新三維離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)及混沌控制

李德奎，魏興民

(1.甘肅中醫(yī)藥大學(xué) 定西校區(qū) 理科教學(xué)部，甘肅 定西743000；2.甘肅中醫(yī)藥大學(xué) 公共衛(wèi)生學(xué)院，甘肅 蘭州730000)

0 引言

自1963年氣象學(xué)家Lorenz提出著名的Lorenz系統(tǒng)[1]以來，大量的混沌系統(tǒng)相繼被提出，其中具有代表性的連續(xù)系統(tǒng)有Chen系統(tǒng)[1]、Lü系統(tǒng)[1]等，離散系統(tǒng)有Logistic映射[2]、Hénon映射[2]等.對(duì)離散系統(tǒng)的研究目前主要集中在二維系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析、同步控制及應(yīng)用方面[3-7]，對(duì)高維離散系統(tǒng)的研究較少，然而現(xiàn)實(shí)生活中，利用高維離散系統(tǒng)能夠解決許多實(shí)際問題，尤其是在圖像加密中具有重要的應(yīng)用價(jià)值[8-9]，為此研究高維離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)及混沌行為是必要的.

混沌控制是混沌應(yīng)用的前提.1990年，Ott等[10]提出了利用參數(shù)微擾法進(jìn)行混沌控制，這種方法也被稱為是OGY方法，但是此方法的缺點(diǎn)是以局部線性化為基礎(chǔ)，控制過程中存在誤差.此后，混沌控制問題一直是混沌研究的一個(gè)熱點(diǎn)[11-16]，一些混沌控制方法被相關(guān)學(xué)者提出，例如自適應(yīng)控制法[13]，滑膜控制法[14]，模糊邏輯控制法[15]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制法[16]，等等，這些方法為精確地實(shí)現(xiàn)混沌的控制與同步奠定了基礎(chǔ).

基于以上考慮，本文基于Hénon映射為基礎(chǔ)，通過增加非線性項(xiàng)的方法，給出了一個(gè)三維離散系統(tǒng)，該系統(tǒng)共有12個(gè)項(xiàng)，其中含有7個(gè)非線性項(xiàng)，并研究了系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)的混沌行為利用Metican小波函數(shù)進(jìn)行了控制，將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)控制到周期運(yùn)動(dòng)，本文的研究成果混沌遮掩保密通信技術(shù)具有重要的理論意義.

1 新三維離散系統(tǒng)

本文給出的新三維離散系統(tǒng)是一個(gè)三元二次迭代方程組，其動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

其中a、b為系統(tǒng)參數(shù)，取定參數(shù)b=0.3，當(dāng)參數(shù)a∈[-0.3，0.4]時(shí)，繪制出系統(tǒng)(1)的分岔圖，并通過分岔圖分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，變量xn隨參數(shù)a變化的分岔圖如圖1所示.

圖1 新離散系統(tǒng)(1)的分岔圖

從圖1(a)可以看出，當(dāng)參數(shù)a∈[-0.3，0.2)時(shí)，系統(tǒng)(1)處于周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a∈[0.2，0.32]時(shí)，系統(tǒng)(1)進(jìn)入混沌區(qū)域，從圖1(b)可以看出，在混沌區(qū)域內(nèi)，有許多周期窗口，系統(tǒng)在混沌與周期運(yùn)動(dòng)之間交替運(yùn)動(dòng).

取初值條件為x0=0.7，y0=0.3，z0=0.4，參數(shù)b=0.3時(shí)，給出了系統(tǒng)(1)在a的不同取值下的相圖.

圖2 新離散系統(tǒng)(1)隨參數(shù)a變化的相圖

從圖2可以看出，當(dāng)參數(shù)a=-0.1時(shí)，系統(tǒng)(1)穩(wěn)定于平衡點(diǎn)，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)(如圖2(a)所示)；當(dāng)參數(shù)a=0.14時(shí)，系統(tǒng)(1)穩(wěn)定于周期三運(yùn)動(dòng)(如圖2(b)所示)；當(dāng)參數(shù)a=0.195時(shí)，系統(tǒng)(1)的周期三失穩(wěn)，出現(xiàn)三條閉合曲線(如圖2(c)所示)；當(dāng)參數(shù)a=0.28時(shí)，系統(tǒng)(1)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，具有如圖2(d)所示的混沌吸引子；當(dāng)參數(shù)a=0.292時(shí)，系統(tǒng)(1)又處于周期十運(yùn)動(dòng)(如圖2(e)所示)，當(dāng)參數(shù)a=0.32時(shí)，系統(tǒng)(1)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，具有如圖2(f)所示的混沌吸引子.在混沌區(qū)內(nèi)隨著參數(shù)a的不斷增大，周期運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)，這與從圖1所示的分岔圖中得到的結(jié)論是一致的.

