德州學院能源與機械學院 孫秀云
根軌跡作為一種經典的分析方法,經常被用來進行線性系統(tǒng)分析。但是對于復雜系統(tǒng)手繪根軌跡非常困難,針對這個問題,本文利用MATLAB中的GUI設計了根軌跡仿真分析平臺。線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為,一般多項式形式、乘積多項式形式和零、極點三種形式,本文所設計的仿真分析平臺可以繪出三種傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)根軌跡,還可以零極點改變對系統(tǒng)根軌跡的影響。該仿真平臺很大程度上減少了線性系統(tǒng)根軌跡分析的工作量,也使根軌跡的分析結果變得更加直觀。
線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征根決定系統(tǒng)性能,當系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時,閉環(huán)特征根也會生成相應的根軌跡,所以根軌跡與系統(tǒng)性能之間也有著比較密切的聯(lián)系。根軌跡是經典控制理論中,分析和設計線性定常系統(tǒng)最常用的圖解方法,特別在進行多回路高階系統(tǒng)的分析時,應用根軌跡法比用其他方法更加方便,因此,根軌跡在工程實踐中獲得了廣泛的應用。
對于低階的系統(tǒng),我們可以利用解析的方法直接求出閉環(huán)特征根隨系統(tǒng)參數(shù)變化的曲線,但是對于高階系統(tǒng),我們很難手繪出其根軌跡,尤其是在課堂上講解時,更是不可能短時間繪出一個復雜系統(tǒng)的根軌跡。為了便于在課堂上快速繪制出系統(tǒng)根軌跡,便于講解根軌跡對系統(tǒng)性能的影響,本文設計了線性系統(tǒng)根軌跡仿真分析平臺。
本文所設計的根軌跡仿真分析平臺,根據(jù)設定的線性系統(tǒng)模型,可以快速地繪制出該系統(tǒng)的根軌跡曲線。這樣學生在課堂上就可以方便地根據(jù)根軌跡曲線分析系統(tǒng)的性能,從而對系統(tǒng)進行設計。
線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型有多種表達形式,一般包括:分子和分母為s一般多項式形式、分子和分母為s乘積多項式形式和零、極點形式這三種。該仿真平臺對于每一種形式都可以任意設定系統(tǒng)參數(shù),從而確定出不同系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型,而且對于傳遞函數(shù)的每一種形式均可以快速地繪制出根軌跡。這就在很大程度上減少了線性系統(tǒng)根軌跡分析的工作量,也使課堂上根軌跡的分析變的更加直觀。本仿真平臺總體主界面如圖1所示。
對于分子分母為s一般多項式的傳遞函數(shù),按照分子分母多項式的形式進行程序的編程和根軌跡的繪制。在界面中設置四個可編輯文本框,程序加在所放置的繪圖按鈕的回調函數(shù)callback下,且必須在句柄后輸入根軌跡所顯示的軸位置即axes。首先在該子界面的可編輯文本框中輸入所要繪制的開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母的系數(shù),輸入后在可選擇按鈕中選擇所需繪制根軌跡圖形樣式,操作完成就會在右邊軸中顯示出所要求的根軌跡圖形。隨著光標移動可以顯示出所指該點的開環(huán)增益、閉環(huán)極點、最大超調量和自然振蕩角頻率。
圖1 根軌跡仿真平臺主界面
圖2 一般多項式形式繪制根軌跡界面
輸入傳遞函數(shù)參數(shù),程序運行后的效果圖2所示。圖中根軌跡上黑點處的開環(huán)增益為54,閉環(huán)極點是-0.0674+2.971i,最大超調量為107,自然振蕩角頻率為2.97rad/s。因此,可以得出系統(tǒng)穩(wěn)定時開環(huán)增益Kg<53。
繪制根軌跡按鈕的回調函數(shù)編寫如下:
圖3 零、極點形式繪制根軌跡界面
圖4 乘積多項式形式繪制根軌跡界面
零極點形式傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)可以根據(jù)繪制根軌跡規(guī)則手繪出近似根軌跡曲線,但是不能繪制出精確根軌跡,尤其是對于高階系統(tǒng)很難手繪出其精確根軌跡曲線。本文設計了根據(jù)零極點形式快速繪出根軌跡的仿真程序,實現(xiàn)程序和一般多項式形式類似,程序界面如圖3所示。運行該程序時,只要輸入系統(tǒng)的零極點,仿真程序就會快速繪制出根軌跡曲線,運行效果如圖3所示。
