例談立體幾何中直線與平面平行的證明策略

摘 要：每年的數(shù)學(xué)高考中，6道解答題大題，立體幾何必是其中一道，立體幾何大題通常會設(shè)置2問，其中第一小問多為證明題，證明平行或垂直關(guān)系，而平行證明題型主要考點是線面證明，因為在證明線面平行的過程中經(jīng)常會涉及兩個考點，其一是線線平行的證明，其二是面面平行的證明。本文借助泉州質(zhì)檢題中一道線面平行解答題的探討，進行一題多解，一題多變，從變中總結(jié)解題方法，從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)不變，引導(dǎo)學(xué)生多思多想，養(yǎng)成在學(xué)中求異，學(xué)中求變的習慣，使學(xué)生學(xué)一道題，會一類題，加深對問題實質(zhì)性的掌握，增強應(yīng)變能力。

關(guān)鍵詞：線面平行;線線平行;面面平行;幾何法;向量法

一、問題提出

證明線面平行，最容易想到的是使用它的判定定理：如果平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。關(guān)鍵是如何在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線。既然要證明直線a//平面α，那么直線a肯定是平行平面α的，若a//α，那么經(jīng)過直線a的平面β，要么與平面α相交，要么與平面α平行。當時，依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知;當時，依據(jù)平行平面的性質(zhì)知。因此過已知直線作平面，既可以構(gòu)造交線使線線平行也可構(gòu)造面面平行從而證明線面平行。

證明線面平行，除了可利用上述提到的這兩種幾何構(gòu)造法外，還可以利用空間向量的線性關(guān)系或數(shù)量積關(guān)系，通過代數(shù)運算來解決。下面一起探索空間線面平行關(guān)系證明中的常用策略。

二、例題示范

例（2020年泉州5月質(zhì)檢）如：圖四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BAD=1200，AB=2.平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點。

（1）求證：EF//平面PAB;

（2）若直線PB與平面ABCD所成的角為450，求直線DE與平面PBC所成角的正弦值。

本文只分析第（1）小題，第（2）小題略。

分析1：借助線面平行的判定定理構(gòu)造相交平面找線線平行→線面平行

線線平行兩個常見模型（構(gòu)造平行四邊形或三角形）

（一）平行四邊形的對邊互相平行（需要能證明平行四邊的條件）

（二）三角形的中位線平行于第三邊（需要構(gòu)造三角形的兩個中點）

策略一、構(gòu)造平行四邊形——線線平行→線面平行

取PA的中點M構(gòu)造平行四邊形EFMB，得EF//BM，又EF在平面PAB外，BM在平面PAB內(nèi)，所以EF//平面PAB。

【點評】構(gòu)造平行四邊形需包含要證的直線并能夠證明要證直線的一組鄰邊平行且相等。此題涉及中點E、F又涉及平行且相等線段AD、BC，符合條件構(gòu)造平行四邊形。

策略二、構(gòu)造中位線——線線平行→線面平行

連接DE并延長交AB的延長線于點N，則點E是DN的中點，在ΔDPN中，EF是中位線，則EF//PN，又EF在平面PAB外，PN在平面PAB內(nèi)，所以EF//平面PAB。

【點評】構(gòu)造中位線時，需想辦法將待證明線段及中點所在線段納入同一個三角形，利用中位線的平行關(guān)系找到平面內(nèi)的直線。此題平面PDE與平面PAB已有一個公共點P，由公理3“如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線”順藤摸瓜找到公共直線PN。

策略三、構(gòu)造平行平面——線線平行→線面平行→面面平行→線線平行

取AD中點Q，連接EQ，F(xiàn)Q，可證平面QEF//平面PAB，又EF在平面QEF內(nèi)，所以EF//平面PAB。

【點評】在構(gòu)造平行線和平行平面兩個方法上，一般構(gòu)造平行平面更容易些，思維量相對比較小，但書寫過程中只能依據(jù)面面平行的判定定理：一個平面兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行。而學(xué)生易犯的錯誤是：直接由線線平行→面面平行。

分析2：向量是一個具有代數(shù)與幾何雙重屬性的量，為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強有力的工具，靈活使用直線的方向向量和平面的法向量來證明線面平行，有時也會起到意想不到的效果。

策略四、向量法——建系、點坐標、向量坐標、法向量、套公式、下結(jié)論

取CD的中點R，由PC=PD得PR⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD

所以PR⊥平面ABCD，設(shè)AC∩BD=O，以O(shè)C，OD所在直線分別為x軸，y軸，過點O作直線與PR平行為z軸建立空間直角坐標系

平面PAB的一個法向量為

又EF在平面PAB外，所以EF//平面PAB。

【點評】由于幾何體結(jié)構(gòu)的特殊性，且明確了線段的長度，為我們建立空間直角坐標系提供了方便。利用向量數(shù)量積運算解決線面平行問題，思路簡單，程式化的流程，降低了立體幾何的空間難度，給學(xué)生一個比較低的門檻。

策略五、基底法——以為基底：

又EF在平面PAB外，所以EF//平面PAB

【點評】只要能在幾何體中尋找到合適的基向量，就可以很容易地說明向量共面。而且，有時可以省略求相關(guān)坐標的過程，使證明過程更加簡潔。對于不方便建立坐標系的幾何體，這種方法就更具有優(yōu)越性。

