四翼混沌系統(tǒng)及其Hopf分岔控制

顏閩秀，徐 輝

1)沈陽化工大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧沈陽 110142；2)工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點實驗室，沈陽化工大學(xué)，遼寧沈陽 110142

混沌由于其獨有的貌似無規(guī)則、類隨機的動力學(xué)特性，在通信保密、生物醫(yī)學(xué)和化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]．自20世紀(jì)60年代初，LORENZ[3]發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來，多翼或多渦卷混沌系統(tǒng)、超混沌系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)等非線性動力系統(tǒng)被相繼提出，這些具有不同動力學(xué)特性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)豐富了混沌理論，提高了人們對混沌的認(rèn)識[4-8]．目前，構(gòu)造新的非線性混沌系統(tǒng)仍然是混沌理論研究中的熱點．

Hopf分岔分析及其控制是非線性系統(tǒng)研究中的重要方向，在經(jīng)濟(jì)、氣象、電力和航天等工程中有廣泛應(yīng)用，具有很高的理論和應(yīng)用價值[9-11]．Hopf分岔控制的主要任務(wù)是設(shè)計控制器改變系統(tǒng)的分岔特性，如消除Hopf分岔或在預(yù)期位置產(chǎn)生Hopf分岔，控制極限環(huán)的幅值和穩(wěn)定性等以避免不良后果，或者有目的地創(chuàng)建或強化有益的分岔，使其為實際所需要．主要控制方法有規(guī)范型方法、線性或非線性狀態(tài)反饋控制法和濾波器方法等[12-15]．隨著混沌理論的發(fā)展，對混沌系統(tǒng)的研究主要集中在混沌控制和混沌同步方面[16]，有關(guān)Hopf分岔控制的研究相對較少，也未完全成熟．

CHEN等[17-18]對非線性系統(tǒng)的分岔控制理論和方法作了系統(tǒng)的報道，為混沌系統(tǒng)的Hopf分岔控制的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)．CAI等[19]針對一個新混沌系統(tǒng)，提出用一種狀態(tài)反饋與參數(shù)控制相結(jié)合的混合控制器來實現(xiàn)系統(tǒng)Hopf分岔控制，基于中心流形定理和規(guī)范型理論驗證了控制策略可行性．ZHANG等[20-21]采用非線性狀態(tài)反饋的方法對一類Pan混沌系統(tǒng)和超混沌Pan系統(tǒng)進(jìn)行分岔控制，實現(xiàn)系統(tǒng)Hopf分岔延遲．ESHAGHI等[22]對一個新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的Hopf分岔作了研究，利用線性反饋控制實現(xiàn)對系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，消除系統(tǒng)的Hopf分岔．這些控制研究拓展了混沌系統(tǒng)Hopf分岔控制的多樣性，在混沌理論及實際應(yīng)用中具有重要意義．

本研究以Lorenz系統(tǒng)為基礎(chǔ)，增加非線性項和線性項構(gòu)建出新四翼混沌系統(tǒng)，并基于高維分岔理論設(shè)計基于washout濾波器的混合控制器以實現(xiàn)對系統(tǒng)的Hopf分岔控制．

1 新四翼混沌系統(tǒng)

受Lorenz系統(tǒng)的啟發(fā)，本研究提出的四翼混沌系統(tǒng)模型為

(1)

其中，x、y和z為狀態(tài)變量；a、b、c、d和e為系統(tǒng)的控制參數(shù)．

若將方程中的yz替換成y， 系統(tǒng)在一定條件下仍存在解，此時，當(dāng)e=0， 為Lorenz系統(tǒng)．這里，系統(tǒng)參數(shù)a、b、c、d和e均為正實數(shù)．考慮新增線性項ey對系統(tǒng)混沌特性和吸引子形態(tài)的影響，這里假設(shè)a=12,b=1,c=5,d=5， 繪制以e控制參數(shù)的分岔圖和基于Wolf法的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)譜[23]來闡明系統(tǒng)的動力學(xué)演化，結(jié)果如圖1．其中，e∈(0, 1]，(x,y,z)的初始條件為(1,1,1)， 參數(shù)e的變化步長為0.01；λL1、λL2和λL3為系統(tǒng)的3個Lyapunov指數(shù)．