傳遞函數(shù)的分子和分母均為多項式乘積表達式時,且多項式不是零極點形式,這樣的傳遞函數(shù)稱為乘積多項式的傳遞函數(shù)。這種表達形式和零極點繪制方法有所不同,所以本文又設計了按照乘積多項式形式繪制根軌跡曲線的仿真程序,實現(xiàn)方法也是和一般多項式設計方法一樣,最終仿真界面如圖4所示。輸入傳遞函數(shù)參數(shù),運行結果如圖4所示,從圖4中可以看出該系統(tǒng)的根軌跡為一個圓。
在經典控制理論中,控制系統(tǒng)設計的重要評價取決于系統(tǒng)的單位階躍響應,由階躍響應可以很容易地求出系統(tǒng)的各項性能指標。但是,在系統(tǒng)初步設計過程中,重要的方面往往不是如何求出系統(tǒng)的階躍響應,而是如何根據(jù)已知的閉環(huán)零極點去定性地分析系統(tǒng)的性能。根據(jù)根軌跡就可以得到系統(tǒng)的閉環(huán)極點,那么當系統(tǒng)開環(huán)零極點變化的時候,閉環(huán)系統(tǒng)零極點如何變化,對系統(tǒng)性能分析有著重要作用。利用該仿真系統(tǒng),可以很容易分析開環(huán)系統(tǒng)的零極點對根軌跡的影響。
如果給定的原線性控制系統(tǒng)函數(shù)為G(s)=k/s(s^2+4s+5),用我們設計的圖形用戶界面進行MATLAB仿真,繪制該線性系統(tǒng)的根軌跡。過程如圖5所示。
(1)打開GUI設計的主界面,根據(jù)傳遞函數(shù)形式選擇“乘積多項式形式”按鈕,單擊進入“乘積多項式形式”子界面。
(2)按照所給定的傳遞函數(shù)參數(shù),在子界面可編輯文本框中填入數(shù)據(jù)。
(3)選擇所要繪制根軌跡圖形樣式,單擊“根軌跡繪圖”按鈕。
(4)在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后,總體運行界面如圖5所示。
如果在原線性控制系統(tǒng)上增加一個開環(huán)零點后的線性控制系統(tǒng)函數(shù)為G(s)=k(s+1)/s(s^2+4s+5),用圖形用戶界面進行MATLAB仿真,在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后,總體運行界面如圖6所示。
通過原線性控制系統(tǒng)與增加零點后的系統(tǒng)根軌跡圖形的仿真結果可以看出:
圖5 原線性控制系統(tǒng)函數(shù)根軌跡
圖6 增加零點后的控制系統(tǒng)根軌跡
圖7 增加零點后的系統(tǒng)根軌跡
增加開環(huán)零點后,在實軸上的根軌跡的分布發(fā)生變化。
在增加開環(huán)零點后,根軌跡漸近線的條數(shù)發(fā)生變化。
增加開環(huán)零點后,若系統(tǒng)的某個開環(huán)極點和增加的開環(huán)零點重合或者相近,那么它們就構成了一對開環(huán)偶極子,可以相互抵消。于是,可以給系統(tǒng)添加一個零點以抵消損失系統(tǒng)性能的極點。
在開環(huán)零點增加以后,系統(tǒng)根軌跡圖將向左移動,這對于系統(tǒng)的動態(tài)性能來說很有利。并且系統(tǒng)所加的零點離虛軸越近,它對整個系統(tǒng)的影響就越大。
如果在原線性控制系統(tǒng)上增加一個開環(huán)極點后的線性控制系統(tǒng)函數(shù)為G(s)=k/s(s-1)(s^2+4s+5),用圖形用戶界面進行MATLAB仿真,在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后,總體運行結果如圖7所示。
通過原線性控制系統(tǒng)與增加極點后的線性控制系統(tǒng)根軌跡圖形的仿真結果比較可以得出:
(1)增加開環(huán)極點后,在實軸上的根軌跡的分布發(fā)生變化。
(2)增加開環(huán)極點的數(shù)量會改變系統(tǒng)根軌跡的漸近線。增加開環(huán)極點將改變根軌跡的分支數(shù)。
(3)在開環(huán)極點增加以后,系統(tǒng)根軌跡圖將向右挪動,這對于系統(tǒng)的動態(tài)性能來說是不利的。因此,系統(tǒng)所加的極點離虛軸越近,它對整個系統(tǒng)的影響就越大。
總結:本文主要應用MATLAB的GUI設計了根軌跡仿真平臺,該平臺可以讓用戶在實際操作中更直觀,更高效地繪制出系統(tǒng)的根軌跡。在主界面中設置3個按鈕,分別是一般多項式形式、乘積多項式形式和零、極點形式三種按鈕,運用MATLAB中的函數(shù)對每一個主界面按鈕進行函數(shù)編程,這樣在運行時點擊相關按鈕就可以跳轉至對應的子界面;然后再分別在每個子界面中根據(jù)所需要的內容進行界面設計和相應的程序編輯。該仿真平臺人機交互界面簡潔,操作方便,使根軌跡繪制不再那么復雜繁瑣,便于對線性控制系統(tǒng)的性能分析研究,也會大大提高課堂效率。