關(guān)于庫(kù)存產(chǎn)品質(zhì)量水平評(píng)估的一種快速算法

（蘇州華旃航天電器有限公司，江蘇蘇州 215000）

質(zhì)量管理幾乎貫穿于人類的所有活動(dòng)，當(dāng)人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)從數(shù)量的多少上升到質(zhì)量的優(yōu)劣，學(xué)會(huì)判斷和選擇“質(zhì)量更好”的事物時(shí)，人類就開啟了追求質(zhì)量甚至創(chuàng)造質(zhì)量的漫漫長(zhǎng)路，可以說人類發(fā)展史在某種意義上講也是一部質(zhì)量管理的發(fā)展史。在實(shí)際生產(chǎn)生活中，為了達(dá)到更好的質(zhì)量，人們做了大量的研究和探索，總的來說，在國(guó)際上大體的發(fā)展脈絡(luò)可以分為4 個(gè)階段：20 世紀(jì)30 年代之前，質(zhì)量保證以自發(fā)檢驗(yàn)或?qū)Ｂ殭z驗(yàn)為主；20 世紀(jì)30 年代到60 年代開始全面引入“統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制”；20 世紀(jì)60 年代到20 世紀(jì)末，TQM（全面質(zhì)量管理）和質(zhì)量管理體系交映生輝，發(fā)展出了直到現(xiàn)在依舊耳熟能詳?shù)囊幌盗匈|(zhì)量管理手段和方法，例如：ISO 質(zhì)量體系認(rèn)證，TS16949（現(xiàn)稱為IATF16949），VDA 等汽車產(chǎn)品獨(dú)有的質(zhì)量管理體系認(rèn)證，Six-Sigma（六西格瑪）管理，Lean-Six-Sigma（精益六西格瑪）管理，QCC 活動(dòng)等等；在進(jìn)入21 世紀(jì)后，質(zhì)量管理又從全面質(zhì)量管理上升到質(zhì)量哲學(xué)時(shí)代。隨著人們對(duì)質(zhì)量的要求越來越高，質(zhì)量管控的節(jié)點(diǎn)也越來越前移，當(dāng)發(fā)現(xiàn)質(zhì)量問題時(shí)，往往都會(huì)對(duì)庫(kù)存產(chǎn)品做風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估，但是在面對(duì)庫(kù)存品或在制品做質(zhì)量風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估這樣經(jīng)典且常見的問題時(shí)，卻一直沒有行之有效的快速算法。

在我國(guó)，早在春秋時(shí)期就已經(jīng)有了“物勒工名”的管理制度，從現(xiàn)代質(zhì)量管理的角度看，“物勒工名”就是追溯制度，以便于管理者檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，甚至能更進(jìn)一步追究不良產(chǎn)生時(shí)的人員責(zé)任。在現(xiàn)代，隨著國(guó)家的改革開放，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)急劇活躍、快速發(fā)展，我國(guó)的質(zhì)量管理在吸收大量的國(guó)外管理經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，也在結(jié)合自身的特點(diǎn)不斷的迭代。由于發(fā)展速度快，管理水平參差不齊，總的來說現(xiàn)在處于一種“混合”狀態(tài)：大量的企業(yè)在申報(bào)ISO9000 系列質(zhì)量管理體系，也有很多企業(yè)在推行全面質(zhì)量管理，更有優(yōu)秀的企業(yè)在推行自身的質(zhì)量管理標(biāo)準(zhǔn)；但從另一個(gè)角度看，也存在部分企業(yè)，在基本的產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)和質(zhì)量把關(guān)上沒有清晰的定位，在遇到問題時(shí)，沒有明確的庫(kù)存產(chǎn)品質(zhì)量風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法。從這個(gè)角度講，企業(yè)的質(zhì)量管理就是夾生飯，是一種“混合”的管理。在“混合”管理模式下，出現(xiàn)質(zhì)量問題時(shí)，對(duì)庫(kù)存產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估更多是靠管理員的經(jīng)驗(yàn)或者客戶的直接要求，全檢還是抽樣檢驗(yàn)，抽樣多少是管理員說了算還是客戶說了算。

