)編號(hào)為i、j 的核子是否在一個(gè)團(tuán)簇內(nèi)的公式，這里的參數(shù)取值分別是a = 1.7fm和b = 4fm2。

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程通過系統(tǒng)拉格朗日量的時(shí)間變分得出，其中單核子的正則演化方程可以表示為：

為了準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的基態(tài)，需要對(duì)相空間進(jìn)行摩擦冷卻，這種初始化冷卻過程是通過在正則演化方程里加入阻尼項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)的。加入阻尼項(xiàng)的演化方程可以表示為：

式中：μR、μP、μλ和μδ為阻尼系數(shù)，加入阻尼系數(shù)后可以使系統(tǒng)冷卻到更低的能量狀態(tài)。

系統(tǒng)的有效相互作用由4部分構(gòu)成：

其中Skyrme勢使用如下形式：

在實(shí)際的計(jì)算中，不考慮核子的自相互作用，因此式（9）可以化簡為：

式中：α =- 124.3MeV，β = 70.5MeV，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)不可壓縮系數(shù)K∞= 378 MeV。在演化過程中，EQMD系統(tǒng)需要很高精度的數(shù)值求解，因此這里的密度依賴項(xiàng)必須嚴(yán)格采用γ = 2的三層嵌套循環(huán)來求解。

對(duì)稱能勢具有如下形式：

式中：ρP和ρn分別表示質(zhì)子和中子的密度，Cs=25 MeV。

泡利勢采用如下簡單的形式：

式中：fi為第i 個(gè)核子與其他核子的波包重疊函數(shù)，位壘參數(shù)f0取值為1，CP= 15MeV 為強(qiáng)度參數(shù)，μ =1.3。

1.2 泡利勢參數(shù)調(diào)整

目前，EQMD 模型所使用的參數(shù)是保持了傳統(tǒng)QMD 模型里Skyrme 勢的標(biāo)準(zhǔn)形式和參數(shù)，并通過調(diào)整泡利勢參數(shù)來符合不同質(zhì)量區(qū)原子核的結(jié)合能及均方根半徑得到的。雖然在輕核區(qū)和重核區(qū)模型的計(jì)算結(jié)果符合得較好，但是在計(jì)算中等質(zhì)量的原子核時(shí)，EQMD 模型所得到的原子核平均結(jié)合能與實(shí)驗(yàn)值差別較大。因此在本工作中，我們首先進(jìn)一步調(diào)整泡利勢參數(shù)，令CP= 20 MeV，μ = 1.9，使得EQMD模型所得到的平均結(jié)合能和均方根半徑分別更好地符合實(shí)驗(yàn)值［32-33］和經(jīng)驗(yàn)公式［34］的計(jì)算結(jié)果。

圖1是泡利勢參數(shù)調(diào)整前后EQMD模型中不同原子核的每核子結(jié)合能大小和均方根半徑大小。其中方塊是泡利勢參數(shù)調(diào)整之前EQMD 模型的計(jì)算結(jié)果，圓形是泡利勢參數(shù)調(diào)整后EQMD模型的計(jì)算結(jié)果［32-33］，三角在圖1（a）、（b）中分別代表實(shí)驗(yàn)值和經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的結(jié)果［34］。從圖1 可以看出，調(diào)整了泡利勢參數(shù)之后的EQMD 模型所得到的結(jié)果比調(diào)整之前更好，特別是結(jié)合能的結(jié)果，因此在接下來的計(jì)算和對(duì)比中我們將采用調(diào)整后的勢參數(shù)。

圖1 泡利勢參數(shù)調(diào)整前后EQMD模型中不同原子核的每核子結(jié)合能(a)和均方根半徑(b)Fig.1 Binding energy of each nucleon(a)and RMS radius of different nuclei(b)in the EQMD model before and after adjustment of Pauli potential parameters

1.3 Skyrme勢參數(shù)調(diào)整

本文的目的主要是研究不同深度的核勢對(duì)α團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的影響，為了得到不同深度的核勢，我們調(diào)節(jié)了Skyrme勢參數(shù)［35-41］，具體步驟如下：

