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      基于廣義Reed-Solomon碼構(gòu)造的兩類量子MDS碼

      2021-03-17 09:33:42李建濤王偉偉
      關(guān)鍵詞:遼寧大學(xué)綜上廣義

      李建濤,王偉偉

      (遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110036)

      0 引言

      近年來,量子計(jì)算成為一個(gè)熱門的話題.量子糾錯(cuò)碼在量子通信和量子計(jì)算中扮演重要角色.構(gòu)造一個(gè)具有好的參數(shù)的量子糾錯(cuò)碼是非常重要的.近年來,許多研究者通過經(jīng)典糾錯(cuò)碼構(gòu)造了大量的量子糾錯(cuò)碼.

      1 預(yù)備知識(shí)

      1.1 Hermite自正交

      1.2 廣義Reed-Solomon碼

      GRSk(a,v)={(v1f(a1),v2f(a2),…,vnf(an))|f(x)∈Fq2[x],degf(x)

      稱GRSk(a,v)為Fq2上的一個(gè)廣義Reed-Solomon碼GRSk(a,v).是一個(gè)參數(shù)為[n,k,n-k+1]q2的MDS碼.事實(shí)上,GRSk(a,v)的生成矩陣為

      下面的引理常被用來判斷一個(gè)廣義Reed-Solomon碼是否是Hermite自正交的.

      下面的結(jié)果現(xiàn)在經(jīng)常用于構(gòu)造新的量子MDS碼.

      定理 1[22]如果C是參數(shù)為[n,k,d]q2的線性碼且C⊥H=C,則存在參數(shù)為[n,2k-n,≥d]q的量子碼.

      推論1[22]如果C是參數(shù)為[n,k,n-k+1]q2的經(jīng)典Hermite自正交MDS碼,則存在參數(shù)為[[n,n-2k,k+1]]q的量子MDS碼.

      2 主要結(jié)果

      2.1 第一類量子MDS碼的構(gòu)造

      為了得到本小節(jié)的結(jié)果,需要下面幾個(gè)引理.

      (1)

      綜上,總有〈aqi+j,vq+1〉E=0.

      2.2 第二類量子MDS碼的構(gòu)造

      為了得到本小節(jié)的結(jié)果,需要下面幾個(gè)引理.

      (2)

      (3)

      AuT=(0,…,0)T,

      (4)

      考慮方程組:

      BuT=(1,0,…,0)T.

      (5)

      綜上,總有〈aqi+j,vq+1〉E=0.

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