參數(shù)選擇與運(yùn)算繁簡(jiǎn)的關(guān)聯(lián)度初探

王海棠　劉新春

[摘 要]平面解析幾何中，一個(gè)常見的策略就是假設(shè)參數(shù)來表示題目中的相關(guān)量.但不同的參數(shù)對(duì)運(yùn)算的繁簡(jiǎn)影響很大，這就需要合理假設(shè)參數(shù)優(yōu)化運(yùn)算.研究選擇參數(shù)的方法，分析參數(shù)對(duì)運(yùn)算量的影響，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意合理選擇參數(shù)，能提高學(xué)生的解題速度.

[關(guān)鍵詞]解析幾何;參數(shù);選擇

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）08-0010-03

在求解平面解析幾何問題的過程中，一個(gè)無法回避、令人頭痛的問題是如何假設(shè)參數(shù).設(shè)立參數(shù)是為了將問題中的幾何條件用數(shù)量關(guān)系來表示.通常有假設(shè)直線的斜率（斜率參數(shù)）、假設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（坐標(biāo)參數(shù)）、假設(shè)角度（角度參數(shù)）和假設(shè)線段的數(shù)量（數(shù)量參數(shù)）四種方法.實(shí)踐與研究表明，選擇不同的參數(shù)往往會(huì)產(chǎn)生不同的運(yùn)算量，那么，它們之間的關(guān)聯(lián)度到底如何？

從以上5種方法我們還可以看到，在解決解析幾何問題的過程中，運(yùn)算量是怎樣產(chǎn)生增加的.

（1）聯(lián)立方程組解交點(diǎn)坐標(biāo).

（2）動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為兩個(gè)及以上的參數(shù)所表示的代數(shù)式尤其是分式，表示直線方程和進(jìn)行其他運(yùn)算.

（3）基本量或直線（曲線）方程形式用多個(gè)字母及復(fù)雜的分式、根式表示時(shí)，如三角形的面積、線段的長(zhǎng)度.

（4）復(fù)雜的消元過程導(dǎo)致運(yùn)算量增大.

（5）問題本身?xiàng)l件眾多，絕對(duì)計(jì)算量大.

綜合分析假設(shè)參數(shù)與運(yùn)算量形成原因之間的關(guān)系，我們對(duì)如何假設(shè)參數(shù)有以下啟示.

（1）如果假設(shè)直線斜率為主參數(shù)，并用于表示其他動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)和數(shù)量關(guān)系，如果不需要聯(lián)立方程組解交點(diǎn)坐標(biāo)，則不會(huì)增加過多運(yùn)算量.

（2）如果能直接運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)原始坐標(biāo)（單個(gè)字母）表示數(shù)量關(guān)系，其結(jié)果形式比較簡(jiǎn)單;若設(shè)立坐標(biāo)參數(shù)表示的數(shù)量關(guān)系中一個(gè)字母[x（y）]只含有二次項(xiàng)，則可以運(yùn)用圓錐曲線的方程消去參數(shù)，此時(shí)則宜設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為主參數(shù)，其運(yùn)算量相對(duì)減少.

（3）通常可以先同時(shí)設(shè)立直線的斜率參數(shù)和坐標(biāo)參數(shù)，然后分別用這些參數(shù)表示題目條件并轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，比較哪種參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系運(yùn)算量少、形式簡(jiǎn)單，就以此種參數(shù)為主參數(shù)表示另外的參數(shù)和數(shù)量關(guān)系.

（4）參數(shù)的選擇對(duì)解題過程的運(yùn)算量大小有直接的影響，但有些運(yùn)算量并不是因?yàn)樵O(shè)立某種參數(shù)造成的.假設(shè)任何參數(shù)都有一定的運(yùn)算量，但可以通過一些技能技巧簡(jiǎn)化形式，減少運(yùn)算量.如能不解方程組盡量不解，直接假設(shè)坐標(biāo)參數(shù)為主參數(shù)，盡量不設(shè)斜率參數(shù)表示交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于表示長(zhǎng)度、面積以及復(fù)雜的分式根式，能整體代換盡量不化整為零，對(duì)于復(fù)雜的分式能分解因式盡量不要先行展開，以便分母、分子約去公因式，化簡(jiǎn)到最后再代入求值.假設(shè)參數(shù)不需要求出結(jié)果的盡量設(shè)而不求.