立體車庫顧客到達(dá)的非齊次泊松過程模擬仿真

楊 波，李建國(guó)，康耀軍

蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070

發(fā)展立體車庫是解決城市停車難問題的有效途徑之一，中國(guó)立體車庫的起步較晚，其發(fā)展情況與國(guó)外相比存在一定差距[1]．立體車庫相關(guān)研究主要包括車庫的庫位布局與搬運(yùn)設(shè)備的配備、車位分配方式與搬運(yùn)設(shè)備調(diào)度策略的系統(tǒng)控制研究．顧客的到達(dá)過程通過影響車庫搬運(yùn)設(shè)備的繁忙度與車庫空閑車位數(shù)量，進(jìn)而影響車庫的運(yùn)行效率．

目前關(guān)于車庫服務(wù)系統(tǒng)客流的研究中，對(duì)客流狀態(tài)的研究居多，如文獻(xiàn)[2-4]根據(jù)對(duì)不同到達(dá)率下的顧客流進(jìn)行聚類、劃分及識(shí)別，選擇不同調(diào)度策略以達(dá)到提高車庫運(yùn)行效率的目的．對(duì)具體顧客到達(dá)過程的研究則較少．一般認(rèn)為顧客的平均到達(dá)率恒定，與到達(dá)時(shí)間無關(guān)，如李建國(guó)等[5]基于選取泊松到達(dá)，對(duì)車庫的庫位布局和資源配置展開研究，通過對(duì)比各配置下的車庫運(yùn)營(yíng)效率指標(biāo)，得到最佳資源配置結(jié)果；張芳芳等[6-7]對(duì)車庫存取車優(yōu)化控制策略、車位分配進(jìn)行以泊松到達(dá)為顧客源的仿真，得到相關(guān)存取車優(yōu)化策略，并分析所提算法在車位分配中的有效性．文獻(xiàn)[5-7]均以泊松流模擬顧客的實(shí)際到達(dá)，但實(shí)際中并非所有的顧客到達(dá)都服從泊松分布，如宋文波等[8]通過復(fù)合非齊次泊松過程仿真，得到滿足預(yù)售期內(nèi)旅客購票特點(diǎn)的票額分配方案；董一凝等[9]通過將非齊次泊松過程離散化為分段的齊次泊松過程，解決了校園車輛的調(diào)度問題；何恒等[10]通過研究醫(yī)院系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)病患者到達(dá)過程服從非齊次泊松過程，提出采用分時(shí)段預(yù)約的策略，緩解了排隊(duì)問題．

本研究基于實(shí)際立體車庫泊車數(shù)據(jù)，通過K-S檢驗(yàn)方法，證明所研究車庫的顧客到達(dá)屬于非齊次泊松過程．采用回歸分析方法得到顧客平均到達(dá)率與到達(dá)時(shí)間的關(guān)系，對(duì)車庫運(yùn)行過程進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)顧客到達(dá)的非齊次泊松過程模擬，驗(yàn)證該模擬過程下的車庫運(yùn)行效率與實(shí)際更相符．探究準(zhǔn)確模擬車庫服務(wù)系統(tǒng)顧客到達(dá)過程的必要性，為具有此類顧客源車庫的運(yùn)行仿真過程提供借鑒．

1 顧客到達(dá)過程驗(yàn)證

非齊次泊松過程是泊松過程的一種推廣形式，是換了一個(gè)時(shí)鐘來計(jì)時(shí)的泊松過程，具有不平穩(wěn)增量的特點(diǎn)，與車庫實(shí)際的顧客到達(dá)過程相似．

