問題驅(qū)動 促進初中生函數(shù)圖像理解
——以《二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)》第三課時為例

黃和悅

（三明教育學(xué)院，福建 三明 365000）

數(shù)學(xué)課程標準指出，要讓學(xué)生在現(xiàn)實中和已有知識的基礎(chǔ)上體驗和理解數(shù)學(xué)知識.由此創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生自我意識的產(chǎn)生，讓學(xué)生獲得自我探索、自我思考、自我表現(xiàn)的實踐機會，這種方式已成為數(shù)學(xué)有效教學(xué)活動中的一種策略，越來越得到教師的關(guān)注.數(shù)學(xué)教學(xué)中教師所創(chuàng)設(shè)問題，要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性，除了點撥學(xué)生的思路中，更是開啟學(xué)生的思維.教學(xué)實際中為了突出“新、奇、趣”的效果，有的數(shù)學(xué)教師往往挖空心思地創(chuàng)設(shè)出花樣繁多的情境，而實質(zhì)是以“書本為中心”“教師為中心”，或是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中變?yōu)楸粍雍鸵蕾?，由于把握不當教學(xué)中的“度”，反而干擾了學(xué)生對知識真正理解，影響學(xué)生思維的發(fā)展.本文以北師大版九年級下冊《二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（第三課時）》為例，談?wù)勅绾蝿?chuàng)設(shè)有價值的數(shù)學(xué)問題來驅(qū)動和幫助學(xué)生對函數(shù)圖像學(xué)習(xí)的真正理解.

一、基于遷移運用教學(xué)情境的問題驅(qū)動——在喚醒中理解

學(xué)生在解決問題時感到最困難的是如何調(diào)動原有知識結(jié)構(gòu)中已有的哪些知識，對已有的經(jīng)驗與方法該如何選擇.那么，課堂教學(xué)應(yīng)從學(xué)生學(xué)習(xí)起點出發(fā)創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生以一種積極的心態(tài)，喚醒已有知識和經(jīng)驗嘗試解決新問題，同化新知識.關(guān)于知識的學(xué)習(xí)不宜強迫學(xué)生被動地接受，不能滿足教條式、機械地模仿與記憶，而應(yīng)在原有經(jīng)驗基礎(chǔ)上，經(jīng)過新舊經(jīng)驗相互作用而建構(gòu)知識含義.

［教學(xué)片段1］

提出問題：對于二次函數(shù)y=3x2，y=3x2+1，y=3x2-1，并回答：

（1）從式子上看它們有什么相同點和不同點？

（2）從圖像上看它們有什么聯(lián)系？

師生活動：學(xué)生可畫出三個二次函數(shù)的大致圖像，在學(xué)生完成的同時，教師適時歸納總結(jié).

設(shè)計意圖：通過此問題進行研究框架的搭建，幫助學(xué)生理解、體會函數(shù)研究的思想方法都是從特殊到一般，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行鋪墊.

教學(xué)思考：通過具體實例來復(fù)習(xí)，喚醒學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+k 的圖像及其性質(zhì)的回憶，知道當a 相同時它們的圖像都是拋物線，并且形狀相同，只是位置不同，可以通過上下平移得到.引導(dǎo)學(xué)生既要從式子上又要從圖像上認識二次函數(shù)，為接下來學(xué)習(xí)其他二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)打下基礎(chǔ)，學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識和能力得以培養(yǎng)和促進.而實際教學(xué)中許多教師更多是采用問答式或直接進入新課，這種機械式、順理成章只體現(xiàn)在書本知識結(jié)構(gòu)的編排和教師的想當然上，體現(xiàn)在學(xué)生身上，可能僅停留在結(jié)論的記憶上，對于方法、知識的遷移和運用，遠沒有達到靈活的程度.有典型意義的具體實例，可讓學(xué)生在直觀感知中，經(jīng)歷分析、綜合、抽象、概括等過程，使學(xué)生既豐富了感性認識，又激起對觀察的強烈興趣，從而在學(xué)生認真觀察、思考的過程中，獲得生動表象，鞏固新知.

二、基于類比推理教學(xué)引入的問題驅(qū)動——在猜想中理解

教學(xué)中應(yīng)探索數(shù)學(xué)的價值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，其最基本的前提和條件就是教師如何引導(dǎo)學(xué)生尋找或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題.教師通過設(shè)置問題活動，讓學(xué)生在積極思考的過程中發(fā)現(xiàn)問題，類比地提出猜想，這既豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，又能培養(yǎng)解決問題能力和思維能力.使學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，可以準確把握事物的本質(zhì)、規(guī)律和相互關(guān)系，對知識既能記得準確而牢固，又能用得迅速而合理.

