長(zhǎng)方體包裝的最小表面積研究*

江蘇揚(yáng)州市甘泉小學(xué)(225123) 趙元翔

隨著快遞和包裝行業(yè)的迅速發(fā)展,塑料、紙張等原材料的消耗越來越大,這對(duì)生態(tài)環(huán)保形成了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn),因此,包裝盒的設(shè)計(jì)與使用是我們當(dāng)前需要關(guān)注的問題.一般單個(gè)物品的包裝相對(duì)比較容易,可以根據(jù)物體的形狀設(shè)計(jì)合適的包裝,但是對(duì)于多個(gè)相同的規(guī)格的物體的包裝設(shè)計(jì)一直是我們思考的問題.本文主要討論若干個(gè)完全相同的小正方體拼成大長(zhǎng)方體的最優(yōu)包裝方案(表面積最小),若拼成的長(zhǎng)方體三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則記該方案的表面積為S(a,b,c),以下同.

1 對(duì)“越接近”的思考

《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)(六下) 》[2]中提到“體積相等的長(zhǎng)方體, 當(dāng)長(zhǎng)、寬、高越接近, 表面積越小”,“越接近”是一個(gè)模糊的概念, 我們一般將三邊的周長(zhǎng)或者最長(zhǎng)邊與最短邊的差作為“越接近”的量化指標(biāo), 這對(duì)平面上面積一定的長(zhǎng)方形是適用的, 但對(duì)長(zhǎng)方體而言并不準(zhǔn)確, 比如S(40,3,3)和S(30,6,2),它們?nèi)叺某朔e都是360,三邊和40+3+3＞30+6+2、最長(zhǎng)邊與最短邊的差40?3＞30?2,然而S(40,3,3)＜S(30,6,2).這說明對(duì)“越接近”的解釋需要其他條件的加入,黃忠裕教授在文[1]引入“最短邊固定”得到了許多重要的結(jié)論.事實(shí)上可以將條件放寬到“任意一邊固定”.

定理1長(zhǎng)方體體積一定,當(dāng)任意一邊固定時(shí),另外兩邊和越小,則表面積越小.

證明設(shè)長(zhǎng)方體的三邊分別為a,b,c,V=abc一定, 當(dāng)任意一邊不妨設(shè)a固定時(shí),S= 2(ab+ac+bc) =2a(b+c)+2bc=2a(b+c)+顯然b+c越小,表面積越小.得證.

注這里的a是固定的,因此b+c越小也就等同于長(zhǎng)方體的周長(zhǎng)越小.

定理2長(zhǎng)方體體積一定,當(dāng)任意一邊固定時(shí),另外兩邊相差越小,則表面積越小.

證明如定理1 所設(shè),當(dāng)a固定,設(shè)另外兩邊差|b ?c|=t,因?yàn)閠2=(b+c)2?4bc,故(b+c)2=t2+4bc=t2+b+c=根據(jù)定理1 中S= 2a(b+c)+知S=因此t越小,則表面積越小.得證.

定理3長(zhǎng)方體體積一定,當(dāng)任意一邊固定時(shí),另外兩邊中較長(zhǎng)邊與較短邊的比值越小,則表面積越小.

證明設(shè)長(zhǎng)方體的三邊分別為a,b,c,V=abc一定,若當(dāng)a確定時(shí),不妨設(shè)b≥c,記比值解得代入得

設(shè)f(x) =則f′(x) =(x ?1) ≥0, 故f(x) 在[1,+∞) 上單調(diào)遞增,因此當(dāng)a確定時(shí),t越小,則S越小,得證.

2 n 個(gè)小正方體最優(yōu)包裝方案的推廣

文[1]中證明了“pk(p為素?cái)?shù),k為正整數(shù))個(gè)小正方體規(guī)則打包的最優(yōu)方案是”這種特殊情況,下面將其進(jìn)行一定的推廣:

定理4pkq(p為素?cái)?shù),q為1 或素?cái)?shù),k為正整數(shù))個(gè)小正方體規(guī)則打包成大長(zhǎng)方體,存在n ∈N 使得pn≤q ＜pn+1,表面積最小包裝方案為, 其中(規(guī)定k ?2n ＜0 時(shí),t=0).