圖1 分岔圖和Lyapunov指數(shù)Fig.1 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents

圖1表明，當(dāng)e∈(0， 1]時，系統(tǒng)有周期和混沌兩種狀態(tài)．特別地，當(dāng)e∈(0.88， 1]時，系統(tǒng)可產(chǎn)生四翼混沌吸引子．當(dāng)e=1時，四翼混沌吸引子如圖2．

由圖2可見，吸引子有四翼，上下各兩翼．與Lorenz系統(tǒng)的吸引子相比，四翼吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜．

圖2 四翼吸引子及其相圖Fig.2 Four wing attractor and the phase diagram

2 Hopf分岔的存在性

a3λ3+a2λ2+a1λ+a0=0

(2)

其中，a0=-25；a1=-25；a2=a；a3=1． 由高維分岔理論[24]可知，若a1a2-a0a3=0，ai>0均成立且滿足橫截條件，其中i=0, 1, 2, 3， 則參數(shù)a穿過某一值時系統(tǒng)(1)會在平衡點A處發(fā)生Hopf分岔．因本研究中a0<0，a1<0， 平衡點A處不會發(fā)生Hopf分岔．同時由Routh-Hurwitz判據(jù)可知，在參數(shù)a的定義域內(nèi)，平衡點A是不穩(wěn)定的．系統(tǒng)(1)在平衡點B處的系數(shù)矩陣的特征方程為

b3λ3+b2λ2+b1λ+b0=0

(3)

其中，b0<93.7a；b1=-1.42a-8.95；b2=a；b3=1． 可見，在參數(shù)a的范圍內(nèi)b1<0， 系統(tǒng)(1)在平衡點A處不會發(fā)生Hopf分岔，并且該平衡點是不穩(wěn)定的．系統(tǒng)(1)在平衡點C處的系數(shù)矩陣的特征方程為

c3λ3+c2λ2+c1λ+c0=0

(4)

其中，c0=139a;c1=14-0.867a;c2=a;c3=1． 當(dāng)a>0時，c1c2-c0c3<0恒成立，可知系統(tǒng)不會因a的變化在平衡點C處發(fā)生Hopf分岔，且平衡點C是不穩(wěn)定的．系統(tǒng)(1)在平衡點D處的系數(shù)矩陣的特征方程為

d3λ3+d2λ2+d1λ+d0=0

(5)

(6)

e3λ3+e2λ2+e1λ+e0=0

(7)

(8)

綜上所述，以a為分岔參數(shù)時系統(tǒng)(1)僅在平衡點D和E處發(fā)生Hopf分岔，它們的分岔臨界值分別為aD=74.389 8和aE=141.464． 現(xiàn)以平衡點D為例來仿真，選擇aD左側(cè)數(shù)值aDL=74.289 8和右側(cè)數(shù)值aDR=74.489 9來進(jìn)行數(shù)值仿真，圖3展示了aDL和aDR時的吸引子．

圖3 a值為aDL和aDR時的吸引子Fig.3 Attractors for a=aDL and a=aDR

圖3表明，系統(tǒng)在穿過參數(shù)aD=74.389 8時發(fā)生Hopf分岔，aaD時運動軌跡穩(wěn)定于不動點．

3 Hopf分岔控制

Washout濾波器作為一種高通濾波器，具有保持原系統(tǒng)平衡點位置不變的優(yōu)點，被廣泛用于工業(yè)領(lǐng)域．本研究基于Washout濾波器對系統(tǒng)設(shè)計非線性控制器進(jìn)行Hopf分岔控制．這里，引入新變量w并對系統(tǒng)(1)進(jìn)行Hopf分岔控制，對原系統(tǒng)施加控制u并構(gòu)建受控系統(tǒng)為

(9)

其中，濾波器常數(shù)m>0;u為控制器，

u=k1(x-mw)+k2(x-mw)3

(10)