1.1 非齊次泊松過程

當(dāng)泊松過程的強(qiáng)度λ與時(shí)間t相關(guān)時(shí)，泊松過程被推廣為非齊次泊松過程，定義為

若計(jì)數(shù)過程{N(t),t≥0}，λ(t)>0(t≥0)， 滿足

1)N(0)=0；

2) 過程有獨(dú)立增量；

3)P{N(t+h)-N(t)=1}=λ(t)h+o(h)；

4)P{N(t+h)-N(t)≥2}=o(h)；

則稱N(t)為具有強(qiáng)度函數(shù)λ(t)的非齊次泊松過程．其中，λ(t)為強(qiáng)度函數(shù)；o(·)表示高階無窮?。?/p>

1.2 顧客到達(dá)過程與到達(dá)時(shí)間數(shù)據(jù)分析

分析中國(guó)西安市某立體車庫2017年6月至2017年8月的顧客泊車數(shù)據(jù)(簡(jiǎn)稱數(shù)據(jù)樣本)，泊車時(shí)段基本為07∶00—23∶00．記顧客到達(dá)時(shí)間為t，相繼到達(dá)的時(shí)間間隔為d(單位：s)(當(dāng)前顧客對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔為其后顧客到達(dá)時(shí)間減去當(dāng)前顧客到達(dá)時(shí)間)，以07∶00作為0時(shí)刻，將數(shù)據(jù)樣本中的顧客到達(dá)時(shí)間轉(zhuǎn)換為以s為單位的數(shù)值，任取數(shù)據(jù)樣本中20個(gè)工作日與非工作日數(shù)據(jù)進(jìn)行上述轉(zhuǎn)換，并將其按照到達(dá)時(shí)間轉(zhuǎn)換后的數(shù)值大小依次排序，結(jié)果如圖1．

圖1 到達(dá)時(shí)間與間隔時(shí)間的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖Fig.1 Scatter plot of arrival time-interval time data

由圖1可見，到達(dá)間隔時(shí)間點(diǎn)均呈現(xiàn)上方稀疏、下方密集的分布，說明顧客到達(dá)時(shí)間間隔越小，到達(dá)次數(shù)就越多，某時(shí)間間隔內(nèi)顧客到達(dá)次數(shù)的計(jì)數(shù)過程符合泊松分布特點(diǎn)；在橫向上可以觀察顧客的到達(dá)率情況，即不同到達(dá)間隔下的顧客到達(dá)量，圖1(a)和(b)中均呈現(xiàn)先增后減再增的變化情形，認(rèn)為顧客到達(dá)率與到達(dá)時(shí)刻存在一定相關(guān)性．因此，推測(cè)該車庫的顧客到達(dá)過程屬于非齊次泊松過程．對(duì)比圖1(a)和(b)數(shù)據(jù)散點(diǎn)的密集程度可見，工作日數(shù)據(jù)散點(diǎn)較稀疏，工作日顧客到達(dá)數(shù)量少，對(duì)車庫運(yùn)行能力的要求相比非工作日低很多，因此，為提高立體車庫運(yùn)行效率的實(shí)際意義，本研究主要考慮非工作日的顧客到達(dá)過程．

1.3 顧客到達(dá)的非齊次泊松過程驗(yàn)證

非齊次泊松過程的驗(yàn)證常利用λ(t)的連續(xù)性與緩慢變化性，將顧客到達(dá)過程轉(zhuǎn)化為小區(qū)間上泊松性的分段常數(shù)，驗(yàn)證每個(gè)小區(qū)間上的泊松性是否成立[11]．由于顧客到達(dá)的泊松過程與顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布等價(jià)[12]，因此，將顧客到達(dá)是否服從泊松分布轉(zhuǎn)換為顧客相繼到達(dá)間隔是否服從負(fù)指數(shù)分布問題．

K-S檢驗(yàn)是用于對(duì)比兩類樣本是否屬于同一分布的常用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法[13]．本研究嘗試以40 min的時(shí)間間隔將圖1(b)非工作日中的到達(dá)時(shí)間劃分為24個(gè)區(qū)間段，由于800～960 min的顧客到達(dá)數(shù)量較少，達(dá)不到檢驗(yàn)要求條件，故舍去在此時(shí)段上的檢驗(yàn)．因此，對(duì)圖1(b)中07∶00—20∶20劃分為20個(gè)區(qū)間段，對(duì)各區(qū)間段進(jìn)行顯著性水平a=0.1的單分布K-S檢驗(yàn)，結(jié)果如表1．其中，ω為假設(shè)顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布的均值(單位：s)；P為顯著性水平．由表1可見，按40 min劃分，各區(qū)間段均保留到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布的原假設(shè)，且各區(qū)間段內(nèi)的間隔時(shí)間均值各不相同，由此證明該車庫非工作日顧客到達(dá)過程屬于非齊次泊松過程．

表1 逐區(qū)間段K-S檢驗(yàn)(a=0.1)

2 顧客到達(dá)的非齊次泊松過程擬合

為更好模擬顧客到達(dá)的實(shí)際過程，采用回歸分析方法得到顧客到達(dá)的非齊次泊松過程擬合模型．對(duì)其擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)，分別對(duì)比非齊次泊松過程模型、泊松過程模型與實(shí)際顧客到達(dá)過程，得出非齊次泊松過程更符合實(shí)際顧客到達(dá)過程的結(jié)論．

2.1 顧客平均到達(dá)率函數(shù)λ(t)