［教學(xué)片段2］

提出問題：那對于二次函數(shù)y=2x2與y=2（x-1）2，并回答：

（1）從式子上看它們有什么相同點和不同點？

（2）你能猜想一下從圖像上看它們會有什么聯(lián)系嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從式子觀察兩個二次函數(shù)的相同與不同，再類比、猜想出圖像之間的關(guān)系.

設(shè)計意圖：通過類比前面的知識，讓學(xué)生先從二次函數(shù)解析式上看出區(qū)別與聯(lián)系，由此大膽猜想出它們圖像之間的聯(lián)系，并自然會想通過畫圖來進一步驗證.

教學(xué)思考：上述過程留足學(xué)生學(xué)習(xí)的時間，在類比、交流、猜想等數(shù)學(xué)活動中，逐步形成自己對二次函數(shù)相關(guān)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略.可能在這個過程中，由于學(xué)生之間存在個體差異，致使猜想的結(jié)論是錯誤的，但這并不影響后續(xù)的學(xué)習(xí)，反而通過驗證后，更能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.長期以來，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)在定義、法則、公式、性質(zhì)的形成過程是盡量少花時間，而把大量的時間用來做題，教學(xué)過程中有很強的應(yīng)試色彩.殊不知這樣，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征很難理解，很難感受到知識形成的過程中的茫然與困惑，探索問題過程的艱辛與成敗，無法真正理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義.學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論通過合情推理經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)現(xiàn)的過程，也就是說進行數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”過程，引導(dǎo)學(xué)生進行“火熱的思考”來化解數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”，不僅可以開拓學(xué)生的視野和學(xué)到數(shù)學(xué)的方法，更加準確理解數(shù)學(xué)知識，加以融會貫通而獲得有關(guān)信息的學(xué)習(xí).同時由于合情推理的結(jié)果具有似真性，所以需要學(xué)生再通過操作驗證或演繹推理等方式證明合情推理所得結(jié)果.這樣既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴謹，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，也能培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，解決問題的創(chuàng)造性.

三、基于動手操作教學(xué)實踐的問題驅(qū)動——在探究中理解

教學(xué)中有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動一定不是單純地把現(xiàn)成的知識給學(xué)生，或是讓學(xué)生簡單地進行模仿與記憶，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程應(yīng)該是一個不斷探索和思考的過程.教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生有更多的機會去動手實踐、自主探索與合作交流，讓學(xué)生在生動活潑的、主動的和富有個性的學(xué)習(xí)過程，找出答案或得出結(jié)論，更好思考和理解數(shù)學(xué)，除了獲取信息和經(jīng)驗外，掌握其背后的策略性東西.

［教學(xué)片段3］

提出問題：請同學(xué)們畫出二次函數(shù)y=2（x-1）2的圖像，并回答：

（1）通過觀察圖像，驗證一下你的猜想到底對不對呢？

圖1

師生活動：讓學(xué)生按畫圖像的步驟（列表、描點、連線）在自己的筆記本上畫圖，并根據(jù)所畫的圖像回答問題.教師則運用幾何畫板進行動態(tài)演示.

設(shè)計意圖：在學(xué)生已知二次函數(shù)y=2x2的圖像基礎(chǔ)上，再獨立畫出二次函數(shù)y=2（x-1）2的圖像，既可鞏固函數(shù)圖像的畫法，又能讓學(xué)生進一步驗證自己的猜想，直觀感受到兩個函數(shù)的差異，培養(yǎng)學(xué)生檢驗猜想或結(jié)論是否正確的途徑與方法.

教學(xué)思考：要充分認識到學(xué)生自身積極作用，是學(xué)習(xí)的主體、認識的主體、發(fā)展的主體，教師只有意識到“教”都是為了學(xué)生的“學(xué)”，深入思考“教什么和應(yīng)該怎樣教”.但筆者在聽許多關(guān)于二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的課時，發(fā)現(xiàn)許多教師都因?qū)W生在課堂上不好畫二次函數(shù)的圖像，要么忽略直接用幾何畫板來代替，要么直接看課本，或是課前準備好.其實，學(xué)生幾何直觀能力哪里來，畫圖能力和水平是很重要的，很難想象一個學(xué)生連圖形都不會畫，他的幾何直觀和空間想象能力會很好.學(xué)生針對所得的函數(shù)圖像，加上教師的幾何畫板演示，進行觀察、對比，理性的思考，驗證了自己的猜想，明確了兩個函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，進而使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面也得到進步和發(fā)展.

