幾乎超b-緊空間的若干性質研究

宋嘉麗，張國芳

（1.吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 長春 130000；2.吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 四平 136000）

0 引言

1983年，Mashhour等人在On superatopological spaces［1］去掉了拓撲空間中有限交的條件，給出了超拓撲空間的定義：2X的一個子集族μ叫做X上的超拓撲，如果滿足下面兩個條件：（1）X∈μ；（2）μ中元素的任意并仍在μ中.偶對( )X，μ稱為超拓撲空間，μ中元素稱為超開集，超開集的補集稱為超閉集.2008年，Ab?bas［2］在On supra compactness in supra topologicol spaces中得出了超緊空間的超閉子集是超緊的，超緊空間在S*連續(xù)映射下的像是超緊的等結果.2010年，Sayed等［3］在On supra b-open sets and supra b-continuity on to?pological spaces中定義了超b-開集，在此定義的基礎上定義了超b-連續(xù)映射，研究了超開集與超b-開集的關系，得出了關于超b開集和超b-連續(xù)映射的一些結果.2012年，Mustafa［4］在Totally supra b-continuous and slightly supra b-continuous function中利用超b-閉開集定義了超b-T1公理和超b-T2公理，得出了超b-T1公理和超b-T2公理在不同超b-連續(xù)映射下的性質.2013年，Mustafa［5］在supra b-compact and supra b-lindel?f spaces中給出了超b-緊空間和超b-lindel?f空間的概念，證得了超b-緊空間（超b-lindel?f空間）的超b-閉子集是超b-緊（超b-lindel?f）的，超b-緊子集的有限并是超b-緊的等相關性質.2016年，Al-shami［6］在some results related to supratopological space中給出了超lindel?f空間、幾乎超緊（幾乎超lindel?f）空間和弱超緊（弱超lindel?f）空間的概念，且研究了它們的性質，得出每個超緊（超lindel?f）空間是弱超緊（弱超lindel?f）空間等結果.2017年，Al-shami等［7］在Utilizing supra α-open sets to generate new types of supra compact and supra lindel?f spaces中給出了超α-緊空間、超α-lindel?f空間、幾乎（弱）超α-緊空間和幾乎（弱）超α-lindel?f空間的定義，得出了每個超α-緊空間都是超α-lindel?f空間等結果.在超緊空間和超b-緊空間中的性質研究已經(jīng)比較完善，那么在它們的推廣空間——幾乎超b-緊空間和弱超b-緊空間的遺傳性和映射性質是否成立呢？針對上述問題，本文探究了它們的遺傳性和映射性質.

1 預備知識

定義1［3］稱A是(X，μ)中的超b-開集，在超拓撲空間(X，μ)中，若滿足A?clμ(Intμ(A))?Int(clμ(A)).超b-開集的補集是超b-閉集；超b-閉集的補集是超b-開集.

定義2［3］稱clbμ(A)為A的超b-閉包，如果滿足clbμ(A)是包含A的所有超b-閉集的交.

定義3［3］稱{Ai：i∈I} 是X子集B的超b-開覆蓋，設{Ai：i∈I} 是超拓撲空間(X，μ)的超b-開子集族，如果滿足B??{Ai：i∈I}.

定義4［2］稱超空間X是超緊空間，如果對于X的任意超開覆蓋μ都存在一個有限超子覆蓋.

定義5［6］稱(A，τA)是(X，τ)的超子空間，如果滿足A?X，τA=A?B(B∈τ).

定義6稱超空間X是幾乎超b-緊空間（幾乎超b-lindel?f空間），如果對于X的任意超b-開覆蓋μ都存在一個有限（可數(shù)）子族?，滿足{clbμ(V)|V∈?} 覆蓋X.

定義7稱超空間X是弱超b-緊空間（弱超b-lindel?f空間），如果對于X的任意超b-閉開覆蓋都存在一個有限（可數(shù)）的超子覆蓋.

定義8稱f為超b?連續(xù)映射：設(X，μ)，(Y，σ)是兩個拓撲空間，μ?和σ?分別是μ和σ的伴隨超拓撲，映射f：(X，μ)→(Y，σ)，如果對于Y中每個超開集V，滿足f-1(V)是X中的超b-開集.

2 主要結果

Mustafa在文獻［5］中給出了X為超b-緊空間（超b-lindel?f空間）的定義：如果對于X的任意超b-開覆蓋μ都存在一個有限（可數(shù)）超子覆蓋.

定理1任意的超b-緊空間必為幾乎超b-緊空間.

證明：令X是超b-緊空間，則對于X的任意超b-開覆蓋{Gi：i∈I} 都存在一個有限的超子覆蓋{G1，G2，…，Gn} ，即由于任意超b-開集都包含在它的超b-閉包中，所以，故X的 任 意 超b- 開 覆 蓋{Gi：i∈I} 均 存 在 一 個 有 限 子 族覆蓋X.故X是幾乎超b-緊空間.類似可證超b-lindel?f空間一定是幾乎超b-lindel?f空間.

上述命題的反命題不成立，下面的例子說明幾乎超b-lindel?f空間未必是超b-lindel?f空間.

Mustafa在文獻［5］中得出了幾乎超b-緊空間都是幾乎超b-lindel?f空間的結論.

例1設μ={φ，G?R，st0 ∈G} 是R上的超拓撲.因為，所以(R，μ)是幾乎超b-緊空間，從而(R，μ)是幾乎超b-lindel?f空間.另一方面，設?={{ 0，x} ：x∈R} 是R中的超b-開集族，顯然是R的超b-開覆蓋.顯然?={{ 0，x} ：x∈R} 不存在可數(shù)的超子覆蓋，故(R，μ)不是超b-lindel?f空間.