這里，k1和k2為控制增益．由式(10)可見，新增變量w和控制u不改變原系統(tǒng)平衡點的位置．保持其他參數(shù)不變，以a為分岔參數(shù)，研究與D對應(yīng)的平衡點D′(3.537, -1.974, -1.791, 3.537/m)的Hopf分岔．調(diào)整受控參數(shù)k1與m可改變分岔參數(shù)的臨界值，實現(xiàn)分岔在預(yù)期位置發(fā)生．調(diào)整受控參數(shù)k2能夠改變系統(tǒng)分岔解的穩(wěn)定性與分岔方向．以下將基于高維分岔理論來分析控制器的有效性和合理性．

在平衡點D′處對受控系統(tǒng)線性化，得到系數(shù)矩陣的特征方程為

h4λ4+h3λ3+h2λ2+h1λ+h0=0

(11)

其中，h0=73.025 3am；h1=73.025 3a+8.952 6k1-8.952 6m+1.102am；h2=1.102a+am-8.952 6；h3=a-k1+m；h4=1． 由高維分岔理論可知，此時若要受控系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，則參數(shù)需滿足式(12)和式(13)．

hi>0，i=0, 1, 2, 3

(12)

(13)

其中，g0=1.102+m；g1=73.025 3+1.102m；g2=73.025 3m；g3=a-k1+m；g4=1.102a-8.952 63+am；g5=73.025 3a+8.952(k1-m)+1.102am；a=a0，m=m0和k1=k0是滿足式(12)中的解； iv0是式(11)在參數(shù)a0，m和k0下的一個純虛特征根．

式(12)和式(13)表明，Hopf分岔參數(shù)的臨界值僅與受控參數(shù)k1和m有關(guān)，即可通過調(diào)整受控參數(shù)k1和m來實現(xiàn)Hopf分岔在指定位置產(chǎn)生．為便于確定受控參數(shù)值，可先找出滿足式(12)的值，再代入式(13)驗證．考慮到參數(shù)a>0，m>0， 取a∈(0, 250]，m∈(0, 5]，k1∈(50, 50]， 由式(13)繪制出符合其條件的分岔參數(shù)a和受控參數(shù)k1和m的局部曲面圖和平面圖，如圖4．

圖4 分岔參數(shù)與受控參數(shù)局部圖Fig.4 Function diagrams of bifurcation parameter and controlled parameter

圖4中曲面上的任意一點都滿足式(12)，一般來說，在這個曲面上可以找到實現(xiàn)指定位置a處發(fā)生Hopf分岔的受控參數(shù)值k1和m． 繼續(xù)增大k1的變化區(qū)間，可在更大的范圍內(nèi)調(diào)整系統(tǒng)的分岔臨界值．表1給出了曲面上實現(xiàn)Hopf分岔提前和延后，且滿足橫截性條件式(13)的任意各一組值．

表1 參數(shù)a, k1和m的取值

進(jìn)一步分析受控參數(shù)k2對受控系統(tǒng)分岔的方向、臨界性、極限環(huán)穩(wěn)定性和幅值影響．據(jù)表1選擇Hopf分岔臨界值a=80來研究，對比原系統(tǒng)可知Hopf分岔推遲．此時，受控系統(tǒng)在平衡點D′的特征方程(11)有一對純虛特征根λ21=λ22=±v0i=±8.009 8i和兩個負(fù)實根λ23=-1.376 1，λ24=-89.983 5． 求出λ21，λ23和λ24所對應(yīng)的特征向量分別為v21=[1, -0.286 4-0.305 8i, -0.308 2+0.216 3, 0.020 6-0.121 4]T，v23=[1, -2.420 8, -3.575 3, -60.530 5]T，v24=[1, -0.028 5, 0.024 8, -0.011 3]T． 那么，對系統(tǒng)作如下變換

X=xD′+PZ

(14)