為解決這個(gè)問題，我們需要把問題回歸到原點(diǎn)—當(dāng)發(fā)現(xiàn)問題時(shí)，如何快速的對(duì)現(xiàn)有庫(kù)存或在制品做風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。沒有交付的質(zhì)量沒有意義,沒有質(zhì)量的交付同樣沒有意義。只有對(duì)庫(kù)存和在制品快速評(píng)估，快速處置，才能爭(zhēng)取到寶貴的時(shí)間對(duì)根因做進(jìn)一步分析，并加以改善。

1 現(xiàn)行抽樣檢驗(yàn)方法的歷史及其局限性

為了確認(rèn)產(chǎn)品或服務(wù)的各個(gè)特性是否合格，測(cè)量、檢查、測(cè)試、量測(cè)產(chǎn)品或服務(wù)的一種或多種特性，并且與規(guī)定要求進(jìn)行比較的活動(dòng)稱為檢驗(yàn)[1]。只有對(duì)產(chǎn)品或服務(wù)進(jìn)行檢驗(yàn)，才能發(fā)現(xiàn)差異，當(dāng)產(chǎn)品或服務(wù)同規(guī)定要求的差異超過規(guī)定要求的極限時(shí)，就稱之為不合格?？梢哉f不經(jīng)過檢驗(yàn)，合格或不合格也就無從談起。

為確認(rèn)一批產(chǎn)品是否符合規(guī)定的要求，最保險(xiǎn)的做法是對(duì)照規(guī)定的要求，對(duì)逐一條款的逐一產(chǎn)品進(jìn)行100%的比對(duì)，區(qū)分合格品或不合格品。在20 世紀(jì)30 年代前，大部分質(zhì)量工作都是依此進(jìn)行。但隨著經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的發(fā)展，產(chǎn)品的數(shù)量呈幾何性上升，數(shù)量急劇膨脹，在實(shí)際生產(chǎn)中，尤其在出現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量異常，需要對(duì)庫(kù)存產(chǎn)品和在制品的質(zhì)量風(fēng)險(xiǎn)做評(píng)估時(shí)，100%檢驗(yàn)已經(jīng)難以嚴(yán)格遵循。而評(píng)估產(chǎn)品的質(zhì)量風(fēng)險(xiǎn)又是在實(shí)際生產(chǎn)中時(shí)常要面對(duì)的環(huán)節(jié)。為了解決這個(gè)問題，人們引入了抽樣檢驗(yàn)的概念—從一批待判斷質(zhì)量是否合格的產(chǎn)品中，基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方式隨機(jī)抽取部分產(chǎn)品進(jìn)行判斷，并以抽取產(chǎn)品的質(zhì)量情況來代表整體產(chǎn)品的質(zhì)量狀況。由此可見，抽樣檢驗(yàn)是一種以數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的科學(xué)的檢驗(yàn)方法，是質(zhì)量監(jiān)控的最重要、最基礎(chǔ)的技術(shù)手段。

我國(guó)制造業(yè)現(xiàn)行的，最廣泛采用的抽樣方式為GB/T 2828.1-2012《計(jì)數(shù)抽樣檢驗(yàn)程序 第一部分：按接收質(zhì)量限（AQL）檢索的逐批檢驗(yàn)抽樣計(jì)劃》，以下簡(jiǎn)稱為GB/T 2828.1。此標(biāo)準(zhǔn)為我國(guó)參考ISO 2859-1:1999 Sampling procedures for inspection by attributes 制訂的，即同等采用。這意味著兩者在內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上完全一樣。而ISO 2859 的原始標(biāo)準(zhǔn)是參考了美國(guó)軍標(biāo)MILSTD-105D:Sampling procedures and tables for inspection by attributes.Version:D 調(diào)整型抽樣標(biāo)準(zhǔn)。這份標(biāo)準(zhǔn)最初稱之為JAN-STD-l05（Joint Army-Navy Standard l05），于1949年設(shè)計(jì)完成，在1950 年JAN-STD-l05 被修訂為MIL-STDl05A。隨后在1958 年、1961 年、1963 年和1989 年分別推出了MIL-STD-l05B、MIL-STD-l05C、MIL-STD-l05D 和MILSTD-l05E，特別注意的是E 版本和D 版本基本類似，只是在文字部分加以修訂并另行編排。MIL-STD-105D 的民間版于1971年推出，美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局ANSI 隨之將其列入美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，稱之為ANSI/ASQCZ1.4。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織于1974 年將ANSI/ASQCZ1.4 稍作修正，并頒布了ISO 2859。美國(guó)軍方已于1996年用新的美軍標(biāo)MIL-STD-1916 取代MIL-STD-l05E，即MILSTD-l05E 在美軍方已經(jīng)廢止。