圖2 車輛到達(dá)平均間隔時(shí)間擬合曲線Fig.2 Fitting curves of mean time between arrivals of vehicles

為判斷三次模型估計(jì)的有效性，通過統(tǒng)計(jì)分析軟件對(duì)已得估計(jì)模型隨機(jī)誤差項(xiàng)中同方差性進(jìn)行檢驗(yàn)，運(yùn)用加權(quán)最小二乘法對(duì)模型異方差進(jìn)行修正，得到最終回歸模型的一般表達(dá)式為

f(t)=b1t+b2t2+b3t3+c

(1)

其中，常數(shù)c=426.920；b1=0.056；b2=-4.420×10-6；b3=7.900×10-11．

顧客平均到達(dá)間隔時(shí)間函數(shù)d(t)=f(t)， 由此得λ(t)為

λ(t)=1/d(t)

(2)

因此，該系統(tǒng)的顧客到達(dá)過程即可轉(zhuǎn)化為在長(zhǎng)度為t的時(shí)段內(nèi)，顧客到達(dá)量服從參數(shù)為λ(t)的泊松分布，或認(rèn)為顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間服從參數(shù)為d(t)的指數(shù)分布．

2.2 顧客到達(dá)分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)及對(duì)比

取圖1(b)數(shù)據(jù)為樣本，計(jì)算該樣本顧客平均到達(dá)率λ=5.6 veh/min，再取該樣本下擬合顧客平均到達(dá)率函數(shù)λ(t)， 分別模擬20 d中07∶00—23∶00 內(nèi)的顧客到達(dá)過程，按照40 min的時(shí)間間隔將以上時(shí)段劃分為24個(gè)區(qū)間，統(tǒng)計(jì)各區(qū)間顧客數(shù)量并計(jì)算20 d內(nèi)各區(qū)間的平均到達(dá)顧客數(shù)量，分別記為HPP樣本和NHPP樣本．依照上述統(tǒng)計(jì)和計(jì)算方法對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)樣本20 d中各區(qū)間平均顧客數(shù)量進(jìn)行計(jì)算，得到各樣本顧客到達(dá)率分布，如表2．

①獼猴桃產(chǎn)業(yè)中獼猴桃的優(yōu)質(zhì)果品的品種更新慢，儲(chǔ)備量少，儲(chǔ)藏技術(shù)不先進(jìn)。在推廣種植方面，生產(chǎn)面積增長(zhǎng)率整體呈下降趨勢(shì)，季節(jié)產(chǎn)量不穩(wěn)定，受市場(chǎng)波動(dòng)影響較大，在整個(gè)市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)力不高，也沒有很好的利用互聯(lián)網(wǎng)信息平臺(tái)進(jìn)行品牌推廣。在運(yùn)輸方面，沒有形成快速的物流體系，加強(qiáng)內(nèi)外交流。同時(shí)現(xiàn)有的果農(nóng)商店和小型農(nóng)產(chǎn)品公司規(guī)模小，產(chǎn)業(yè)拉動(dòng)力弱，抵御風(fēng)險(xiǎn)能力弱，農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)化、標(biāo)準(zhǔn)化程度低。

表2 各樣本與實(shí)際到達(dá)率分布

分別對(duì)NHPP樣本、HPP樣本與實(shí)際樣本進(jìn)行兩獨(dú)立樣本K-S檢驗(yàn)[13]，選取顯著性水平a=0.1． 檢驗(yàn)結(jié)果中僅NHPP樣本與實(shí)際樣本的K-S檢驗(yàn)漸近顯著性p值為0.139 >a，得到非齊次泊松到達(dá)與實(shí)際到達(dá)屬于同一分布．

取表2中HPP樣本、NHPP樣本與實(shí)際樣本對(duì)應(yīng)區(qū)間平均顧客量的差值(絕對(duì)值)，分別記為誤差1和誤差2．得到兩樣本與實(shí)際樣本誤差，如表3．分別對(duì)表3中的誤差1和誤差2數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，證明兩組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，在此基礎(chǔ)上對(duì)兩組誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行配對(duì)，通過逐對(duì)τ置信區(qū)間比較法分析．經(jīng)分析配對(duì)樣本均值為-1.187 50，且兩誤差有明顯差異，其差值95%置信區(qū)間[-1.945 36，-0.429 64]位于0左側(cè)，說明HPP樣本與實(shí)際樣本的誤差波動(dòng)更大，表明顧客到達(dá)的非齊次泊松過程與實(shí)際更接近．

