一個二元條件極值問題的解法探析

安徽省蕪湖市第一中學(xué)(241000) 劉海濤

《中國高考評價體系》指出:“高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會貫通,既包括同一層面、橫向的交互融合,也包括不同層面之間、縱向的融會貫通”.在教學(xué)過程中,對于一些典型問題,如果我們能夠從不同角度思考,尋求不同的解法,以一題多解的方式尋求知識間的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)體系,加深對問題的本質(zhì)認(rèn)識,定會拓寬解題視野,發(fā)散解題思維,提升學(xué)習(xí)興趣,提高解題能力.在清華大學(xué)2020年9月舉辦的中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測試中,有一道二元二次函數(shù)最值題,筆者從四個角度予以分析,給出8 種解法,現(xiàn)與讀者分享交流.

1 試題呈現(xiàn)與分析

題目(2020 清華中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)能力測試?yán)砜频?6 題)已知實(shí)數(shù)x,y滿足4x+y+2xy+1=0,則x2+y2+x+4y的最小值為____.

分析該題形式上以二元二次方程為背景命題,主要考查分析、解決二元二次問題的能力,強(qiáng)化對轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、消元與不等式求最值等數(shù)學(xué)思想方法的考查,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題結(jié)構(gòu)雖簡單、明了,但內(nèi)涵豐富[2],值得研究,以發(fā)揮該題的最大價值.

2 解法探究

角度一: 借助不等式,化等式為不等式求出最值

解法1(消元+基本不等式法)由4x+y+2xy+1=0得y=則

評注化二元為一元是解決二元函數(shù)的最直接做法,通法是消去其中一個變量,得到關(guān)于另一變量的函數(shù),接著利用不等式、對勾函數(shù)、求導(dǎo)等求出最值.

解法2(因式分解+基本不等式法)由4x+y+2xy+1=0 得(2x+1)(y+2)=1,則

評注通過代數(shù)化簡, 發(fā)現(xiàn)問題可轉(zhuǎn)化關(guān)于2x+1 與y+2 的問題,特征為積為定值,求關(guān)于平方和的最小值,自然借助基本不等式求最值.

解法3(配湊+基本不等式法)設(shè)

又4x+y+2xy+1=0,則t ?1=(x+y)2+5(x+y),即而

當(dāng)且僅當(dāng)x+=y+2 時取等號, 所以t+≥2, 即t≥故x2+y2+x+4y取最小值

評注發(fā)現(xiàn)目標(biāo)式中的與條件式中的相加恰好湊成完全平方式,接著利用基本不等式求出(x+y)+的范圍,最后得到答案.

角度二: 借助三角,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值題

解法4(三角換元法)設(shè)

由

知x+與y+2 均不為零,再設(shè)代入(2x+1)(y+2)?1=0,得a2sin 2θ=1,即a2=當(dāng)θ=kπ+(k ∈Z)時a2取最小值為1,故x2+y2+x+4y取最小值

評注著眼于目標(biāo)式的特征,三角換元帶入條件式,得到利用三角函數(shù)的取值范圍得到a2的最小值.

角度三: 數(shù)形結(jié)合,挖掘問題幾何背景

解法5(換元+數(shù)形結(jié)合法)設(shè)u=x+,v=y+2,則uv=,x2+y2+x+4y=u2+v2?,再設(shè)u2+v2=a2,則問題轉(zhuǎn)化為求a2?的最小值.

如圖, 容易知道動圓u2+v2=a2與雙曲線uv=相切,對應(yīng)著a2的最小值, 設(shè)切點(diǎn)為(u0,v0),則公切線有兩種表示方程:u0u+v0v=a2,u0v+v0u=1, 則相切時a2= 1, 即所以故x2+y2+x+4y的最小值為

評注在解法2 的基礎(chǔ)上, 換元后根據(jù)式子特征, 發(fā)現(xiàn)問題可以轉(zhuǎn)化為動圓與雙曲線有公共點(diǎn)的問題, 結(jié)合圖像不難發(fā)現(xiàn)相切為所求最小值對應(yīng)情形.另外,二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 以其上點(diǎn)(x0,y0)為切點(diǎn)的切線方程是Ax0x+

角度四: 回歸函數(shù)本質(zhì),多元函數(shù)找對策

解法6(函數(shù)偏導(dǎo)法)設(shè)

對x求導(dǎo)得

解得x=y=?2, 此時t=故x2+y2+x+4y的最小值為

解法7(拉格朗日乘數(shù)法)設(shè)函數(shù)

令f(x,y,λ)對x,y,λ的一階偏導(dǎo)數(shù)為零,則

解得

經(jīng)驗(yàn)證, 當(dāng)x=?2,λ=?1 或x=?2,λ=?1 時x2+y2+x+4y取最小值

評注函數(shù)偏導(dǎo)法與拉格朗日乘數(shù)法都是是高等數(shù)學(xué)背景下的解法,提供給讀者參考.

3 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)解題的目的是什么? 是求出問題的答案嗎? 是,但不全是! 解題的目的是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、落實(shí)數(shù)學(xué)基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗(yàn),所以對一道典型問題的多角度分析與解答是非常有必要的.用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題, 不僅能更牢固地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,還能更靈活地運(yùn)用所學(xué)知識.通過一題多解,分析、比較各種解法,可以找到最佳的解題途徑,從而發(fā)散學(xué)生的思維能力,對鞏固知識和解題能力大有裨益,是提高數(shù)學(xué)成績的一條捷徑[3].但是我們在日常學(xué)習(xí)中,要結(jié)合自身掌握程度和實(shí)際情況,選擇最佳的解題方法,不要一味追求某一種解法,要學(xué)會從不同解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想,提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[4].