高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)研究

孫小兵

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)概念反映的是數(shù)學(xué)對(duì)象的一般的、本質(zhì)的特征，這樣的特征是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)過(guò)程中通過(guò)抽象思維概括出來(lái)的，從理論和實(shí)踐情況來(lái)看，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)是培養(yǎng)高中生抽象思維最關(guān)鍵的階段，這應(yīng)該引起所有教師的重視. 但我們必須明確一點(diǎn)，即學(xué)生抽象思維的發(fā)展并非一蹴而就的，它的出發(fā)點(diǎn)和培養(yǎng)路程主要在形象思維上，以此為定點(diǎn)再去分析高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，設(shè)計(jì)基本的培養(yǎng)思路.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念;形象思維;抽象思維;培養(yǎng)思路

對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究，如果出發(fā)點(diǎn)和路程不同，那么終點(diǎn)可能就不同，而且面對(duì)的路程的長(zhǎng)度和難易度也可能不同，因此在概念教學(xué)之前教師關(guān)注的首要問(wèn)題就是對(duì)抽象思維培養(yǎng)的出發(fā)點(diǎn)和培養(yǎng)路程的研究. 筆者通過(guò)多數(shù)文章理論的分析，以及多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為學(xué)生抽象思維的發(fā)展離不開(kāi)形象思維的培養(yǎng)，而且是以形象思維的培養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn)和定點(diǎn)來(lái)發(fā)展抽象思維的，因此以形象思維引出抽象思維應(yīng)該是數(shù)學(xué)概念教學(xué)中基本的培養(yǎng)思路和培養(yǎng)方法.

由形象思維引出抽象思維

有觀點(diǎn)認(rèn)為，形象思維可以通過(guò)形象去把握那些難以用抽象概念把握的客體，可以通過(guò)情、境、形等手段去把握抽象思維所不能囊括的客體形象;借助形象思維，可以通過(guò)某種形象更快地揭示客體的整體本質(zhì). 對(duì)于這個(gè)觀點(diǎn)，筆者是認(rèn)同的. 形象思維、抽象思維與概念教學(xué)之間存在相互緊密的聯(lián)系，筆者簡(jiǎn)述其為“概念教學(xué)正是從形象看本質(zhì)”，即形象思維可以幫助學(xué)生把握抽象概念，他們可以通過(guò)多種手段對(duì)客體的屬性進(jìn)行分析、綜合、比較后抽象出客體的本質(zhì)屬性.

因此，筆者認(rèn)為在概念教學(xué)中從形象思維引出抽象思維這個(gè)策略是可行的，對(duì)形象思維的培養(yǎng)能夠幫助學(xué)生快速、完整地理解抽象的數(shù)學(xué)概念，然后反哺形象思維的提升. 在研究具體的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)該策略有這樣幾個(gè)要點(diǎn)：（1）由于客體的復(fù)雜性和多樣性，不同的學(xué)生對(duì)客體形象的認(rèn)識(shí)是各不相同的，這需要教師對(duì)客體（概念）的本質(zhì)屬性進(jìn)行梳理并引導(dǎo)學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中認(rèn)識(shí)，這對(duì)教師的梳理能力、掌控能力和引導(dǎo)能力是一種嚴(yán)格的考驗(yàn). （2）形象思維的基礎(chǔ)是感性直觀認(rèn)識(shí)，所以該策略的開(kāi)始環(huán)節(jié)就是對(duì)情境的直觀想象，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)該在學(xué)生實(shí)際生活的范圍之內(nèi). （3）學(xué)生思維是有差異性的，所以學(xué)生對(duì)概念的理解無(wú)論是深度、廣度還是時(shí)間都是各不相同的，對(duì)同班同一策略的實(shí)施要注重層次性和反思評(píng)價(jià). （4）在該策略實(shí)施過(guò)程中，利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維碰撞，包括形象思維與抽象思維的碰撞、學(xué)生之間的思維碰撞、師生之間的思維碰撞. 了解從形象思維引出抽象思維策略的這些要點(diǎn)，有助教師在具體的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施過(guò)程中能夠做好兩個(gè)重要方面的工作，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維：一是從學(xué)生視角認(rèn)識(shí)客體形象，從形象出發(fā)挖掘抽象思維的落地點(diǎn);二是在概念教學(xué)過(guò)程中尋找、完善有效的抽象思維培養(yǎng)途徑.