首先，Skyrme勢參數(shù)應(yīng)滿足無限大對(duì)稱核物質(zhì)在飽和密度處的各項(xiàng)基本特性（e∞=- 16 MeV，ρ0=0.165fm-3，P = 0）；其次，考慮不對(duì)稱核物質(zhì)（加入對(duì)稱能，考慮有效質(zhì)量）；然后，引入新的約束力（加入泡利勢，考慮泡利不相容原理）；最后，考慮有限核基本性質(zhì)，調(diào)節(jié)泡利勢參數(shù)，使其輸出的原子核（16O，40，48Ca，56Ni，132Sn，208Pb）的結(jié)合能和均方根半徑符合已知實(shí)驗(yàn)值。

在零溫度下，對(duì)于無限大均勻的核物質(zhì)且不考慮庫侖相互作用時(shí)，系統(tǒng)的能量密度可以簡寫為：

式（13）右邊第一項(xiàng)是動(dòng)能項(xiàng)，第二、第三項(xiàng)分別是吸引項(xiàng)（兩體項(xiàng)）和排斥項(xiàng)（密度相關(guān)項(xiàng)），后面分別是動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)、表面能項(xiàng)以及自旋軌道耦合項(xiàng)。EQMD 模型里的Skyrme 相互作用只考慮了兩體項(xiàng)和三體項(xiàng)，通過對(duì)比式（9）中的兩體項(xiàng)和三體項(xiàng)可以得出：

其中：Θs= 3t1+ 5t2，當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)核子密度等于無限大均勻核物質(zhì)的飽和密度時(shí)，式（14）的平均結(jié)合能應(yīng)為-16 MeV，式（15）的壓強(qiáng)應(yīng)為0。從式（14）、（15）可以看出，無限大均勻核物質(zhì)的平均結(jié)合能和壓強(qiáng)只與兩體項(xiàng)，密度相關(guān)項(xiàng)和動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)有關(guān)，由于EQMD 模型必須嚴(yán)格執(zhí)行γ = 2 的三層循環(huán)，因此σ = 1 是確定的，為了得到不同的核勢，我們?cè)贓QMD模型里引入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)。

這里我們直接引入QMD 模型里的動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)［28，42-46］：

引入了動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)后，核子在運(yùn)動(dòng)方程里的有效 質(zhì) 量 為m?/m= 0.75，式（16）中 的 參 數(shù)δ =1.57 MeV，ε = 500。依據(jù)Skyrme 勢參數(shù)的調(diào)節(jié)步驟，我們可以計(jì)算得出這時(shí)的α =- 134.6 MeV、β =62.2 MeV，此時(shí)系統(tǒng)的不可壓縮系數(shù)為K∞=404 MeV。同時(shí)，為了使EQMD 模型所得到的平均結(jié)合能和均方根半徑分別更好地符合實(shí)驗(yàn)值和經(jīng)驗(yàn)公式的計(jì)算結(jié)果，調(diào)整泡利勢參數(shù)為：CP= 28 MeV，μ = 1.3。

圖2是引入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)前后EQMD模型中不同原子核的每核子結(jié)合能大小和均方根半徑大小。其中方塊是沒加動(dòng)量相關(guān)勢的EQMD 模型的計(jì)算結(jié)果，圓形是加入動(dòng)量相關(guān)勢的EQMD模型的計(jì)算結(jié)果，三角在圖2（a）、（b）中分別代表結(jié)合能的實(shí)驗(yàn)值［32-33］和經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的均方根半徑［34］。從圖2可以看出，EQMD 模型加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)前后所得到的平均結(jié)合能和均方根半徑都比較符合實(shí)驗(yàn)值和經(jīng)驗(yàn)公式的計(jì)算結(jié)果，說明EQMD模型加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)前后對(duì)原子核基態(tài)的描述均具有可靠性。

圖2 引入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)前后EQMD模型中不同原子核的每核子結(jié)合能(a)和均方根半徑(b)Fig.2 Binding energy of each nucleon(a)and RMS radius of different nuclei(b)in the EQMD model before and after adding the MDI

2 結(jié)果和討論

我們運(yùn)用動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)加入前后兩組不同的參數(shù)對(duì)4≤A≤40的α共軛核基態(tài)進(jìn)行模擬計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這兩組參數(shù)所計(jì)算出的原子核的每核子核勢深度確實(shí)不同。圖3描述的是加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)前后EQMD模型所計(jì)算的每核子核勢深度的大小，其中方塊是未加動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)的EQMD模型的計(jì)算結(jié)果，圓形是加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)后模型的計(jì)算結(jié)果。如圖3 所示，加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)后EQMD 模型計(jì)算得出的核勢深度比沒加動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)時(shí)計(jì)算得出的核勢深度要深。

