基于截斷奇異值的鏡像綜合孔徑亮溫重建方法

吳袁超 呂容川* 竇昊鋒 李一楠 李 浩盧海梁 羅 豐 李青俠

①(中國空間技術(shù)研究院西安分院 西安 710000)

②(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

③(華中科技大學(xué)電子信息與通信學(xué)院 武漢 430074)

1 引言

微波輻射測量技術(shù)最早被用于射電天文領(lǐng)域，目前在地球遙感、醫(yī)學(xué)及目標(biāo)探測方面有越來越多的應(yīng)用。光學(xué)、紅外遙感雖然具有較高的空間分辨率，但存在易受天氣因素(云、雨、霧等)干擾的缺點(diǎn)。微波遙感由于其能實(shí)現(xiàn)全天時、準(zhǔn)全天候的實(shí)時動態(tài)遙感監(jiān)測，而受到廣泛關(guān)注[1]。為提升微波輻射計的空間分辨率，綜合孔徑技術(shù)被引入到微波輻射計中，其采用多個小口徑天線合成等效的大口徑天線，通過直接測量的可見度函數(shù)經(jīng)傅氏變換得到重建亮溫圖像。但相比于實(shí)孔徑輻射計，綜合孔徑系統(tǒng)天線單元與通道數(shù)量多，數(shù)據(jù)處理相對復(fù)雜很多。綜合孔徑輻射計是以系統(tǒng)電氣的復(fù)雜性與信號處理的復(fù)雜性換取實(shí)孔徑輻射計中的機(jī)械復(fù)雜性[2,3]。對于空間分辨率要求較高的綜合孔徑輻射計，例如GeoSTAR，其需要幾百個天線和接收通道，上萬個相關(guān)器，導(dǎo)致系統(tǒng)裝配困難、成像復(fù)雜度高。

為進(jìn)一步提高微波輻射計的空間分辨率，文獻(xiàn)[4–7]提出了鏡像綜合孔徑(Mirrored Aperture Synthesis, MAS)的概念。鏡像綜合孔徑輻射計采用反射板與天線陣組合，形成等效的鏡像陣列，通過求解轉(zhuǎn)移方程獲得余弦可見度函數(shù)，由余弦可見度函數(shù)經(jīng)反余弦變換可獲得重建亮溫圖像。相較于常規(guī)綜合孔徑輻射計，鏡像綜合孔徑輻射計能夠在相同陣列大小下，有效提高系統(tǒng)的空間分辨率[8,9]。由于實(shí)際系統(tǒng)硬件等因素影響，測量數(shù)據(jù)不可避免地存在誤差與噪聲。并且，對于鏡像綜合孔徑輻射測量而言，余弦可見度函數(shù)由轉(zhuǎn)移方程求解得到，求解的精度將影響最終重建亮溫的精度。然而，轉(zhuǎn)移矩陣為病態(tài)矩陣，含有誤差的相關(guān)輸出與病態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣求解得到的余弦可見度偏離了正確的解向量，導(dǎo)致最終的重建亮溫圖像失真。

本文將基于鏡像綜合孔徑的基本原理，研究一種鏡像綜合孔徑的亮溫重建方法——截斷奇異值分解，用于改善鏡像綜合孔徑的成像質(zhì)量。并通過仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

2 鏡像綜合孔徑的基本原理

如圖1所示，鏡像綜合孔徑輻射計由反射板與天線陣組成。陣列中任意天線單元將接收來自場景的直射信號與來自反射板的反射信號。

當(dāng)接收天線的極化方向?yàn)閤方向時，天線p和q接收到的信號的相關(guān)輸出為

其中，( xp,yp)與 ( xq,yq)分別是波長歸一化的天線坐標(biāo)，C v(u,v)是2維余弦可見度，可表示為

鏡像綜合孔徑的雙天線相關(guān)輸出與余弦可見度可線性表示為

其中，式(3)即為轉(zhuǎn)移方程。Q表示天線單元數(shù)目，M和N分別表示兩個維度的最大空間采樣頻率。R為雙天線相關(guān)輸出向量，P為轉(zhuǎn)移矩陣，CV為余弦可見度向量。

亮溫與余弦可見度間的余弦變換關(guān)系為

故鏡像綜合孔徑的重建亮溫是先由式(3)求解得到余弦可見度，再根據(jù)式(4)進(jìn)行反余弦變換得到。

3 轉(zhuǎn)移矩陣的病態(tài)性

由雙天線相關(guān)輸出求解余弦可見度為一個數(shù)學(xué)反問題，求解反問題需要考慮其不適定性。而式(3)是一個第1類Fredholm的離散模型的方程組形式，是一個典型的病態(tài)方程，其解是不穩(wěn)定、不唯一的，即式(3)是不適定的。若采用廣義逆求解式(3)

其中，P+為轉(zhuǎn)移矩陣P的廣義逆矩陣。當(dāng)相關(guān)輸出存在任何微小的誤差或噪聲時，求解得到的余弦可見度結(jié)果將很不穩(wěn)定，含有很大誤差，嚴(yán)重偏離正確值。而鏡像綜合孔徑的重建亮溫是由余弦可見度經(jīng)過余弦變換得到，余弦可見度的誤差將導(dǎo)致重建亮溫圖像的失真。圖像誤差可以用誤差條件下的重建亮溫與理想條件下的重建亮溫Tid的均方根值來衡量

