一個新多渦卷混沌系統(tǒng)的設計及在圖像加密中的應用

擺玉龍 楊 陽 唐麗紅

(西北師范大學物理與電子工程學院 蘭州 730070)

1 引言

混沌系統(tǒng)是一種非線性動力系統(tǒng)，具有不規(guī)則性、非周期性、不可預測性和對初始條件極其敏感的特性[1]。由于洛倫茲在氣象模型中首次觀測到混沌現(xiàn)象，因此混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生一直被認為是一種有趣的非線性現(xiàn)象，對混沌系統(tǒng)已有一些研究。例如Rossler系統(tǒng)[2]，Arneodo 系統(tǒng)[3]，Chen系統(tǒng)[4]等。由于混沌系統(tǒng)在模式識別、神經(jīng)網(wǎng)絡、保密通信、密碼學等中應用廣泛，所以混沌系統(tǒng)得到了廣泛的關注[5—10]，研究人員不斷探索混沌理論在不同的領域中的新應用。一般而言，渦卷越多，混沌行為的動力學和拓撲結構就越復雜[7]?，F(xiàn)有的混沌系統(tǒng)多為單渦卷或雙渦卷系統(tǒng)，它們很少包含3個或更多的渦卷，即使它們是用非光滑函數(shù)而不是光滑非線性項構造的。

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術的快速發(fā)展，人們交流密切會導致大量的信息泄露，信息安全成為當今社會需要解決的問題。數(shù)字圖像具有數(shù)據(jù)量大且像素之間相關性強的特點[8,9]，混沌系統(tǒng)具有隨機性，因此將混沌系統(tǒng)應用到圖像加密中具有一定的優(yōu)勢。在本文中，采用Arnold預處理與DNA加密算法相結合的雙重加密，對加密前后圖像相鄰像素的直方圖、相關性等進行了分析。結果表明，本文所提出的混沌系統(tǒng)應用于圖像加密具有較高的安全性能。

本文的其余部分按如下結構組織：在第2節(jié)介紹一個3維空間三渦卷混沌系統(tǒng)；在第3、第4節(jié)將討論所提出的混沌系統(tǒng)的動力學行為以及穩(wěn)定性，對李雅普諾夫指數(shù)進行數(shù)值計算，然后分別對混沌系統(tǒng)的分岔圖、龐加萊截面圖、頻譜圖進行分析；電路實現(xiàn)以及仿真結果安排在第5節(jié)；第6節(jié)對于圖像加密進行分析；第7節(jié)給出了結論。

2 一種新的混沌系統(tǒng)

設計的3維混沌系統(tǒng)，在一定的參數(shù)下體現(xiàn)出良好的混沌行為，其數(shù)學模型為

其中，x, y, z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，α=40, β =0.9,γ =0.5, δ =0.6, ε=12為系統(tǒng)的參數(shù)。當系統(tǒng)的參數(shù)為 α =40, β =0.9, γ =0.5, δ =0.6, ε=12時，初始值為(1,0,0)時，系統(tǒng)式(1)存在復雜的混沌現(xiàn)象，包含著復雜的拉伸和扭曲結構，如圖1所示，但是從整體上看系統(tǒng)又是穩(wěn)定的。

利用4階龍格庫塔算法解方程式(1)，步長設置為0.001。圖1(a)、圖1(b)、圖1(c)分別展示了系統(tǒng)式(1)混沌吸引子在(x, y), (x, z)和(y, z)3個平面的2維映射圖，圖1(d)表示的是混沌吸引子的3維映射圖。

3 多渦卷系統(tǒng)動力學特性分析

3.1 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

Lyapunov指數(shù)(LE)可以定量地表征系統(tǒng)的運動狀態(tài)特性，形象地描述系統(tǒng)相鄰軌跡之間彼此吸引和排斥的程度，是刻畫混沌系統(tǒng)的一個最重要的物理量。因此利用LE譜能夠清晰地觀察到當系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨之發(fā)生變化，曲線由上向下依次表示為LE1, LE2和LE3。當系統(tǒng)參數(shù)設置為α=40, β =0.9, γ =0.5, δ =0.6,ε=12時，計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為LE1=0.5598, LE2=0.0006, LE3=－3.1715，圖2給出了在δ=[0.5, 0.8]時該混沌系統(tǒng)隨著參數(shù)δ 發(fā)生變化時的曲線，觀察曲線可以看出，當δ=[0.5, 0.52]時，只有一個LE1=0，其他兩個LE指數(shù)小于0，表明此區(qū)間為周期運動；當 δ=[0.5202, 0.5256], [0.5343,0.5478], [0.5518, 0.6887], [0.6931, 0.7182], [0.7373,0.7532]時，可以觀察到存在正的LE指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。綜合來說， δ的變化區(qū)間內保持一個正的、一個接近于0、一個負的LE指數(shù)，存在混沌吸引子，系統(tǒng)始終處于復雜的混沌狀態(tài)。

系統(tǒng)的LE維數(shù)