圖3 不同α共軛核的每核子核勢深度Fig.3 Depth of Skyrme potential of each nucleon of different α conjugated nuclei

在EQMD 模型中，通過演化后，每個(gè)原子核形成α 團(tuán)簇的數(shù)目是不固定的。圖4 是加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)前后EQMD 模型所計(jì)算的4≤A≤40 的α 共軛核內(nèi)的核子全部形成α團(tuán)簇的概率。圖中方塊是未加動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)時(shí)模型的計(jì)算結(jié)果，圓形是加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)后模型的計(jì)算結(jié)果，縱軸里n=A/4。從圖4 可以看出，加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)后，全部由α團(tuán)簇結(jié)構(gòu)構(gòu)成的原子核的出現(xiàn)概率明顯升高。由于加入動(dòng)量相關(guān)勢后核相互作用勢的深度增加，也可以說核勢深度的增加有助于α 團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，這個(gè)結(jié)果符合Ebran［21］和Freer［22］等理論研究的結(jié)論。

圖4 不同α共軛核內(nèi)的核子全部形成α團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的概率Fig.4 The probability of all nucleons in different α conjugated nuclei forming α cluster structure

在用EQMD 模型模擬12C 和16O 的原子核基態(tài)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)核勢深度的增加不僅有助于α 團(tuán)簇結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，而且對(duì)α團(tuán)簇的構(gòu)型也有一定影響。圖5是由α 團(tuán)簇構(gòu)成的12C 和16O 的不同構(gòu)型所占的比例。圖中方塊是沒加動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)的EQMD 模型的計(jì)算結(jié)果，圓形是加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)后EQMD模型的計(jì)算結(jié)果。由圖5可知，加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)后，也就是核勢深度加深后12C 中鏈狀結(jié)構(gòu)減少，三角結(jié)構(gòu)增多；16O 中鏈狀結(jié)構(gòu)和矩形結(jié)構(gòu)減少，風(fēng)箏型結(jié)構(gòu)和四面體結(jié)構(gòu)數(shù)目增多。因此我們可以初步得出結(jié)論：核勢深度的增加使得α 團(tuán)簇結(jié)構(gòu)由分散的構(gòu)型向更緊湊的構(gòu)型轉(zhuǎn)變，原子核內(nèi)的α 粒子趨于集中分布。

在研究過程中我們發(fā)現(xiàn)，在EQMD模型中加入式（16）形式的動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)雖然可以為原子核的初始化過程提供更深的核勢深度，但并不利于原子核在自由演化時(shí)的穩(wěn)定性，約有5%的輕核會(huì)在自由演化中坍縮或發(fā)散掉，隨著核子數(shù)目的增多，坍縮或發(fā)散掉的原子核數(shù)目也會(huì)增多。

3 結(jié)語

圖5 由α團(tuán)簇構(gòu)成的12C(a)和16O(b)的不同構(gòu)型所占的比例Fig.5 Proportion of different configurations of 12C(a)and 16O(b)consisting of α clusters

通過上面的研究分析可以看出，調(diào)節(jié)了泡利勢參數(shù)后EQMD 模型對(duì)原子核基態(tài)性質(zhì)的模擬更可靠。對(duì)于EQMD模型來說，加入動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致原子核在自由演化過程中的穩(wěn)定性降低。核勢深度的增加，有利于α 共軛核內(nèi)的核子全部組成α 粒子，同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致這些α粒子的構(gòu)型發(fā)生變化。這為深入研究核物質(zhì)狀態(tài)方程對(duì)原子核基態(tài)和結(jié)團(tuán)現(xiàn)象的影響具有參考價(jià)值。目前，我們對(duì)核力的本質(zhì)及原子核結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)還有限，需要采用更多的研究方法和技術(shù)進(jìn)行深入研究。隨著深度學(xué)習(xí)及量子計(jì)算等［47-48］新的方法與技術(shù)在核物理領(lǐng)域的應(yīng)用，未來人們對(duì)原子核性質(zhì)的認(rèn)識(shí)將會(huì)更加深入和全面。