可以看出，由于此標(biāo)準(zhǔn)在推出時(shí)代上有天生的局限性，其采用了接收質(zhì)量限AQL，并用AQL 來規(guī)定樣本中的最大不合格品率，這也就意味著接受抽樣中的不合格品出現(xiàn)。例如：一批產(chǎn)品的數(shù)量為5000 只，假設(shè)AQL=0.15%（即良品率為99.85%），按照GB/T 2828.1 的要求，樣本量字碼為“L”，在“正常抽樣一次抽樣方案”表中，查詢得到結(jié)果為：抽樣數(shù)量=200，Ac=1，Rc=2，這意味著在200 個(gè)樣品中，發(fā)現(xiàn)1 個(gè)不良，此批5000 個(gè)產(chǎn)品同樣認(rèn)為是合格的。這個(gè)抽樣方案會(huì)帶來以下兩個(gè)問題。

問題1：抽樣的200 個(gè)樣品中，出現(xiàn)一個(gè)不良，也可以認(rèn)為總體5000 個(gè)產(chǎn)品滿足良率99.85%的質(zhì)量水平，可是200 個(gè)樣品中出現(xiàn)一個(gè)不良，在不考慮不良品分布的情況下（即假設(shè)不良品平均分布在總體中），不良率是不是應(yīng)該為1/200=0.5%呢？

問題2：在“正常抽樣一次抽樣方案”表中，樣本量字碼為“L”，Ac=1，Rc=2，抽樣方案同樣滿足AQL=0.25%（即良品率為99.75%）的要求，那么總體的不良率（或良率）到底是多少呢？

2 抽樣的數(shù)學(xué)模型

為解決這個(gè)問題，需要重新看抽樣的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理。一般的抽樣方法為兩種，一種是不放回抽樣，即完成每一次對(duì)樣品的檢驗(yàn)后，樣品均不放回本體中，下一次抽樣永遠(yuǎn)不會(huì)抽到已經(jīng)檢驗(yàn)過的樣品，其每一次抽出的樣品，每一次檢驗(yàn)的結(jié)果，均為獨(dú)立事件，不管是否合格均不會(huì)對(duì)下一次抽樣帶來影響；另一種是放回抽樣，即完成每一次對(duì)樣品的抽樣后，樣品均放回本體中，下一次抽樣有可能還會(huì)抽到已經(jīng)檢驗(yàn)過的樣品[2]。這兩種抽樣方式，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格遵從以下兩種分布。

2.1 超幾何分布

檢驗(yàn)后的樣品不放回整體母本中，這樣整體N中抽樣n件產(chǎn)品的組合數(shù)為，在所有不良品中，抽樣出現(xiàn)k件不良品的組合數(shù)為，同樣的，抽樣n件產(chǎn)品在出現(xiàn)k件不良品后，剩余的應(yīng)該均為良品，其出現(xiàn)組合數(shù)為。

綜合以上，可得出發(fā)現(xiàn)k件不良的不合格品概率為：

記作X～H(n,M,N)。

其中，當(dāng)k=0 時(shí)，即意味著所有的抽樣中沒有發(fā)現(xiàn)不良品，由此可得[3]:

2.2 二項(xiàng)分布

檢驗(yàn)后的樣品需要放回整體母本中，這樣抽樣n件產(chǎn)品，出現(xiàn)k次不良的組合數(shù)為，由于每次抽樣后，產(chǎn)品均放回整體母本中，這樣出現(xiàn)k件不良品的概率為pk，同樣的，剩余的良品出現(xiàn)的概率為(1-p)n-k。綜合以上可以發(fā)現(xiàn)k 件不良的不合格品概率為：

