高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的外顯與內(nèi)化
——以幾何題為例

劉錦發(fā)

（上杭縣第一中學(xué)，福建 龍巖 364200）

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是以數(shù)學(xué)問題為載體、學(xué)情為起點(diǎn)，通過深入分析問題的內(nèi)在本質(zhì)，總結(jié)解決的一般方法，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”的教學(xué)活動(dòng).它關(guān)注的不單是解題的“結(jié)果”，更在乎解題的“過程”，引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)“探路”的經(jīng)歷是解題教學(xué)的關(guān)鍵.沒有人懷疑過解題教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用，但不同的人對(duì)解題教學(xué)的理解和操作卻有很大差別.不少教師有重一招一式的歸類，輕思想方法的提煉；多講“怎樣解”、少問“為什么這樣解”等教學(xué)弊端，當(dāng)引以為戒.

一、教學(xué)理念應(yīng)從“教解法”轉(zhuǎn)向“教想法”

學(xué)生解題受阻多數(shù)源于所學(xué)知識(shí)與需要解決的問題無法鏈接，思考過程中出現(xiàn)知識(shí)斷層，或者所用知識(shí)與解題缺乏一定的邏輯關(guān)系.因此，解題教學(xué)要善于幫助學(xué)生消除思維定式的負(fù)遷移，在問題的疑難處設(shè)置問題串，誘導(dǎo)學(xué)生深入分析，讓其知道解法的由來，盡量避免直接拋出解法的做法.

（1）將C 和L 化為直角坐標(biāo)方程；（2）求C 上的點(diǎn)到L 距離的最小值.

本題條件中所給的橢圓參數(shù)方程和課本所學(xué)的離心角為變量的形式有明顯不同，這是學(xué)生解題障礙之處.教學(xué)中，教師可通過問題的分解來引導(dǎo)學(xué)生“探路”：

二、課堂立意應(yīng)從“解題技能”轉(zhuǎn)向“思想方法”

數(shù)學(xué)是思維的體操.解題教學(xué)不只是教學(xué)生會(huì)解這一個(gè)題目，不可只強(qiáng)調(diào)解題的技能技巧，而應(yīng)全方位、多角度地引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘其蘊(yùn)含的思想和方法，要通過問題的解決把知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)系緊密聯(lián)系起來，并在此過程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn).只有讓學(xué)生充分感悟其中的數(shù)學(xué)思想，才能使學(xué)生獲得更多的積累和提升.

例2：直線L過點(diǎn)P(-4,0)，與圓C:(x-1)2+y2=5交于A、B兩點(diǎn)，A是線段PB的中點(diǎn)，求直線L方程.

這是某老師在一次解題教學(xué)公開課的案例，大致過程如下：

上述教學(xué)過程更多的是教師展示解題技能，學(xué)生除了“贊嘆”之外可能就是“茫然”，是一題多解教學(xué)的常見誤區(qū)（如法4 圓冪定理幾乎沒有學(xué)生知道，法5 也很少學(xué)生可以想到）.解題教學(xué)要幫助學(xué)生理清各種解法的思考視角，還要對(duì)不同方法進(jìn)行比對(duì)，使之產(chǎn)生頓悟（本題中的頓悟就是“方程思想”），從而讓學(xué)生明白：“方程思想”是解決解析幾何題的基本思想方法.如法3 就是“方程思想”下的簡解，不會(huì)給學(xué)生留下“總是用韋達(dá)定理”的錯(cuò)覺.而“方程思想”恰恰是本題教學(xué)需要達(dá)到的高度，而該教師缺乏這樣的意識(shí)，沒有把教學(xué)中核心和本質(zhì)的東西點(diǎn)出來，是明顯的教學(xué)不足.

三、問題解決應(yīng)從“教師展示”轉(zhuǎn)向“學(xué)生探究”

教學(xué)是教師與學(xué)生之間的雙向活動(dòng)，在教師主導(dǎo)的前提下，更需要增強(qiáng)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)才能有效提升思考能力.解題教學(xué)不是讓教師展示解題結(jié)果，而要引導(dǎo)學(xué)生積極參與解題全過程，經(jīng)歷如何決定解題的方向、如何選擇解題的方法、如何完成解題的方案等過程，誘導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)深入地學(xué)習(xí).將知識(shí)的傳遞過程轉(zhuǎn)變?yōu)橐I(lǐng)學(xué)生共同探究的過程，讓教師思維“可視化”，從中學(xué)會(huì)“找路”的方法.

例3：平面單位向量a、b滿足a⊥b，且(a-c)·(b-c)=0，求向量c的模的取值范圍.