定理2幾乎超b-緊空間的超b-閉子集是幾乎超b-緊的.

證明：設F是幾乎超b-緊空間(X，μ)的一個超b-閉子集，并且{Gi：i∈I} 是由X中超b-開集構成F的超b-開覆蓋，即F??{Gi：i∈I}.因為F是超b-閉集，所以補集Fc是超b-開集.從而( ?{Gi：i∈I})?Fc是X的一個超b-開覆蓋.因為X是幾乎超b-緊空間，所以存在有限的子族：

Mustafa在文獻［4］中給出了超b-閉開集的定義：A是超b-閉集也是超b-開集.超b-閉開集的補集是超b-滿 足閉開集.

定理3如果A是X的一個幾乎超b-緊子集，B是X的一個超b-閉開集，則A?B是幾乎超b-緊的.

證明：設?={Gi：i∈I} 是A?B的一個超b-開覆蓋.因為B是超b-閉開集，所以B的補集Bc也是超b-閉開集.從 而{Gi：i∈I} ?{Bc} 是A的 一 個 超b-開 覆 蓋.因 為A是 幾 乎 超b-緊 的，所 以A的 超b-開 覆 蓋{Gi：i∈I} ?{Bc} 存在有限子族{G1，G2，…，Gn} ?{Bc} ，并且滿足覆蓋A，從 而{G1，G2，…，Gn} 是A?B的 超b- 開 覆 蓋?={Gi：i∈I} 的 有 限 子 族 ，并 且 滿 足覆蓋A?B.故是A?B是幾乎超b-緊的.

Al-shami文獻［7］中給出了X是幾乎超緊空間（幾乎超lindel?f空間）的定義：如果對于X的任意超開覆蓋μ都存在一個有限（可數(shù)）子族ν，滿足{clμ(V)|V∈ν} 覆蓋X.

定理4設f：(X，μ)→(Y，σ)是超b?連續(xù)映射，并且是滿射.如果X是幾乎超b-緊空間，則Y是幾乎超緊空間.

證明：設f：(X，μ)→(Y，σ)是從幾乎超b-緊空間(X，μ)到超拓撲空間(Y，σ)上的超b?連續(xù)映射，且?={Ai：i∈I} 是(Y，σ)的一個超開覆蓋.因為f是超b?連續(xù)映射，所以{f-1(A i)：i∈I} 是(X，μ)的超b-開覆蓋.由于(X，μ)是幾乎超b-緊空間，則超b-開覆蓋{f-1(A i)：i∈I} 存在有限子族{f-1(A1)，f-1(A2)，…，f-1(A n)}，滿足

覆蓋X.即因為f是滿射，所以f(X)=故Y是幾乎超緊空間.

定理5任意的幾乎超b-緊空間都是弱超b-緊空間.

證明：設(X，μ)是幾乎超b-緊空間，且?={Hi：i∈I} 是(X，μ)的超b-閉開覆蓋.因為(X，μ)是幾乎超b-緊的，所以?={Hi：i∈I} 存在著有限子族{H1，H2，…，Hn} ，并且滿足{clbμ(H)|H∈{H1，H2，…，Hn} }覆蓋X.因為Hi是超b-閉開集，所，因此{H1，H2，…，Hn}是(X，μ)的超b-閉開覆蓋?={Hi：i∈I} 的有限超子覆蓋，故X是弱超b-緊空間.

定理6任意的弱超b-緊空間中的超b-閉開集是弱超b-緊的.

證明：設F是弱超b-緊空間X中的一個超b-閉開集，并且{Gi：i∈I} 是F的一個超b-閉開覆蓋.因為F是超b-閉開集，所以Fc是超b-閉開集.從而{Gi：i∈I} ?{Fc} 是X的一個超b-閉開覆蓋.因為X是弱超b-緊空間，所以X的一個超b-閉開覆蓋{Gi：i∈I} ?{Fc} 存在有限超子覆蓋{G1，G2，…，Gn} ?{Fc} ，從而{G1，G2，…，Gn} 是F的超b-閉開覆蓋{Gi：i∈I} 的有限超子覆蓋，故是F弱超b-緊的.

Sayed等人在文獻［3］中給出了f為超b-連續(xù)映射的定義：設(X，μ)，(Y，σ)是兩個拓撲空間，μ?是μ的伴隨超拓撲，映射f：(X，μ)→(Y，σ)，如果對于Y中每個開集V，滿足f-1(V)是X中的超b-開集.

定理7弱超b-緊子集在是超b-連續(xù)映射下的像是緊的.

證明：設(X，μ)是超拓撲空間，A?X，f：X→Y是超b-連續(xù)映射，且{Ai：i∈I} 是f(A)的一個開覆蓋，即因為f是超b-連續(xù)映射，所以是A的超b-開覆蓋.由于A是超b-緊子集，故存在有限超子覆蓋，設為為f(A)的開覆蓋{Ai：i∈I} 的有限子覆蓋，故f(A)是緊的.

3 結語

本文在超緊空間和超b-緊空間中的性質基礎上，研究了它們的推廣空間—幾乎超b-緊空間和弱超b-緊空間的遺傳性和映射性質，得出以下結論：幾乎超b-緊空間中的超b-閉子集是幾乎超b-緊的，弱超b-緊空間中的超b-閉開子集是弱超b-緊的，幾乎超b-緊空間在超b?連續(xù)滿射下的像是幾乎超緊的，并給出了詳細的證明.在超可數(shù)緊空間和超b-可數(shù)緊空間的基本性質的基礎上，幾乎超b-可數(shù)緊空間的性質研究有待于進一步的完善.本文的研究拓展了超緊空間和超b-緊空間的研究領域，為其他類型的超緊空間的研究提供了理論思想和研究方法.