其中，M代表像素點(diǎn)數(shù)。

以一個24單元的雙L陣列為例，仿真存在系統(tǒng)噪聲時，鏡像綜合孔徑的成像效果。系統(tǒng)帶寬設(shè)置為200 MHz，積分時間為0.05 s，接收機(jī)噪聲溫度為500 K。余弦可見度函數(shù)由式(5)求解得到。雙L陣列如圖2所示。仿真場景為環(huán)形展源(模擬電暖器實(shí)驗(yàn)場景)，理想的重建亮溫結(jié)果如圖3所示。加入系統(tǒng)噪聲后的重建亮溫圖像如圖4所示。從仿真結(jié)果可以看出，加入系統(tǒng)噪聲后，重建亮溫圖像背景不均勻，且目標(biāo)輪廓扭曲，圖像質(zhì)量不佳，圖像誤差ΔT = 103 K。

圖4的結(jié)果主要是由于受誤差影響，轉(zhuǎn)移矩陣P的條件數(shù)“很大”，得到的余弦可見度含有較大誤差。

假設(shè)轉(zhuǎn)移矩陣P穩(wěn)定不變的情況下，由矩陣論[10]，有

圖2 雙L陣列

其中，||δR||表示相關(guān)輸出向量R的噪聲，||δCV||為由||δR||導(dǎo)致的余弦可見度CV的誤差，cond(P)為轉(zhuǎn)移矩陣P的條件數(shù)，記為其中，σmax為轉(zhuǎn)移矩陣P的最大奇異值，σmin為轉(zhuǎn)移矩陣P的最小奇異值。

條件數(shù)可用于衡量誤差或噪聲經(jīng)轉(zhuǎn)移矩陣P到余弦可見度CV的擴(kuò)大程度。當(dāng) cond(P)趨近于1時，相關(guān)輸出向量R或轉(zhuǎn)移矩陣P的一個較小擾動只引起余弦可見度CV的一個很小擾動，此時轉(zhuǎn)移矩陣P為良態(tài)矩陣，否則，就稱為病態(tài)矩陣。并且，條件數(shù)越大，矩陣的病態(tài)性也越大。

圖3 理想重建亮溫圖像

圖4 帶系統(tǒng)噪聲的重建亮溫圖像

圖5 轉(zhuǎn)移矩陣P 的奇異值

雙L陣對應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣P的奇異值如圖5所示?？梢钥吹?，其奇異值從第162號開始均為0，即σmin=0。由式(7)可知，此轉(zhuǎn)移矩陣P的條件數(shù)為無窮大，轉(zhuǎn)移矩陣P是相當(dāng)病態(tài)的。故系統(tǒng)噪聲經(jīng)過轉(zhuǎn)移矩陣P的傳播，得到的重建亮溫圖像誤差較大。

根據(jù)奇異值分解理論，轉(zhuǎn)移矩陣P的有效奇異值(非零奇異值)個數(shù)等于轉(zhuǎn)移矩陣的秩。所以，對于秩虧的轉(zhuǎn)移矩陣，必然存在σmin=0，即轉(zhuǎn)移矩陣為病態(tài)的。對于圖2中的雙L陣，其轉(zhuǎn)移矩陣P的大小為276×188, P的秩rank(P)為161，故雙L陣的轉(zhuǎn)移矩陣是秩虧且是病態(tài)的。

顯然，在所有陣列中，滿陣的秩應(yīng)是最大的[11]，表1討論了不同大小的滿陣所對應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣P及其秩的大小?？梢钥吹剑?維鏡像綜合孔徑中，即使是天線數(shù)最多的滿陣也存在秩虧問題。故可以得出，在鏡像綜合孔徑中所有陣列的轉(zhuǎn)移矩陣均存在秩虧問題，轉(zhuǎn)移矩陣為病態(tài)的。

表1 滿陣的秩

4 截斷奇異值分解

截斷奇異值分解是一種正則化方法，在信號降噪[12,13]、特征提取[14]、數(shù)據(jù)壓縮[15]、數(shù)據(jù)反演[16]、圖像加密[17]等領(lǐng)域均有廣泛地應(yīng)用。本文將截斷奇異值分解用于鏡像綜合孔徑的亮溫重建過程，獲取式(3)的穩(wěn)定近似解。

對于式(3)中的轉(zhuǎn)移矩陣P( V ∈Rm×n)，存在正 交 矩 陣U( U ∈Rm×m)和 正 交 矩 陣V(V ∈Rn×n)，使得矩陣P可以表示成