四、基于拓展應(yīng)用教學(xué)提升的問題驅(qū)動——在思維中理解

教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，提供給學(xué)生富有難度和挑戰(zhàn)性的活動和問題.為學(xué)生學(xué)習(xí)通過智慧地設(shè)計教學(xué)，重構(gòu)教學(xué)，這不僅僅可以調(diào)動學(xué)生的積極性，也會生發(fā)出較“知識”更具生成性的因素，這或許是比任何預(yù)設(shè)的所謂知識的目標更為可貴的資源.這樣學(xué)生在知識應(yīng)用中，是經(jīng)過系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)，形成自己的知識框架基礎(chǔ)上，去歸納和對比，迅速找到相應(yīng)的內(nèi)容，更好地解決問題.

［教學(xué)片段4］

提出問題：請同學(xué)們梳理前面所學(xué)的內(nèi)容，并回答：（見圖2）

印度梨形孢對黑松幼苗生長量及其根系形態(tài)的動態(tài)影響 周曉瑩，梁玉，董智，李紅麗，張夢璇，韓秀峰，范小莉，房用(7-7)

（1）如果是二次函數(shù)y=2（x+1）2呢？那它的圖像可以由y=2x2的圖像得到嗎？

（2）結(jié)合二次函數(shù)y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1 圖像之間的關(guān)系，如圖2 你能得到二次函數(shù)y=2（x-1）2+1 的圖像與二次函數(shù)y=2（x-1）2的圖像的關(guān)系嗎？

（3）由此你能說出二次函數(shù)y=-3x2，y=-3（x+2）2，y=-3（x+2）2-3圖像之間關(guān)系嗎？

（4）請你歸納出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像之間關(guān)系.

（5）請你類比二次函數(shù)y=ax2的特點，結(jié)合圖像探究出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 的性質(zhì)特點.

圖2

師生活動：學(xué)生通過類比探究得出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像之間關(guān)系及其性質(zhì)特點.教師結(jié)合幾何畫板的演示和分析，幫助學(xué)生更好地理解.

設(shè)計意圖：通過以上幾個問題讓學(xué)生明白：只要a值相同，二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像就可通過平移得到，自然就可由二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)特點探究出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 的性質(zhì)特點.

教學(xué)思考：教師在引導(dǎo)學(xué)生得到二次函數(shù)y=a（xh）2+k 的圖像和性質(zhì)特點時，一定要運用類比的思想，從數(shù)表上看——從圖上看——從解析式上看，最后落實到從解析上看就能得出.教師通過設(shè)置循序漸進的問題，讓學(xué)生形成新舊知識的對比和方法的遷移，只要學(xué)生是通過理性思維得到相應(yīng)的結(jié)論，就能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本方法在解決問題時所起到的“支撐”作用，更能領(lǐng)悟到解決問題絕不能僅僅靠所謂的“靈感”，更要注重基礎(chǔ)知識、經(jīng)驗、方法的運用.理解是一個思維漸進的過程，學(xué)習(xí)是不斷努力的結(jié)果，明白這點非常重要.教師應(yīng)該避免讓學(xué)生對知識形成過程做“早期廢棄”，如果放棄了，就不存在思維，就不會付出更多的努力來達到理解.

五、結(jié)語

理解需要很多經(jīng)歷，經(jīng)常做或者處理某些事情，試圖尋找其來源，重視其過程，并積極參與，就會形成對事物的深層次理解.因此，教師要建立為理解而教學(xué)的理念，要設(shè)計出學(xué)生可參與的數(shù)學(xué)問題活動，讓他們能夠在已有知識基礎(chǔ)上去思考，分析知識、概念、法則，找出其中的內(nèi)在規(guī)律，而不是簡單地做數(shù)學(xué)課本的數(shù)學(xué)題.在設(shè)計數(shù)學(xué)問題時，一般要注意下面幾點：

一是問題要有現(xiàn)實性.問題合理的設(shè)置，引發(fā)學(xué)生積極探索，既保證問題的思維含量，又能夠使學(xué)生在原有認知的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論，形成能力.

二是問題要有探究性.設(shè)計具有探究性的數(shù)學(xué)問題，注重引導(dǎo)學(xué)生對知識的主動去經(jīng)歷觀察、猜想、計算、推理、驗證等各種活動過程，不是簡單地得到結(jié)論，學(xué)生的抽象概括能力和合情推理能力得到充分發(fā)展.

三是問題要有創(chuàng)造性.學(xué)生通過探究具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)問題，進行深度思考和學(xué)習(xí)，自主建構(gòu)和完善知識結(jié)構(gòu)，真正落實學(xué)生思維能力的培養(yǎng).