此題很多學(xué)生覺得無從下手，教師在教學(xué)時(shí)，可先引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）題目知道的條件有哪些？

（2）需要探求的問題是什么？

（3）題目與什么數(shù)學(xué)概念相關(guān)？

（4）此題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是什么？

（5）方程(a-c)·（b-c)=0 有哪些處理策略？

經(jīng)過一番探究之后，再讓有思路的同學(xué)說“思維過程”：

施教之功，貴在引路，妙在開竅.該教師的教學(xué)沒有自己拋出題目答案，而是通過剖析題目要素，促進(jìn)學(xué)生探尋各信息間的連接點(diǎn)，在學(xué)生說“思維過程”的基礎(chǔ)上，逐步深入對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，慢慢形成解題方案.在互動(dòng)的過程中，讓不同學(xué)生之間的思維不斷碰撞，并從中發(fā)現(xiàn)“數(shù)化”和“形化”是平面向量問題的常用處理策略.

四、能力發(fā)展應(yīng)從“解決問題”轉(zhuǎn)向“審題和反思”

解題教學(xué)的關(guān)鍵不是“解題”，而是“教學(xué)”.教師要善于讓學(xué)生知曉：條件怎樣發(fā)散？結(jié)論怎樣集中？怎樣從條件中獲取怎樣解這道題的邏輯起點(diǎn)、推理目標(biāo)及溝通起點(diǎn)與目標(biāo)之間聯(lián)系的更多信息；并在解后能將自己的解題活動(dòng)作為思考的對(duì)象.在總結(jié)提升中實(shí)現(xiàn)從“一題”到“一類”的轉(zhuǎn)變，才能真正學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的方法，學(xué)會(huì)審題和解后反思是學(xué)生能力發(fā)展的關(guān)鍵.

反思3：思維障礙是什么?解決途徑有哪些？用到了哪些方法？這些方法是如何想到的?它們體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

經(jīng)歷上述反思過程，能幫助學(xué)生理順解題的邏輯關(guān)系，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)；領(lǐng)會(huì)運(yùn)算對(duì)象的多樣性和數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)用的廣泛性，從中提煉對(duì)以后的解題有指導(dǎo)意義的信息，涵育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

五、解后反思應(yīng)從“流于形式”轉(zhuǎn)向“真正落實(shí)”

解題教學(xué)是一個(gè)遞進(jìn)的過程，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷“感”“悟”，教師講得再透徹，學(xué)生在作業(yè)或考試中未必能快速正確解題.有些教師淺嘗輒止，講完一題馬上就講下一題.其實(shí)，只有真正落實(shí)解后反思，通過問題將學(xué)生引向反思解題過程的思維偏差處、易混易錯(cuò)點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)是如何突破的，方法可否進(jìn)行完善和優(yōu)化，題目的背景是什么，能否進(jìn)行變式、推廣和延伸等，特別要重視對(duì)問題本身和學(xué)生解題過程的剖析，才能提高辨別能力和解題應(yīng)對(duì)能力，將學(xué)生的思維引向更深處.

例5：點(diǎn)P(1,2)在拋物線C：y2=2px上，直線l經(jīng)過點(diǎn)Q(0,1)，且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，直線PA、PB 分別交y 軸于點(diǎn)M,N.

本題是解析幾何中經(jīng)典的定值問題，教師可從以下途徑引導(dǎo)學(xué)生解后反思：

反思1：直線PQ與拋物線的位置關(guān)系是什么？（容易驗(yàn)證直線PQ是拋物線的切線，同時(shí)y軸也是該拋物線的切線）.

反思2：處理定點(diǎn)、定值問題的通性通法是什么？（通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定，或?qū)栴}涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式、三角問題，再證明該式是恒定的）.

反思3：若將拋物線改為橢圓、雙曲線，結(jié)論是否成立？（結(jié)論仍然成立：設(shè)Q點(diǎn)是圓錐曲線K“外部”任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q分別引圓錐曲線K的兩條切線QP,QR，切點(diǎn)分別為P,R，過點(diǎn)Q 分別引圓錐曲線K的“割線”，與其交于A,B兩點(diǎn)，直線PA、PB與另一條切線QR交于M,N，若

反思4：如果圓錐曲線的兩條切線改為兩條割線，結(jié)論是否成立？（結(jié)論仍然成立：設(shè)ANCD是圓錐曲線K的內(nèi)接四邊形，直線AB,CD相交于點(diǎn)O，過O任作一直線l與K交于R,S兩點(diǎn)，且與直線AC,BD分別相交于P,Q，則

設(shè)計(jì)這樣的問題讓學(xué)生去反思，能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)深入思考，驅(qū)動(dòng)學(xué)生尋找試題在高等數(shù)學(xué)中仿射幾何的背景，在問題的拓展與變式過程中探究不變的本質(zhì)，在不變的本質(zhì)中尋找變的規(guī)律性，才能有效防止學(xué)生套題型、機(jī)械模仿現(xiàn)象的發(fā)生，也才能促進(jìn)學(xué)生“四基”的形成和“四能”的提升.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略多種多樣，但必須得法！除了上述策略之外，還必須基于學(xué)情，要理解學(xué)生，要有站在學(xué)生的立場(chǎng)和循序漸進(jìn)的恒心，讓學(xué)生有“說”的機(jī)會(huì)、“思”的途徑、“問”的時(shí)間、“悟”的時(shí)間，才能將外顯的解題教學(xué)活動(dòng)內(nèi)化為學(xué)生的思維活動(dòng).