其中， Λ=diag(σ1,σ2,···,σr)為矩陣P的奇異值組成的對角矩陣，且滿足σ1≥σ2≥...≥σr。

由圖5可知，矩陣P的奇異值由大到小，逐漸為零。對于無噪聲的系統(tǒng)，非零的奇異值才是有效的。而對于含有噪聲的系統(tǒng)，等于零的奇異值與部分由噪聲引起的較小的奇異值均是無效的，會導(dǎo)致解向量CV與精確解偏差很大。為此，對矩陣P采用截斷奇異值分解，截去較小的奇異值，保留較大的奇異值，以減小 cond(P)，降低矩陣P的病態(tài)性，提升結(jié)果的有效性與穩(wěn)定性。截去較小的奇異值后，用剩余的奇異值重新構(gòu)建轉(zhuǎn)移矩陣P為Pr

其中， σk> 0，為截斷閾值，小于此閾值的各奇異值均被截斷。

因此，利用截斷奇異值分解進(jìn)行亮溫重建的步驟為：

(1) 對鏡像綜合孔徑的轉(zhuǎn)移矩陣P進(jìn)行奇異值分解；

(2) 觀察奇異值曲線，根據(jù)實(shí)際情況，選擇合適閾值，截去小于閾值的奇異值及與其相關(guān)的左、右奇異向量；

(3) 利用截斷后的奇異值及與其相關(guān)的左、右奇異向量，構(gòu)建新的轉(zhuǎn)移矩陣Pr；

(4) 由新的轉(zhuǎn)移矩陣Pr與相關(guān)輸出向量R求解出余弦可見度向量CV；

(5) 利用求解得到的余弦可見度獲得重建亮溫。

對上一節(jié)中的仿真，采用截斷奇異值分解后，得到的成像結(jié)果如圖6所示。可以看到，此時的成像結(jié)果與理想情況下的成像結(jié)果接近，背景噪聲明顯減少，圖像輪廓清晰，圖像誤差ΔT = 17 K，驗(yàn)證了該亮溫重建方法的有效性。

5 實(shí)驗(yàn)

下面通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步對截斷奇異值分解的亮溫重建效果進(jìn)行驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為鏡像綜合孔徑微波輻射計系統(tǒng)(Mirrored Aperture Synthesis at the V band,MAS-V)[18,19]。MAS-V接收系統(tǒng)工作在V波段51～59 GHz，共7個頻點(diǎn)，通過調(diào)節(jié)本振的頻率可以實(shí)現(xiàn)不同頻點(diǎn)的切換。MAS-V系統(tǒng)共24路接收通道，包括6個四通道射頻前端模塊、3個八通道中頻模塊。接收天線陣列可排布為不同的陣列形式：1維線陣、T形陣、U形陣、雙L陣等。實(shí)驗(yàn)時，系統(tǒng)工作頻率設(shè)置為51.6 GHz，接收天線單元為矩形喇叭天線。陣列排布與仿真相同，為24單元的雙L陣，相鄰天線間最小間距為3.5倍波長，實(shí)物圖如圖7(a)所示。帶雙反射板的MAS-V系統(tǒng)觀測電暖器的實(shí)驗(yàn)場景如圖8所示，反射板與陣列距離為1.75倍波長。此時，系統(tǒng)在兩個維度上的空間分辨率分別為0.0184 rad與0.0248 rad[8]。場景目標(biāo)為電暖器，如圖7(b)所示。場景目標(biāo)與天線陣列距離約為4 m。

圖6 截斷奇異值分解后的重建亮溫圖像

由于實(shí)際系統(tǒng)不可避免地存在誤差，由式(2)求解的余弦可見度函數(shù)存在較大誤差，得到的重建亮溫圖像質(zhì)量較差，如圖9所示。采用截斷奇異值分解后得到的重建亮溫圖像如圖10所示，圖像質(zhì)量提升明顯，電暖器的輪廓較清晰。由于電暖器中部受金屬遮擋，成像結(jié)果成環(huán)形高亮溫，與實(shí)物圖吻合。實(shí)驗(yàn)結(jié)果有效驗(yàn)證了截斷奇異值分解的有效性。

圖7 實(shí)物圖

圖8 實(shí)驗(yàn)場景

圖9 電暖器的重建亮溫圖像

圖10 截斷奇異值后的電暖器重建亮溫圖像

6 結(jié)論

由于鏡像綜合孔徑轉(zhuǎn)移矩陣的病態(tài)性，求解的余弦可見度函數(shù)十分不穩(wěn)定。實(shí)際系統(tǒng)的相關(guān)輸出不可避免地存在誤差與噪聲，經(jīng)過轉(zhuǎn)移矩陣的傳播擴(kuò)大，余弦可見度函數(shù)存在較大誤差，導(dǎo)致最后反演的亮溫圖像失真。本文給出了一種基于截斷奇異值分解的鏡像綜合孔徑亮溫重建方法，較好地解決亮溫重建中存在的病態(tài)問題。并對電暖器目標(biāo)進(jìn)行了仿真與實(shí)驗(yàn)。從仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，采用截斷奇異值分解后的重建亮溫圖像背景噪聲明顯減少，目標(biāo)輪廓更清晰，并且仿真中的圖像誤差從103 K減小到17 K。結(jié)果表明截斷奇異值分解能有效降低噪聲，對圖像質(zhì)量的提升起到重要作用。