在概念教學(xué)中從形象思維引出抽象思維的培養(yǎng)思路

空洞的、臆造的、不可捉摸的抽象是不科學(xué)的抽象. 科學(xué)的、合乎邏輯的抽象思維是在社會(huì)實(shí)踐的基礎(chǔ)上形成的[1]. 從這句話可以知道，“靠近”社會(huì)實(shí)踐，是教師培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的、合乎邏輯的抽象思維的起點(diǎn)，也是從形象思維引出抽象思維的培養(yǎng)思路和途徑的起點(diǎn)，這應(yīng)該引起師生在教學(xué)中的共同關(guān)注.

在概念教學(xué)中，從形象思維引出抽象思維的培養(yǎng)思路，以教師的角度來(lái)看，面對(duì)學(xué)生差異的思維能力，首先要熟悉的是在同一概念的教學(xué)中，學(xué)生的反應(yīng)情況各是怎樣的，即學(xué)生接觸跟概念有關(guān)系的事物時(shí)意象、直觀、想象的在社會(huì)實(shí)踐中的形象各是什么;其次是面對(duì)不同的反應(yīng)情況，通過(guò)相應(yīng)手段和方法引導(dǎo)學(xué)生去除客體的非本質(zhì)屬性，認(rèn)識(shí)客體的本質(zhì)屬性;由本質(zhì)屬性的綜合、分析、概括，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上了解概念. 以學(xué)生的角度來(lái)看，初始接觸概念對(duì)其形象的表達(dá)，將社會(huì)實(shí)踐與數(shù)學(xué)語(yǔ)言聯(lián)系起來(lái);課堂中與教師、同學(xué)異同點(diǎn)的分析、概括是認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)屬性的重要環(huán)節(jié);在完成例題中進(jìn)一步了解、熟悉概念的本質(zhì)屬性.

具體來(lái)說(shuō)，在概念教學(xué)中，學(xué)生的反應(yīng)情況可以通過(guò)與教師相互探討、課前或課堂的情境反應(yīng)等方法或方式進(jìn)行了解，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)意象、直觀、想象的概念形象，然后利用實(shí)例、變式、比較、歸納等方法引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表達(dá)的異同點(diǎn)進(jìn)行思考和分析，歸納和認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性，形成概念，最后通過(guò)例題、習(xí)題的練習(xí)回歸對(duì)概念的了解. 簡(jiǎn)單來(lái)講，這是一條“依據(jù)感知—形象表達(dá)—概括本質(zhì)屬性—形成概念—實(shí)踐運(yùn)用”從形象思維引出抽象思維的完整的培養(yǎng)途徑，也是一個(gè)概念教學(xué)的過(guò)程. 這個(gè)途徑或過(guò)程不僅能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律.

策略在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

在實(shí)踐教學(xué)中，隨著培養(yǎng)思路的指向，筆者在此還要明確幾點(diǎn)：第一，情境創(chuàng)設(shè)要選取與概念內(nèi)容密切相關(guān)的、典型的和學(xué)生的實(shí)際生活有聯(lián)系的素材. 第二，對(duì)學(xué)生的情境反應(yīng)可在課前先做預(yù)備，針對(duì)性的問(wèn)題可以避免課堂時(shí)間的浪費(fèi). 第三，雖然學(xué)生思維能力的差異化是現(xiàn)實(shí)存在的，但是在“形象表達(dá)”環(huán)節(jié)教師不能有所表現(xiàn)，盡量讓不同層次的學(xué)生都有表達(dá)機(jī)會(huì)，讓學(xué)生思維的異同點(diǎn)更多地顯示出來(lái). 第四，在使用各種方法引導(dǎo)學(xué)生概括本質(zhì)屬性時(shí)，在關(guān)鍵點(diǎn)要起到引導(dǎo)、提醒作用，而不是完全依托學(xué)生自主探索. 筆者在本文以“函數(shù)及其表示”為例，對(duì)策略在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用進(jìn)行說(shuō)明.