2 新三維系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)

根據(jù)非線性系統(tǒng)的線性化方法，可得系統(tǒng)(1)的雅可比矩陣為

(2)

設(shè)

J=f′(x1)f′(x2)…f′(xi)

(3)

將矩陣J的3個(gè)特征值求模，得到由大到小的排列為

(4)

系統(tǒng)(1)的Lyapunov計(jì)算公式為

(5)

其中k=1，2，3.

根據(jù)系統(tǒng)(1)的Lyapunov計(jì)算公式為(5)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=0.32，b=0.3，初值條件為x0=0.7，y0=0.3，z0=0.4時(shí)，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜為(0.167 0，-0.410 0，-0.428 3)，有一個(gè)大于零的Lyapunov指數(shù)，說明系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=0.32，b=0.3處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

同樣在系統(tǒng)參數(shù)a=0.32，b=0.3時(shí)，針對(duì)兩組不同的初值條件x0=0.7，y0=0.3，z0=0.4和x0=0.700 01，y0=0.3，z0=0.4，考察系統(tǒng)對(duì)初值的敏感依賴性.

圖3 新離散混沌系統(tǒng)(1)對(duì)初值條件的敏感依賴性圖

從圖3可以看出，對(duì)于初值條件的微小差異，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡大相徑庭，進(jìn)一步說明當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=0.32，b=0.3時(shí)，系統(tǒng)(1)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

3 小波函數(shù)迭代控制

小波函數(shù)具有振蕩性，隨著自變量在正負(fù)方向的不斷延伸，小波函數(shù)快速衰減，因此其具有很強(qiáng)的收斂性，用小波函數(shù)進(jìn)行混沌控制，能夠抑制系統(tǒng)的混沌行為，Metican小波函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖4 Metican小波函數(shù)的圖像

(6)

其圖像如圖4所示.Metican小波函數(shù)不具有正交性和尺度函數(shù)，但在時(shí)域和頻域上具有很好的局部化性質(zhì)，同時(shí)滿足在全體實(shí)數(shù)區(qū)間上的無(wú)窮積分為零.

本文選擇Metican小波函數(shù)對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行混沌控制，為了得到更多的控制結(jié)果，將小波函數(shù)的系數(shù)設(shè)為增益系數(shù)k，通過調(diào)節(jié)增益系數(shù)k的值，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)(1)的各種控制，用小波函數(shù)分別乘以第一個(gè)和第二個(gè)方程，得到受控的迭代方程組為

(7)

圖5 Metican小波函數(shù)控制下系統(tǒng)(1)分岔圖

將系統(tǒng)參數(shù)和初值條件取為a=0.32，b=0.3，x0=0.7，y0=0.3，z0=0.4時(shí)，系統(tǒng)(7)關(guān)于增益系數(shù)k的分岔圖如圖5所示.

從圖5可以看出，通過小波函數(shù)，可以將系統(tǒng)控制到周期軌道，同時(shí)也能將系統(tǒng)控制到混沌軌道等，可以看出當(dāng)k=0.1時(shí)，小波函數(shù)能將系統(tǒng)控制到周期一運(yùn)動(dòng)，當(dāng)k=5時(shí)，小波函數(shù)能將系統(tǒng)控制到周期三運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)螖?shù)n=2 000時(shí)，打開控制開關(guān)實(shí)施控制，小波函數(shù)控制的結(jié)果如圖6所示.

圖6 小波函數(shù)控制下系統(tǒng)(1)的迭代次數(shù)序列圖

4 結(jié)論

由于眾多實(shí)際問題能夠用高維離散系統(tǒng)來描述，所以研究高維離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及其混沌控制是非常必要的.本文給出的三維離散系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為：周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)以及混沌運(yùn)動(dòng)等.通過Metican小波函數(shù)僅對(duì)三維離散系統(tǒng)的兩個(gè)變量進(jìn)行了控制，在不同的反饋增益系數(shù)下，能將三維離散混沌系統(tǒng)控制到不同的周期軌道.