表3 兩樣本與實(shí)際樣本誤差

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 車庫運(yùn)行過程建模及效率指標(biāo)定義

為探究不同顧客到達(dá)過程對(duì)車庫運(yùn)行效率仿真結(jié)果的影響，根據(jù)實(shí)際車庫運(yùn)行編寫仿真程序．以西安市某商業(yè)區(qū)附屬車庫為研究對(duì)象，其結(jié)構(gòu)為2層12列2排，可用車位數(shù)48個(gè)，所有車位均位于地下，1個(gè)進(jìn)出(I/O)口位于地面，立體車庫結(jié)構(gòu)模型如圖3．經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研得到該立體車庫的設(shè)備特征參數(shù)值， 結(jié)合以下車庫運(yùn)行規(guī)則， 編寫其運(yùn)行仿真程序．

圖3 立體車庫結(jié)構(gòu)模型Fig.3 Stereo garage structure model

1)I/O口坐標(biāo)為(0,0,3)，升降機(jī)橫坐標(biāo)為0，其水平移動(dòng)1個(gè)車位用時(shí)5 s，豎直移動(dòng)1層需要7 s．顧客到達(dá)后車輛入庫檢查及進(jìn)行存取操作的時(shí)間固定為60 s．

2)服務(wù)規(guī)則服從先到先服務(wù)原則．

3)顧客到達(dá)后遵循就近存車的調(diào)度策略，當(dāng)有車輛被取出時(shí)，則根據(jù)出車優(yōu)先原則接受服務(wù)．

4)以顧客離開車庫時(shí)間減去顧客到達(dá)時(shí)間近似為顧客庫內(nèi)停留時(shí)間樣本，擬合得到該車庫顧客的庫內(nèi)停留時(shí)間(單位：min)服從正態(tài)分布，其均值μ=208 min，方差為σ2=30．

5)假設(shè)車庫初始狀態(tài)為空庫狀態(tài)，顧客到達(dá)時(shí)間段為07∶00—23∶00．

依據(jù)實(shí)際調(diào)研分析車庫的運(yùn)行效率指標(biāo)如下．

1)顧客平均等待時(shí)間T由服務(wù)顧客總數(shù)與顧客等待總時(shí)間決定，T越小說明車庫的運(yùn)行效率越高．T的表達(dá)式為

(3)

其中，J為總存車顧客數(shù)；j為存車用戶(j=1,2,…,J)；K為總?cè)≤囶櫩蛿?shù)；k為取車用戶(k=1,2,…,K)； 當(dāng)?shù)却?duì)列中有Aj個(gè)待存車用戶，Bj個(gè)待取車用戶，且等待隊(duì)列中最后一個(gè)取車用戶編號(hào)為k′時(shí)，j1為當(dāng)前存車用戶，對(duì)應(yīng)接受服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為TCj1，k1為當(dāng)前取車用戶，對(duì)應(yīng)接收服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為TQk1； 當(dāng)?shù)却?duì)列中有Ak個(gè)待存車用戶，Bk個(gè)待取車用戶，等待隊(duì)列中最后一個(gè)存車用戶編號(hào)為j′時(shí)，j2為當(dāng)前存車用戶，對(duì)應(yīng)接受服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為TCj2，k2為當(dāng)前取車用戶，對(duì)應(yīng)接受服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為TQk2.

2)顧客平均等待隊(duì)長(zhǎng)Q由服務(wù)顧客總數(shù)及每位顧客的等待隊(duì)長(zhǎng)決定，表征每位顧客等待隊(duì)長(zhǎng)的平均值．Q的表達(dá)式為

(4)

3)結(jié)合實(shí)際調(diào)研，取15 min為顧客可等待的最大時(shí)長(zhǎng)，顧客流失率R為

(5)

其中，M為未接受服務(wù)離開的顧客數(shù)．

3.2 顧客到達(dá)過程實(shí)例仿真

任取數(shù)據(jù)樣本非工作日中的某幾天作為實(shí)際參照，依顧客平均到達(dá)率函數(shù)λ(t)與數(shù)據(jù)樣本中顧客平均到達(dá)率λ=5.6 veh/min，分別模擬車庫在6月4日、7月9日、7月29日及8月19日的顧客到達(dá)非齊次泊松過程與齊次泊松過程，結(jié)果如圖4．可見，不同時(shí)段顧客到達(dá)率的變化趨勢(shì)反映了不同的顧客到達(dá)過程．其中，模擬泊松到達(dá)過程的顧客到達(dá)率基本保持恒定；而非齊次泊松到達(dá)過程顧客到達(dá)率隨顧客到達(dá)時(shí)間的不同而不同，其變化趨勢(shì)與實(shí)際吻合，整體呈現(xiàn)顧客到達(dá)率先增后減的趨勢(shì)．整體擬合曲線進(jìn)一步驗(yàn)證2.2節(jié)所得結(jié)論，表明該車庫系統(tǒng)非工作日顧客的到達(dá)過程為非齊次泊松過程．