證明(1)q= 1 時(shí), 文[1] 證明了最小表面積為因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)n= 0 時(shí), 滿足pn≤q ＜ pn+1, 故t=因此ptq=下證

當(dāng)k= 3m(m ∈N) 時(shí),

當(dāng)k=3m+ 1(m ∈N) 時(shí),=

當(dāng)k=3m+ 2(m ∈N) 時(shí),pm+1.因此

當(dāng)k= 3m(m ∈N) 時(shí),

當(dāng)k= 3m+ 1(m ∈N) 時(shí),

當(dāng)k= 3m+ 2(m ∈N) 時(shí),=pm+1.因此綜上可知q= 1 時(shí),其中

(2)q為素?cái)?shù)時(shí),其中pn ＜q ＜pn+1.

1.若k ?2n ＜0 時(shí),根據(jù)規(guī)定t=0,下證最小表面積方案為

對(duì)任意方案Spaq,pb,pc),其中a+b+c=k,a,b,c ∈N, 由于b+c≤k, 因此b和c中至少有一個(gè)不超過不妨設(shè)c≤構(gòu)造S(q,pb,pa+c).paq+pc ?(q+pa+c) =(pa ?1)(q ?pc) ≥(pa ?1)(pn ?pc),因?yàn)閗 ?2n ＜0,因此n ＞≥c, 故pn ?pc ＞0, 因此paq+pc≥q+pa+c,根據(jù)定理1 知S(paq,pb,pc)≥S(q,pb,pa+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a= 0 時(shí)等號(hào)成立).又因?yàn)閜b ?pa+c≥根據(jù)定理2 知, 當(dāng)長(zhǎng)度為q的邊確定時(shí),Sq,pb,pa+c≥因此為k ?2n ＜0時(shí)的最小表面積方案.

2.若k ?2n≥0 時(shí),將其分為三類討論.

①k ?2n=3m(m ∈N)時(shí),=S(pmq,pm+n,pm+n), 下證最小表面積方案為Spmq,pm+n,pm+n).

1)當(dāng)pmq為確定一邊時(shí), 根據(jù)定理2 知另外兩邊都是pm+n時(shí)相差最小,此時(shí)表面積最小.

2)當(dāng)pm+aq(a ∈N+)為確定一邊時(shí),設(shè)另外兩邊分別是pm+n?b和pm+n?c,其中a=b+c,b、c ∈N(說明: 因?yàn)閍 ∈N+,a=b+c,所以b和c要么一正一負(fù),要么都是非負(fù)整數(shù),根據(jù)定理2 考慮到pm+n?b和pm+n?c相差盡可能小,故不妨設(shè)這里的b、c均為自然數(shù),以下同).

構(gòu) 造S(pm+cq,pm+n,pm+n?c), 因?yàn)閜m+aq ?pm+n?b≥pm+cq ? pm+n?b≥pm+cq ? pm+n,由于q為素?cái)?shù),pn ＜ q, 故pm+cq ?pm+n ＞pm+cpn ?pm+n=pm+n(pc ?1) ≥ 0, 所 以pm+aq和pm+n?b的兩邊之差大于pm+cq和pm+n的兩邊之差, 根 據(jù)定理2 知S(pm+aq,pm+n?b,pm+n?c)≥S(pm+cq,pm+n,pm+n?c)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).

又因?yàn)閜m+cq ?pm+n?c≥pmq ?pm+n ＞0, 因此根據(jù)定理2 知S(pm+cq,pm+n,pm+n?c)≥S(pmq,pm+n,pm+n)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立) .由于a ∈N+, 故a=c和c=0不可能同時(shí)成立, 因此S(pm+aq,pm+n?b,pm+n?c)＞S(pmq,pm+n,pm+n).