記作X～B(n,p)。

其中，當(dāng)k=0 時(shí)，即意味著所有的抽樣中沒有發(fā)現(xiàn)不良品，由此可得[3]：

特別的，當(dāng)a=0 時(shí)，=1。

由以上公式可以得出一個(gè)重要推論：

證明如下：

當(dāng)N無限大時(shí)，不良品率，

由于n和k確定，所以：

利用數(shù)學(xué)我們證明了當(dāng)N→∞時(shí)，超幾何分布和二項(xiàng)分布相同；也就是說當(dāng)總體數(shù)量N足夠大時(shí)，無論是否為放回抽樣，在抽樣中出現(xiàn)不良品個(gè)數(shù)的概率是相同的。對(duì)于這個(gè)結(jié)論，我們也可以這樣理解，當(dāng)總體母本數(shù)量足夠大時(shí)，從中抽選幾個(gè)樣品，無論是否放回，抽樣出來的樣品數(shù)量和原始總體母本的數(shù)量相比微乎其微，所以其抽樣的結(jié)果對(duì)最終的結(jié)果影響也微乎其微了。下文借助Excel 的制表和制圖，用兩個(gè)具體的例子來作說明。

3 超幾何分布和二項(xiàng)分布的比較

借助Excel 表格中的超幾何分布函數(shù)HYPGEOM.DIST和二項(xiàng)分布函數(shù)BINOMDIST，可以非常方便的得出數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，下文只針對(duì)固定不良率和固定抽樣數(shù)量這兩種情況，各舉一個(gè)例子來做示范。

示例一：假設(shè)母本N=1000，不良品M=10，不良率=1%，假設(shè)抽樣中沒有發(fā)現(xiàn)不良品，不同的樣本數(shù)量對(duì)應(yīng)的超幾何分布和二項(xiàng)分布的數(shù)據(jù)如表1 所示。

基于這些數(shù)據(jù)，以抽樣數(shù)為X 軸，以分布函數(shù)的或然率為Y 軸，可以得出如圖1 所示的對(duì)比圖。由圖1 可以看出，在此條件下，超幾何分布和二項(xiàng)分布的差異不大。

圖1 固定不良率下兩種概率分布的或然率對(duì)比圖

示例二：假設(shè)母本N=1000，抽樣數(shù)量為10，假設(shè)抽樣中沒有發(fā)現(xiàn)不良品，不同的不良率對(duì)應(yīng)的超幾何分布和二項(xiàng)分布的數(shù)據(jù)如表2 所示。

基于這些數(shù)據(jù)，以不良率為X 軸，以分布函數(shù)的或然率為Y 軸，可以得出如圖2 所示的對(duì)比圖。

表1 固定不良率下兩種概率分布的或然率

表2 固定抽樣數(shù)量下兩種概率分布的或然率

從上述的實(shí)例可以看出，當(dāng)母本數(shù)量N遠(yuǎn)大于抽樣數(shù)量M時(shí)，超幾何分布和二項(xiàng)分布的結(jié)果可以視為在工程上無差異。在實(shí)際中，一般認(rèn)為當(dāng)N＞100M 時(shí)，超幾何分布和二項(xiàng)分布幾乎沒有差異，在滿足這個(gè)條件時(shí)，一般會(huì)使用二項(xiàng)分布來代替超幾何分布。

4 快速算法的引出

從二項(xiàng)分布的公式：

可以看出，二項(xiàng)分布在實(shí)際計(jì)算中，概率密度僅和抽樣中的不良數(shù)量（或良品數(shù)量）、抽樣的數(shù)量、不良率（或良率）相關(guān)，而同總體母本無關(guān)，這樣就使得我們可以將母本做切分，從而給快速評(píng)估母本總體質(zhì)量水平帶來可能。

