一類張量線性系統(tǒng)的可解性及其應(yīng)用

代麗芳,梁茂林,賈金平

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001)

首先引入本文用到的一些記號和定義.CI1×I2×…×Im表示所有m-階I1×I2×…×Im-維復(fù)張量的全體.例如,m-階I1×I2×…×Im-維復(fù)張量A=(ai1i2…im),其元素ai1i2…im∈C且下標(biāo)滿足

對于張量S=(ai1i2…im),T=(bj1j2…jm)∈CI1×I2×…×Im,其外積S·T=(ui1i2…imj1j2…jm)∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im定義為ui1i2…imj1j2…jm=ai1i2…imbj1j2…jm.

本文考慮基于Einstein積的張量線性系統(tǒng)

A*nX=B，

(1)

這里A,B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In為已知張量.在連續(xù)力學(xué)中離散的高維泊松方程可以表示為(1)的形式[3,4].值得一提的是,在生物醫(yī)療科學(xué)中,多個基因的相互作用可以描述為求解張量線性系統(tǒng)(1)的稀疏解[5].因此,求解張量方程(1)的具有特殊結(jié)構(gòu)的解具有重要的意義.為此引入如下定義.

定義1設(shè)張量A=(ai1i2…imj1j2…jn)∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn,則其共軛轉(zhuǎn)置AH定義為

若張量A∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im滿足條件AH=A,則稱之為Hermitian張量,若A滿足AH=-A,則稱之為Skew-Hermitian張量.

在定義1中,若A是實張量,則共軛轉(zhuǎn)置退化為轉(zhuǎn)置,記作AT[3].Hermitian張量在量子糾纏相關(guān)理論中有重要應(yīng)用[6].Hermitian張量和Skew-Hermitian張量可以看作是Hermitian矩陣和Skew-Hermitian矩陣的推廣形式[7].作為矩陣逆的推廣,Brazell等人在文獻[3]引入了張量逆的概念,討論了張量線性系統(tǒng)(1)的可解性及其最小二乘解.進一步,孫麗珠等人借助張量的Moore-Penrose廣義逆給出了(1)的一般解表達式[7].但是對于帶有約束條件的張量線性系統(tǒng)(1)的求解問題并未在已有文獻中發(fā)現(xiàn).本文考慮張量線性系統(tǒng)(1)具有Skew-Hermitian解X的可解性問題,并將其應(yīng)用到一類張量特征值反問題,后者表述如下：

定義2給定張量X∈CI1×I2×…×Im和復(fù)數(shù)μ,求Skew-Hermitian張量A∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im使之滿足

A*mX=μX.

(2)

與上述張量特征值反問題對應(yīng)的原問題是由香港理工大學(xué)的祁力群先生提出的[8],這類問題源于計算力學(xué)、信號處理、圖像恢復(fù)等方面的應(yīng)用問題[9-11].

1 主要結(jié)果

為了研究Skew-Hermitian張量約束下的張量線性系統(tǒng)(1)的可解性問題,首先引入如下引理.

引理1設(shè)張量M∈CP1×P2×…×Ps×I1×I2×…×Im,N∈CP1×P2×…×Ps×J1×J2×…×Jn,P∈CJ1×J2×…×Jn×K1×K2×…×Kt,Q∈CI1×I2×…×Im×K1×K2×…×Kt,則張量方程組M*mZ=N,Z*nP=Q有解的充要條件為

M*mQ=N*nP,M*mM+*sN=N,Q*tP+*nP=Q.

此時它的一般解為

Z=M+*sN+(I1-M+*sM)*mQ*tP++(I1-M+*sM)*mH*n(I2-P*tP+),

其中I1∈RI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im和I2∈RJ1×J2×…×Jn×J1×J2×…×Jn為單位張量,H∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn為任意張量.

下面考慮張量線性系統(tǒng)(1)具有Skew-Hermitian解的可解性問題.為此證明如下引理.

引理2設(shè)張量A,B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In,則張量線性系統(tǒng)(1)有Skew-Hermitian解,當(dāng)且僅當(dāng)張量方程組

(3)

有一般解.

引理2說明,張量線性系統(tǒng)(1)具有Skew-Hermitian解的可解性問題等價于張量方程組(3)是否有一般解的問題.基于上述結(jié)論,可以證明如下結(jié)論.

定理1設(shè)張量A,B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In,則張量線性系統(tǒng)(1)有Skew-Hermitian解的充要條件為

A*nBH=-B*nAH,A*nA+*mB=B.

(4)

此時它的通解表達式為

(5)

I3∈RI1×I2×…×In×I1×I2×…×In為單位張量,U∈CI1×I2×…×In×I1×I2×…×In為任意的Skew-Hermitian張量.

證明根據(jù)引理1,張量方程組(3)有解當(dāng)且僅當(dāng)

A*nBH=-B*nAH,A*nA+*mB=B, -BH*m(AH)+*nAH=-BH.

上式化簡即得式(4).此時方程組(3)的一般解表達式為

X=A+*mB+(I3-A+*mA)*n(-BH)*m(A)H++(I3-A+*mA)*nW*n(I3-AH*m(A)H+)

=A+*mB-(I3-A+*mA)*n(A+*mB)H+(I3-A+*mA)*nW*n(I3-A+*mA),

(6)

其中,任意張量W∈CI1×I2×…×In×I1×I2×…×In.當(dāng)?shù)仁?4)成立時,結(jié)合引理2即得式(5)成立.

注1根據(jù)Moore-Penrose廣義逆的性質(zhì)和張量內(nèi)積的定義,容易驗證內(nèi)積

另外,基于上述定理,可以得到張量特征值反問題(2)的解.

定理2給定張量X∈CI1×I2×…×Im和純虛數(shù)μ,則張量特征值反問題(2)有解,且通解表達式為

A=μ·X·X++(I1-X·X+)*nU*n(I1-X·X+),

(7)

其中,U∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im為任意的Skew-Hermitian張量.

證明假設(shè)μ為復(fù)數(shù).根據(jù)引理2,張量特征值反問題(2)的可解性等價于張量方程組

(8)

的可解性.易見,對于張量方程組(8)而言,由定理1可知其有解的充要條件為

上式中后兩個等式恒成立,而第一個等式則說明μ必為純虛數(shù).進一步,它的一般解為

(9)

其中

(10)

注2由定理2的證明過程可見,Skew-Hermitian 張量的特征值為純虛數(shù),這與矩陣情形是一致的.另外,這里考慮的是給定一對特征對的張量特征值反問題.對于給定多個特征對的情形需要進一步考慮.

2 數(shù)值實驗

本節(jié)給出相關(guān)的數(shù)值例子來驗證本文所得結(jié)論的可行性.下文中的所有實驗數(shù)據(jù)均是在MATLAB (R2016a)軟件上編程實現(xiàn),并在個人電腦(Inter(R)Core(TM)i5-4200M，4.00G內(nèi)存)上實施所得到,其中張量積的運算用到了張量工具包[12].

例1設(shè)給定張量A,B∈C4×3×2×3如下:

例2設(shè)給定特征張量X∈C3×2和特征值如下

3 總結(jié)

研究了張量線性系統(tǒng)(1)具有Skew-Hermitian解的充要條件,并借助張量的Moore-Penrose廣義逆得到了該系統(tǒng)的一般解表達式.作為上述結(jié)果的應(yīng)用,給出了張量特征值反問題(2)的通解表達式.最后,通過數(shù)值實驗說明了所得結(jié)果的可行性.另外,張量相關(guān)問題往往是大規(guī)模的,考慮這些問題的迭代算法是十分必要的,這將是下一步需要研究的問題.