其中，X=[x,y,z,w]T;Z=[z1,z2,z3,z4]T;xD′=[3.537, -1.974, -1.791, 3.537/1.359 6]T;P=[Re(v21), -Im(v21),v23,v24]. 因此，可得受控系統(tǒng)的規(guī)范形為

(15)

其中，fi(zi,k2)為非線性函數(shù)，其表達(dá)式過于繁瑣故此處不予列出．由式(15)可求出相關(guān)的必要特征量為

k2(0.059-0.723 5i)

(16)

0.062 3+0.648i

(17)

0.260 2+0.726 9i

(18)

-0.042 9+1.634i

(19)

-1.862 2+14.073i

(20)

0.133 3+1.000 3i

(21)

2.766 9+12.789 6i

(22)

0.065 8+0.125 4i

(23)

(24)

(25)

(26)

0.067-0.002 6i

(27)

g21=G21+(G110_1w11_1+G101_1w20_1+

(G110_2w11_2+G101_2w20_2)=

k2(0.059-0.723 5i)+0.005 1+

0.050 5i

(28)

k2(0.029 5-0.361 8i)-0.002 1-

0.106 3i

(29)

根據(jù)式(1)至式(28)和表1，可求出判斷受控系統(tǒng)Hopf分岔解的穩(wěn)定性指標(biāo)β2和分岔方向指標(biāo)μ2分別為

μ2=-Re(C)/φ′=5.321 8k2-0.375 8

(30)

β2=-2μ2φ′=0.059k2-0.004 2

(31)

其中，φ′為表1中a=80時φ′(a)對應(yīng)的實部；函數(shù)β2和μ2關(guān)于參數(shù)k2的局部關(guān)系如圖5．

圖5 β2和μ2與k2關(guān)系的函數(shù)圖Fig.5 Function diagram of β2, μ2 and k2

式(30)、式(31)和圖5表明，受控系統(tǒng)分岔解的穩(wěn)定性與分岔方向僅與非線性項的參數(shù)k2有關(guān)．一般地，為保證Hopf分岔出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解，即保證極限環(huán)的穩(wěn)定性，應(yīng)取k2<0.070 6． 此時有β2<0和μ2<0， 則受控系統(tǒng)會在a=a0=80處發(fā)生超臨界的Hopf分岔．分岔方向為a

圖6 a值為a0L和a0R時的吸引子Fig.6 Attractors with a=a0L and a=a0R

圖6表明，系統(tǒng)在a0=80時發(fā)生Hopf分岔，對比圖3可知，Hopf分岔推遲．當(dāng)aa0時，系統(tǒng)軌道穩(wěn)定于不動點．且對于a

(32)

圖7給出了式(32)中函數(shù)r與參數(shù)a和k2的局部函數(shù)圖．由圖7可見，當(dāng)參數(shù)a固定時，極限環(huán)的幅值隨受控參數(shù)k2的增大而增大；當(dāng)參數(shù)k2固定時，極限環(huán)的幅值隨分岔參數(shù)a的增大而減?。?/p>

圖8給出了受控系統(tǒng)在不同的k2和a值下產(chǎn)生的極限環(huán)．由圖8可見，受控參數(shù)k2和分岔參數(shù)a能夠控制極限環(huán)的幅值．綜上所述，控制器能夠改變分岔的臨界值，分岔解的穩(wěn)定性和分岔方向，證明控制器設(shè)計合理且可行．

圖7 極限環(huán)幅值r與k2和a的關(guān)系圖Fig.7 The relationship graph among the limit cycle amplitude r, k2 and a maximization step

圖8 不同k2和b值下的極限環(huán)Fig.8 Limit cycles with different k2 and b

結(jié) 語

提出一個新的四翼混沌系統(tǒng)，通過混沌理論中相關(guān)的混沌判據(jù)驗證了四翼系統(tǒng)的混沌特性．同時設(shè)計了一種非線性反饋控制器，實現(xiàn)了對新混沌系統(tǒng)的Hopf分岔控制，通過調(diào)控受控參數(shù)能夠改變系統(tǒng)Hopf分岔的臨界點到期望值，控制極限環(huán)的穩(wěn)定性和幅值．