同時(shí)，本文做如下假定：不良品在母本中“均勻”分布。這是因?yàn)樵谌粘Ｉa(chǎn)中，庫(kù)存品的管控一般都是以Lot/批量為基礎(chǔ)的，如果不良在一個(gè)批次中以隨機(jī)的形式出現(xiàn)，我們可以認(rèn)為在同一批次中不良是平均分布的；如果出現(xiàn)特殊情況，我們同樣可以用切分的形式，把同一Lot 切分成多個(gè)子Lot，從子Lot 的角度看，不良是均布的；或者將相鄰的Lot 合拼成一個(gè)Lot 組，從Lot 組的角度看，不良品同樣是均布的。

圖2 固定抽樣數(shù)量下兩種概率分布的或然率對(duì)比圖

在這樣的假定下，結(jié)合上文的推導(dǎo)，我們使用二項(xiàng)分布來評(píng)估，同時(shí)由上文可知：

這意味著，抽樣n個(gè)產(chǎn)品，出現(xiàn)所有k次不良的概率應(yīng)為1 減去沒有出現(xiàn)不良的概率。

一般的，當(dāng)我們抽到不良時(shí)，無論不良品數(shù)量多少，我們都會(huì)對(duì)整體的質(zhì)量水平產(chǎn)生疑問。基于此得出我們的結(jié)論：在快速計(jì)算抽樣數(shù)量時(shí)，抽樣方案中出現(xiàn)不良品的概率為：

這個(gè)公式說明，在已知不良率的情況下，在抽樣中抽到不良品的概率只同不良率和抽樣數(shù)量相關(guān)，同樣的這也符合一般的認(rèn)知：不良率越高，抽到不良品的概率越大；抽樣數(shù)量越多，抽樣的結(jié)果越可信。

如果不良率為10%，我們抽樣10 個(gè)，其結(jié)果為多少呢？通過計(jì)算可以得出有65.13%的概率可以抽到不良品；如果不良率為1%，我們抽樣100 個(gè)，其結(jié)果為多少呢？通過計(jì)算可以得出有63.40%的概率可以抽到不良品。從這兩個(gè)例子中可以看出，我們能夠通過不良率，在比較高的置信率下快速計(jì)算出抽樣數(shù)量,而1-p的本質(zhì)其實(shí)就是良率，在固定良率的基礎(chǔ)上，抽樣的數(shù)量就是良率的抽樣次方，也就是一個(gè)底小于1 的指數(shù)函數(shù)。

基于以上分析，如果我們已知不良率為p，那我們的抽樣數(shù)量N一般可以用以下公式快速得到：，也就是2 到5 倍的不良率的倒數(shù)。

我們同樣用上邊的例子來說明，當(dāng)不良率為10%時(shí)，選α=2，則抽樣數(shù)量為20，在這個(gè)抽樣數(shù)量下我們抽到不良品的概率為1-(1-10%)20=87.84%。同樣，我們也可以計(jì)算出當(dāng)不良率為1%時(shí)，選取1%倒數(shù)的2 倍，則抽到不良品的概率為86.6%。

已知不良率，用不良率倒數(shù)的2 到5 倍作為抽樣數(shù)，可以在一個(gè)比較高的概率下確認(rèn)庫(kù)存的不良率是否和已知不良率相同。當(dāng)發(fā)現(xiàn)有不良時(shí)，即確認(rèn)庫(kù)存中不良情況等于或大于已知的不良率；當(dāng)沒有發(fā)現(xiàn)不良時(shí)，可以判斷庫(kù)存中不良情況在一個(gè)比較高的概率下小于已知的不良率。

5 結(jié)束語(yǔ)

在實(shí)際生活中，已知產(chǎn)品不良率（或由歷史數(shù)據(jù)得出，或由客戶處反饋），利用不良率的倒數(shù)的2 到5 倍，快速算出抽樣數(shù)量，以這個(gè)抽樣數(shù)量對(duì)庫(kù)存做檢驗(yàn)，可以有效的確認(rèn)庫(kù)存品的不良率是否大于或等于已知的不良率，靈活應(yīng)用這種算法，合理劃分庫(kù)存品的批次，可以在降低檢驗(yàn)成本的同時(shí)，有效的對(duì)庫(kù)存的質(zhì)量風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評(píng)估。