3) 當(dāng)pm?aq(a ∈N+)為確定一邊時(shí), 設(shè)另外兩邊分別是pm+n+b和pm+n+c, 其中a=b+c,b、c ∈N.構(gòu)造S(pm?cq,pm+n,pm+n+c),因?yàn)?/p>

(當(dāng)且僅當(dāng)b= 0 時(shí)等號(hào)成立) .所以根據(jù)定理1 知S(pm?aq,pm+n+b,pm+n+c)≥S(pm?cq,pm+n,pm+n+c).又因?yàn)閏=0 時(shí),pm?cq+pm+n+c=pmq+pm+n;c≥1 時(shí),

所以根據(jù)定理 1 知S(pm?cq,pm+n,pm+n+c)≥S(pmq,pm+n,pm+n)(當(dāng)且僅當(dāng)c= 0 時(shí)等號(hào)成立) .由 于a ∈N+,b、c不能同時(shí)為 0,故S(pm?aq,pm+n+b,pm+n+c)＞ S(pmq,pm+n,pm+n).綜合①中 1) 2) 3) 得,k ?2n= 3m(m ∈N) 時(shí),S(pmq,pm+n,pm+n)為最小表面積.

②k ?2n=3m+1(m ∈N)時(shí),=S(pmq,pm+n,pm+n+1),下證最小表面積方案為Spmq,pm+n,pm+n+1).

1) 當(dāng)pmq為確定一邊時(shí), 根據(jù)定理3 知另外兩邊為pm+n+1和pm+n時(shí)比值最小,此時(shí)表面積最小.

2) 當(dāng)pm+aq(a ∈N+)為確定一邊時(shí), 設(shè)另外兩邊分別是pm+n?b和pm+n+1?c, 其中a=b+c,b、c ∈N.構(gòu)造S(pm+cq,pm+n,pm+n+1?c).因?yàn)閜m+aq ?pm+n?b≥pm+cq ?pm+n?b≥pm+cq ?pm+n ＞0,所以根據(jù)定理2 知S(pm+aq,pm+n?b,pm+n+1?c)≥S(pm+cq,pm+n,pm+n+1?c)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立) .又因?yàn)閏=0 時(shí),pm+cq ?pm+n+1?c=pmq ?pm+n+1;c≥1 時(shí),pm+cq ?pm+n+1?c≥pmq ?pm+n+1=pm(pq ?pn)＞0,pmq ?pm+n+1=pm(pn+1?q)＞0,

故pm+cq ?pm+n+1?c≥pmq ?pm+n+1, 所以根據(jù)定理2知S(pm+cq,pm+n,pm+n+1?c)≥S(pmq,pm+n,pm+n+1)(當(dāng)且僅當(dāng)c= 0 時(shí)等號(hào)成立) .由于a ∈N+, 故a=c和c= 0 不可能同時(shí)成立, 因此

S(pm+aq,pm+n?b,pm+n+1?c)＞S(pmq,pm+n,pm+n+1).

3)當(dāng)pm?aq(a ∈N+)為確定一邊時(shí),設(shè)另外兩邊分別是pm+n+b和pm+n+1+c, 其中a=b+c,b、c ∈N.構(gòu)造S(pm?cq,pm+n,pm+n+1+c),因?yàn)?/p>

所以根據(jù)定理1 知S(pm?aq,pm+n+b,pm+n+1+c)≥S(pm?cq,pm+n,pm+n+1+c)(當(dāng)且僅當(dāng)b= 0 時(shí)等號(hào)成立).又因?yàn)?/p>

所以根據(jù)定理 1 知S(pm?cq,pm+n,pm+n+1+c)≥S(pmq,pm+n,pm+n+1)(當(dāng)且僅當(dāng)c= 0 時(shí)等號(hào)成立) .由于a ∈N+,b、c不能同時(shí)為0, 因此S(pm?aq,pm+n+b,pm+n+1+c)＞S(pmq,pm+n,pm+n+1).綜 合②中1) 2) 3) 得,k ?2n= 3m+ 1(m ∈N) 時(shí),S(pmq,pm+n,pm+n+1)為最小表面積.