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三種函數(shù)的表示方法——列表法、圖像法、解析式法，這三種函數(shù)的表示方法在學(xué)生的思維中可以說(shuō)是非常深刻的，在人教版必修1“函數(shù)及其表示”教學(xué)中，當(dāng)筆者提出函數(shù)定義的時(shí)候，大部分學(xué)生首先想到的就是這三種函數(shù)的表示方法. 甚至有學(xué)生認(rèn)為，只有這三種表示方法的才是函數(shù)，除此之外就不是函數(shù). 筆者認(rèn)為，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，并非太大的錯(cuò)誤，因?yàn)樗麄冊(cè)诔踔兴佑|的函數(shù)就是這樣的——數(shù)集到數(shù)集的三種對(duì)應(yīng)關(guān)系，他們并不了解對(duì)應(yīng)關(guān)系是多變的，并非只有這三種. 因此，在高中函數(shù)定義的教學(xué)中，首先就是要讓學(xué)生明白他們所了解和掌握的并非函數(shù)的全部本質(zhì)屬性——數(shù)集到數(shù)集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系、隨處定義、單值定義[2]，而只是本質(zhì)屬性的一部分. 這不僅可以引起學(xué)生的新知碰撞，也可以解決多數(shù)學(xué)生的疑問(wèn)：“為什么初中學(xué)了函數(shù)的概念，高中還要學(xué)呢？”（學(xué)生言語(yǔ)）筆者對(duì)此設(shè)計(jì)了幾個(gè)主要問(wèn)題：

（1）回顧初中對(duì)函數(shù)的定義;

（2）如果你有一張電影票，你想到了什么？

（3）思考：y=1（x∈N）是函數(shù)嗎？y=x與y=是同一函數(shù)嗎？

（4）A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，其元素之間存在一些對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖1.

①它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別是什么？如果數(shù)集A的元素用x表示，數(shù)集B的元素用y表示，那么你能用初中所學(xué)的三種表達(dá)方法表示數(shù)集A和數(shù)集B的關(guān)系嗎？

②這三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么共同點(diǎn)？

（5）下列數(shù)集M到數(shù)集N的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不是函數(shù)的是（ ?）

在整個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)中，問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）通過(guò)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和實(shí)際生活的體驗(yàn)，從對(duì)應(yīng)關(guān)系的角度初步接觸函數(shù)的定義. 問(wèn)題（3）引出新舊知識(shí)的認(rèn)知沖突，將學(xué)生的思維引向課題——函數(shù)的定義，在此向?qū)W生表明：僅以函數(shù)的表達(dá)式無(wú)法確定函數(shù)的定義，我們需要重新對(duì)函數(shù)進(jìn)行定義. 問(wèn)題（4）的第一小問(wèn)通過(guò)形象直觀的圖示讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并以此與初中的認(rèn)知產(chǎn)生了聯(lián)系，可以鞏固學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解;通過(guò)對(duì)第二小問(wèn)的思考，開(kāi)始逐步引出函數(shù)定義的三大本質(zhì)屬性，拋棄非本質(zhì)屬性，將學(xué)生引向函數(shù)定義的概括和總結(jié). 問(wèn)題（5）從正反兩個(gè)層面，將函數(shù)的概念應(yīng)用于實(shí)踐案例上，鞏固學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)和了解. 從整體來(lái)看，問(wèn)題（1）到問(wèn)題（5）正是從形象思維引出抽象思維的培養(yǎng)途徑.

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，對(duì)學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)其實(shí)是圍繞“依據(jù)感知—形象表達(dá)—概括本質(zhì)屬性—形成概念—實(shí)踐運(yùn)用”這一主線，在教師的引導(dǎo)下對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行觀察、歸納、概括、運(yùn)用的過(guò)程. 在這個(gè)過(guò)程中，抽象思維的培養(yǎng)很明顯離不開(kāi)形象思維的培養(yǎng)，因此只有兩者都讓學(xué)生掌握了才可能真正達(dá)到對(duì)教材內(nèi)容的把握.

參考文獻(xiàn)：

[1] ? 賀善侃.形象思維·抽象思維·科學(xué)認(rèn)識(shí)[J]. 復(fù)旦學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），1998（04）.

[2] ? 吳曉濤.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)要把握其本質(zhì)屬性[J].考試周刊，2012（83）.

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