圖1 三渦卷混沌系統(tǒng)的相圖

顯然系統(tǒng)式(1)的Lyapunov維數(shù)是分數(shù)維，表示一個奇異吸引子，說明系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)，具有復雜的分形結構。

3.2 分岔圖和龐加萊截面圖

分岔是非線性領域一個重要的內容。圖3給出了混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量z隨著系統(tǒng)參數(shù)δ 發(fā)生變化時的分岔圖，可以清晰地觀察到系統(tǒng)的周期、倍周期、混沌運動的參數(shù)范圍等。將其與 LE譜進行對比分析之后發(fā)現(xiàn)，兩者隨參數(shù)的變化情況基本一致，可以看出混沌系統(tǒng)關于z=0對稱。

Poincare截面對于分析多變量的系統(tǒng)很有效果，由于系統(tǒng)是3維的，所以在相空間中應做2維的Poincare截面圖，如圖4所示利用MATLAB選取x=0, y=0, z=0分別得到y(tǒng)–z, x–z, x–y平面上的Poincare截面，當Poincare截面上只有1個不動點或少數(shù)離散點時，運動是周期的；當Poincare截面上是1條封閉的連續(xù)曲線時，運動是擬周期的；當Poincare截面上是一段連續(xù)曲線或是一些成片的密集點時，運動是混沌的。通過觀察截面圖，可以驗證系統(tǒng)是混沌的[4]。

3.3 功率譜分析

圖2 參數(shù)δ 變化時的Lyapunov指數(shù)譜

周期信號的功率譜是離散譜，非周期信號的功率譜是連續(xù)譜。對于混沌系統(tǒng)來說，產(chǎn)生的混沌信號是非周期信號，所以其功率譜也應為連續(xù)譜。由此可見，可以用功率譜來分析區(qū)別周期信號和混沌信號。圖5給出了系統(tǒng)式(1)的功率譜圖，可以觀察到是連續(xù)譜。

4 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

4.1 耗散性

通過式(3)得到系統(tǒng)的散度

系統(tǒng)的散度γ z ?α+ε+β =?27.1<0，其中z恒為0，散度小于0，所以系統(tǒng)是耗散的，并且系統(tǒng)以指數(shù)形式=e?27.1t收斂。當t →∞ 時，所有的系統(tǒng)軌線最終將會被限制在一個體積為零的極限點集上，而且它的動力學行為將會被固定在一個吸引子上，這充分證明了吸引子的存在。

4.2 平衡點

為求系統(tǒng)平衡點，令非線性混沌系統(tǒng)式(1)方程的右邊等于零，得到

當參數(shù)為 α=40, β =0.9, γ =0.5, δ =0.6, ε=12，系統(tǒng)的平衡點集為(0, 0, 0), (±P,±(α ?γ)PQ,

圖3 z變量隨參數(shù)δ 變化時的分岔圖

圖4 系統(tǒng)式(1)的Poincare截面圖

圖 5 系統(tǒng)的功率譜圖α(ε+1)Q)，在平衡點集(0, 0, 0)處，線性化系統(tǒng)[6]得到Jacobi矩陣

令det(J ?λI)=0，其I為單位矩陣，求得系統(tǒng)在平衡點(0, 0, 0)處的特征值為λ1=?40.7581,λ2=12.7581, λ3=0.9，有兩個正的特征值，一個負的特征值，說明平衡點(0, 0, 0)是不穩(wěn)定的鞍點。

5 電路設計與仿真實驗

對系統(tǒng)進行了理論分析和數(shù)值仿真之后，為了進一步驗證混沌系統(tǒng)的動力學行為，本節(jié)將在實驗上通過設計非線性模擬電路進行驗證分析。首先對系統(tǒng)式(1)進行了尺度變換，令μ=kax, υ =kay,z =kaz, τ =ktt, ka是 振幅變換系數(shù)，kt是時間變換系數(shù)。應用上述變換，系統(tǒng)式(1)變?yōu)?/p>

其中，μ , υ, w是 新的狀態(tài)變量，ka=0.025, kt=100，電路原理圖如圖6所示，便于系統(tǒng)的電路實現(xiàn)，運算放大器選用LM358，乘法器選用AD633JN，電源選用± 15V。應用算法方程式(6)變?yōu)?/p>

其中， μc1,,μc2,μc3分別是通過C1,C2,C3的電壓。通過對比方程式(6)和方程式(7)，可以得到

令C1=C2=C3=0.1，對于方程式(8)，我們取R1=R2=2.5 k?, R3=500 ?, R4=100 k? , R5=10 k?, R6=R8=250 ?, R7=110 k?, R9=417 k?,R10=R11=R12=R14=R15=10 k?。

通過在Multisim電路仿真軟件上進行驗證，得到的相位圖如圖7所示，通過比較發(fā)現(xiàn)，理論吸引子和電路吸引子比較相似。因此該混沌系統(tǒng)在數(shù)值分析和實驗研究方面得到了證實，存在吸引子。