③k ?2n=3m+2(m ∈N)時(shí),=S(pmq,pm+n+1,pm+n+1), 下證最小表面積方案為S(pmq,pm+n+1,pm+n+1).

1)當(dāng)pmq為確定一邊時(shí), 根據(jù)定理2 知另外兩邊都是pm+n+1相差最小,此時(shí)表面積最小.

2)當(dāng)pm+aq(a ∈N+)為確定一邊時(shí),設(shè)另外兩邊分別是pm+n+1?b和pm+n+1?c,其中a=b+c,b、c ∈N.構(gòu)造S(pm+cq,pm+n+1,pm+n+1?c),因?yàn)?/p>

所以根據(jù)定理1 知S(pm+aq,pm+n+1?b,pm+n+1?c)≥S(pm+cq,pm+n+1,pm+n+1?c)(當(dāng)且僅當(dāng)b= 0 時(shí)等號(hào)成立).又因?yàn)?/p>

c=0 時(shí),pm+cq+pm+n+1?c=(pmq+pm+n+1);c≥1 時(shí),

所以根據(jù)定理1 知S(pm+cq,pm+n+1,pm+n+1?c)≥S(pmq,pm+n+1,pm+n+1)(當(dāng)且僅當(dāng)c= 0 時(shí)等號(hào)成立) .由 于a ∈N+, 故b= 0 和c= 0 不可能同時(shí)成立, 因 此S(pm+aq,pm+n+1?b,pm+n+1?c)＞S(pmq,pm+n+1,pm+n+1).

3)當(dāng)pm?aq(a ∈N+)為確定一邊時(shí),設(shè)另外兩邊分別是pm+n+1+b和pm+n+1+c,其中a=b+c,b、c ∈N.構(gòu)造S(pm?bq,pm+n+1+b,pm+n+1),因?yàn)?/p>

所以根據(jù)定理1 知S(pm?aq,pm+n+1+b,pm+n+1+c)≥S(pm?bq,pm+n+1+b,pm+n+1)(當(dāng)且僅當(dāng)c= 0 時(shí)等號(hào)成立).又因?yàn)?/p>

所以根據(jù)定理1 知S(pm?bq,pm+n+1+b,pm+n+1)≥S(pmq,pm+n+1,pm+n+1)(當(dāng)且僅當(dāng)b=0 時(shí)等號(hào)成立) .由于a ∈N+,b、c不能同時(shí)為 0, 因此S(pm?aq,pm+n+1+b,pm+n+1+c)＞S(pmq,pm+n+1,pm+n+1).

綜 合③中1) 2) 3) 得,k ?2n= 3m+ 2(m ∈N)時(shí),S(pmq,pm+n+1,pm+n+1)為最小表面積.因此為k ?2n≥0 時(shí)的最小表面積方案.綜上所有定理4 得證.

3 今后努力的方向

定理1-3 介紹了三種比較表面積的方法,本質(zhì)上都是要求一條邊相同,另外兩邊“越接近”,則表面積越小.那么當(dāng)兩種方案中的三條邊都不相等時(shí),如何準(zhǔn)確判斷哪種方案的三條邊“越接近”呢? 其次,定理4 給出了pkqt(t=0 或1)個(gè)小正方體規(guī)則打包的最小表面積方案,當(dāng)t=2 甚至更大時(shí),能否找到統(tǒng)一的方案? 最后,由于在實(shí)際包裝時(shí)一般以長(zhǎng)方體居多,如何研究若干個(gè)小長(zhǎng)方體的規(guī)則打包的最小表面積方案? 這些都將成為今后我們努力的方向.