變式題1：四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BAD=1200，AB=2.平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，E是BC的中點，試問在棱PD上是否存在點F使EF//平面PAB？

思路一、先猜后證，如何猜才能準確呢？回顧前面種種策略，構(gòu)造平行平面。

（一）從中點E出發(fā)，取線段AD的中點Q，則EQ//AB;

（二）從中點Q出發(fā)，取線段PD的中點F，則QF//PA;

可得平面QEF，再證平面QEF//平面PAB，又EF在平面QEF內(nèi)，所以EF//平面PAB。

【點評】構(gòu)造平行平面法的基本步驟：①選點——在所證直線上任取一點記作A;②選線——在所證平面內(nèi)任取一線記作a;③優(yōu)化組合——使點A作所選線a的平行線，交棱于一點，記作B;再由點B出發(fā)，選線，重復(fù)上述過程。

思路二、向量法，建系與前面例題中的策略四一樣

可得平面PAB的一個法向量為

點F在PD上，一般設(shè)點F的向量坐標式：即設(shè)

所以

【點評】向量法的基本步驟：先假設(shè)存在——建系設(shè)點、列式解方程，利用方程是否有解來判斷所探索的問題是否有解。其中設(shè)探究中的點是關(guān)鍵：

1.如果點F在AB上有兩種設(shè)法：

①坐標式：直接設(shè)點F（x，y，z），利用已知條件尋找x，y，z的關(guān)系;

②向量式：假設(shè)存在常數(shù)λ，使得，然后用λ表示點F的坐標

2.如果點F在平面ABC上，一般存在常數(shù)λ，μ，使得（當然也可選用其他基底向量），然后用λ，μ來表示點F坐標。

變式題2：如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BAD=1200，AB=2.平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，點E是BC的中點，點M在四棱錐P-ABCD內(nèi)部或表面上，且EM//平面PAB，則動點M的軌跡。

思路分析：已知動直線平行定平面，尋找定平面包含動直線，從而面面平行得線面平行。

回想變式題1中的構(gòu)造平行平面法

（1）從中點E出發(fā)，取線段AD的中點Q，則EQ//AB;

（2）從中點Q出發(fā)，取線段PD的中點F，則QF//PA;

可得平面QEF，再證平面QEF//平面PAB，若EM在平面QEF內(nèi)，則EM//平面PAB。

所以點M的軌跡是三角形QEF內(nèi)部以及它的邊界。

【點評】覓得規(guī)律明軌跡——動中有靜，動態(tài)立體幾何體在變化過程中總蘊含著某些不變的因素，用定平面包含動直線，通過作截面尋找動點M的軌跡，從而找到解決問題的突破口。

變式題3、如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BAD=1200，AB=2.平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，E，Q分別是BC，AD的中點，點F是直線PD上的一動點，求證：AB//平面QEF。

思路分析：證明定直線與動平面平行，幾何法？向量法？一般會在動平面內(nèi)找一定直線與已知的定直線平行。由中點E、Q易想到AB//EQ，由線面平行的判定定理可知AB//平面QEF。

【點評】在解決立體幾何中的“動態(tài)”問題時，探尋變化過程中的不變關(guān)系，是解決動態(tài)問題的常用手段。利用動平面內(nèi)一定直線與已知定直線平行的不變性證得線面平行。

三、提煉思想方法

證明直線與平面平行的基本思路：

思路一、證線面平行，由線面平行的判定定理可知需先找線線平行，要找線線平行，往往要找面面交線，要找面面交線，需構(gòu)造輔助線（構(gòu)造平行四邊形，或三角形中位線，或等比例線段等加以證明）。

思路二、證明線面平行，也可先找面面平行再由面面平行的性質(zhì)得以證明。

思路三、證明線面平行，還可利用空間向量的線性關(guān)系或數(shù)量積關(guān)系，通過代數(shù)運算加以證明。而空間向量中最主要的兩個手段就是選基底與建立空間直角坐標系。

總的來說證明線面平行有兩種方法：幾何法與向量法。幾何法是一種定性的研究方法，表現(xiàn)為識圖與作圖（常添加輔助線與面），利用所學(xué)的定義、公理、定理去分析，推理論證。從而能培養(yǎng)我們的空間想象能力，邏輯思維能力，在探索性問題或動態(tài)平行問題中更能顯示它的威力。而向量法是一種定量的研究方法，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的計算，體現(xiàn)了幾何解題的一種通用方法。在高考中，特別是解答題中，試題一般采取幾何法和向量法的“雙軌制”，不管選用哪種方法，各有千秋，各有優(yōu)缺點，只要做出來，書寫規(guī)范，結(jié)果正確，哪種方法都可以，都是滿分。

參考文獻

[1]鮑啟靜.線面平行之常見題型[N].中學(xué)生數(shù)理化.2008（2）.

[2]向鴻.空間向量在立體幾何中的運用[J]凱里學(xué)院學(xué)報，2008年6月.

作者簡介：林巧紅，（1980—），女，福建晉江人，漢，晉江養(yǎng)正中學(xué)，中學(xué)一級教師，大學(xué)本科。高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

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