圖4 不同到達(dá)過程顧客到達(dá)時(shí)間擬合Fig.4 Fitting curve of customer arrival time for different arrival processes

3.3 車庫運(yùn)行效率指標(biāo)仿真分析對(duì)比

編寫車庫運(yùn)行仿真程序，獲得顧客到達(dá)為泊松過程與非齊次泊松過程的仿真結(jié)果，并與車庫實(shí)際運(yùn)行效率指標(biāo)對(duì)比分析，以探究仿真與實(shí)際結(jié)果的相似度，及顧客不同到達(dá)過程對(duì)仿真結(jié)果的影響．

3.3.1 泊松到達(dá)過程下的車庫運(yùn)行仿真

取λ=5.6 veh/min模擬顧客到達(dá)為泊松過程的車庫運(yùn)行過程，程序運(yùn)行30次，每次取參數(shù)為λ的泊松流，將各仿真指標(biāo)的平均值作為該車庫非工作日顧客齊次泊松到達(dá)過程下的車庫運(yùn)行效率指標(biāo)，結(jié)果為顧客平均等待時(shí)間T=0.581 min； 顧客平均等待隊(duì)長(zhǎng)Q=0.170 veh； 平均顧客流失率R=0．

3.3.2 非齊次泊松到達(dá)過程下的車庫運(yùn)行仿真

重復(fù)上述仿真過程，將λ變?yōu)棣?t)， 得到非工作日顧客非齊次泊松到達(dá)過程下的車庫運(yùn)行效率指標(biāo)，其中，T=2.412 min，Q=1.105 veh，R=0.128%． 因此，在總體顧客平均到達(dá)率相同的情況下，不同顧客到達(dá)過程對(duì)應(yīng)的車庫運(yùn)行仿真結(jié)果相差較大，表現(xiàn)在非齊次泊松到達(dá)過程下的車庫運(yùn)行效率指標(biāo)較齊次泊松過程有大幅降低．

3.3.3 對(duì)比非工作日車庫實(shí)際運(yùn)行效率指標(biāo)

經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研并分析顧客泊車記錄，非工作日顧客集中到達(dá)時(shí)段為13∶00—17∶00，故著重調(diào)研該時(shí)段實(shí)際顧客到達(dá)過程下的車庫運(yùn)行情況，得T=4.032 min，Q=2.823 veh，R=0.161%． 可見，非工作日顧客集中到達(dá)時(shí)段內(nèi)的車庫運(yùn)行效率指標(biāo)，與顧客到達(dá)為非齊次泊松過程的車庫運(yùn)行仿真結(jié)果更接近，表明此車庫顧客到達(dá)過程模擬采用非齊次泊松過程時(shí)的結(jié)果更好．

結(jié) 語

本研究以西安市某商業(yè)區(qū)附屬車庫為研究對(duì)象，根據(jù)顧客泊車數(shù)據(jù)，仿真不同顧客到達(dá)的車庫運(yùn)行狀況，對(duì)比仿真結(jié)果得到，顧客到達(dá)為非齊次泊松過程的仿真結(jié)果與車庫實(shí)際運(yùn)行效率指標(biāo)更接近．當(dāng)顧客到達(dá)過程不確定時(shí)，將非齊次到達(dá)過程視為齊次到達(dá)過程，可能會(huì)導(dǎo)致車庫運(yùn)營(yíng)效率指標(biāo)不準(zhǔn)確，進(jìn)而造成車庫系統(tǒng)研究決策上的偏差．

在實(shí)際運(yùn)營(yíng)效率指標(biāo)較低的情況下，以齊次泊松過程模擬的顧客到達(dá)下的車庫運(yùn)營(yíng)效率指標(biāo)更有利，而采用非齊次的顧客到達(dá)更契合實(shí)際．鑒于此，針對(duì)具有非齊次性顧客到達(dá)的立體車庫，可以考慮采取分時(shí)段調(diào)整調(diào)度策略和配置搬運(yùn)設(shè)備等措施減緩顧客到達(dá)非齊次性的影響，達(dá)到提高車庫運(yùn)行效率的目的．