6 在圖像加密中的應用

設計新型的圖像加密算法[10]已經(jīng)成為現(xiàn)在研究的熱點?！爸脕y”是一種傳統(tǒng)的圖像加密方法[11]，它有許多的優(yōu)點但是仍然存在局限性，1次加密算法被證明是不安全的，很容易被選擇明文攻擊所攻破，因此配合混沌系統(tǒng)和新的算法可以達到更好的加密效果。本文所采用的圖像加密算法為雙重加密，以一副大小為M ×N的彩色圖像為例，先對原始圖像進行Arnold變換置亂進行預處理，然后對變換后的1次加密圖像進行DNA加密運算，加密流程如圖8所示。

6.1 預處理

Arnold置亂變換是由Arnold提出的一種置亂方法[12]，該方法最初是對貓臉圖像進行操作，因此也稱為貓臉變換，實質是新舊位置的一一映射，具體變換矩陣公式為

其中，x ,y ∈{0,1,···,N ?1}表示的是置亂變換前像素點位置，( x′,y′)表示的是變換后的位置，mod表示模運算，N表示正方形圖像的邊長。Arnold變換多項式公式為

6.2 DNA加密

首先，利用ode45算法計算混沌系統(tǒng)的初始值并迭代混沌系統(tǒng)，去除前1500項獲得更好的隨機性，得到3個混沌序列{ xi,yi,zi} ，其中將{ zi}混沌序列轉化為0～255之間的整數(shù)，然后將其轉換為與預處理之后的大小一致的矩陣R，接下來利用大小為t ×t的方陣分別對混沌矩陣和置亂矩陣進行均勻分塊，得到的總塊數(shù)為( M/t+N/t)×3 。 設I(x,y)為圖像在( x,y) 處 的灰度值，將I 相鄰的比特面兩兩合并得到I1={i1i2}, I2={i3i4}, I3={i5i6}, I4={i7i8}作為混沌系統(tǒng)的初值，最后進行DNA編碼。實驗結果表明，雙重加密在很大程度上提高了加密算法的安全性和效率，圖9分別是加密前后的Lena圖像，由圖可知，加密圖像已看不出原始圖像所具有的特征，即沒有明顯的規(guī)律性。

圖6 電路原理圖

圖7 電路實驗吸引子相圖

6.3 相關性分析

數(shù)字圖像的各相鄰像素間在水平、垂直和對角線方向的相關性很大，接近于1。圖像加密的目的就是要破壞相鄰像素之間的相關性，所以下面將通過對比加密前后圖像的相鄰像素的分布圖研究加密效果。相關系數(shù)為

其中，x, y分別表示圖像中相鄰兩個像素點的像素值，n是像素總數(shù)，E(x)和D(x)分別表示所對應的像素的灰度值的期望和方差。

選擇大小為256×256的明文圖像和加密后的密文圖像，分別在水平、垂直和對角線3個方向上對明文圖像和密文圖像的相鄰像素進行分析，選取水平方向相關性曲線結果如圖10所示，明文圖像存在明顯的相關性，而對應的密文圖像則均勻分布，說明該算法破壞了原始圖像的相關特征。圖11給出了加密后3個方向3個通道的完整相關性曲線圖。

圖8 圖像加密算法框架圖

計算加密前后圖像在水平、垂直和對角線3個方向上的相關系數(shù)，分別取3個方向上3個通道的平均值，結果見表1。由表可知，明文圖像在3個方向上的相關性很強接近于1，而對應的密文圖像的像素均勻分布，其相關系數(shù)接近于0，與其他加密方法對比后可知，該加密效果非常明顯。

6.4 灰度直方圖

圖像的直方圖是圖像的重要統(tǒng)計特征，圖12給出了加密前后圖像的直方圖，從圖中可以看出明文圖像的直方圖分布不均勻，顯示了像素的統(tǒng)計特性；而密文圖像的直方圖分布較均勻。

6.5 信息熵分析

信息熵是衡量信息隨機性的度量指標，反映了加密后密文圖像的像素值隨機分布信息，信息熵為

其中，p(si)表示該像素值在整幅圖像中所占的概率，2n表示圖像中像素值的所有狀態(tài)。本加密算法中，取3個信道信息熵的平均值，得到的信息熵為7.9995，非常接近理想值8，如表2所示。

7 結論

圖9 圖像加密效果

圖10 水平方向R通道相鄰像素分布

圖11 加密后完整相鄰像素分布

表1 相鄰像素在不同方向上的相關系數(shù)

圖12 圖像像素分布直方圖

表2 RGB三個通道的信息熵

本文設計了一個三渦卷混沌系統(tǒng)，分別分析了三渦卷混沌系統(tǒng)的平衡點性質、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、Poincare截面圖以及頻譜圖，充分呈現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌特性。然后進行了硬件電路實驗，發(fā)現(xiàn)電路仿真與數(shù)值分析的結果一致，最后將混沌系統(tǒng)與DAN算法相結合設計了圖像加密方案，極大地增強了算法的安全性。通過對各性能指標的分析，發(fā)現(xiàn)該算法具有較好的加密效果和潛在的應用價值，可廣泛應用于保密通信領域。