動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解方法重構(gòu)及預(yù)測(cè)流場(chǎng)誤差分析

孫國勇， 董加新， 趙志高， 王玉川

(1. 西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院， 陜西 楊凌 712100； 2. 武漢大學(xué) 水資源與水電工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430072)

理論模型方程可以準(zhǔn)確、完整地描述一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性.但是，當(dāng)模型方程不能確定或不完善時(shí)，就需要使用數(shù)據(jù)本身解釋系統(tǒng).近年來，為描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)系統(tǒng)數(shù)據(jù)矩陣降維處理并建立其線性近似動(dòng)力學(xué)模型已被證明是一種行之有效的方法[1].動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解(dynamic mode decomposition, DMD)是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法，無需控制方程，直接從試驗(yàn)測(cè)量或數(shù)值模擬流場(chǎng)數(shù)據(jù)中提取動(dòng)力學(xué)信息，用于分析復(fù)雜非定常流動(dòng)主要特征或建立低階流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)和控制給定流場(chǎng).這種方法的最大優(yōu)勢(shì)是分解所得模態(tài)具有單一頻率和增長/衰減率[2]，因此在分析和研究周期性流動(dòng)問題上更具優(yōu)勢(shì).目前，已被應(yīng)用到許多非定常流場(chǎng)分析中，如方腔流動(dòng)[3]、文丘里管空化流動(dòng)[4]和混流泵葉頂泄落渦[5]等.但是目前基于DMD對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)、預(yù)測(cè)誤差變化的研究還有待深入，這也是DMD應(yīng)用于流體工程中的核心問題.

圓柱繞流產(chǎn)生卡門渦誘導(dǎo)渦激振蕩是流體工程中常見的非定常流動(dòng)現(xiàn)象，如海洋細(xì)長柔性立管[6]、高空懸索橋[7]以及超高層建筑[8]等，渦激共振會(huì)導(dǎo)致微動(dòng)磨損、碰撞損壞和材料疲勞等.2020年5月廣東省虎門懸索大橋產(chǎn)生異常抖動(dòng)正是渦激共振所導(dǎo)致[9].而動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解分析能夠獲取各階模態(tài)的單一頻率所對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)相干結(jié)構(gòu)和模態(tài)能量，將其與結(jié)構(gòu)固有頻率進(jìn)行對(duì)比分析，從而為有效抑制渦激共振提供指導(dǎo).另一方面，作為流體力學(xué)經(jīng)典問題，研究人員對(duì)圓柱繞流流動(dòng)規(guī)律已經(jīng)有較為深刻的認(rèn)識(shí)，因此，經(jīng)常用作流場(chǎng)分析方法的應(yīng)用對(duì)象，來驗(yàn)證方法可行性和可靠性.采用仿真計(jì)算可模擬卡門渦形成、發(fā)展(非線性變化)和穩(wěn)定脫落(周期性變化)過程，已成為典型的驗(yàn)證數(shù)據(jù)分析方法.近年來，葉坤等[10]以圓柱繞流為例，采用DMD方法提取模態(tài)，驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性和可行性.但是，上述研究都沒有進(jìn)行基于DMD方法流場(chǎng)重構(gòu)和預(yù)測(cè)的誤差分析.

筆者以雷諾數(shù)Re=80的圓柱繞流卡門渦街形成的非線性發(fā)展過程和周期性脫落過程為例，研究非定常流場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解、重構(gòu)及預(yù)測(cè)，重點(diǎn)分析重構(gòu)和預(yù)測(cè)的誤差變化發(fā)展規(guī)律.首先，采用數(shù)值模擬方法分析Re=80的圓柱繞流卡門渦形成、發(fā)展和穩(wěn)定脫落的非定常流場(chǎng)過程；其次，通過動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解技術(shù)對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行降維分解處理，得到流場(chǎng)各階DMD降維模型，進(jìn)而利用降維模型重構(gòu)和預(yù)測(cè)圓柱繞流的非定常流場(chǎng)；最后，定量分析不同階段不同樣本DMD方法重構(gòu)和預(yù)測(cè)二維圓柱繞流非定常流場(chǎng)的誤差發(fā)展情況.

1 數(shù)值模擬

1.1 圓柱繞流數(shù)值模擬

計(jì)算區(qū)域如圖1所示，圓柱直徑為特征長度D，計(jì)算模型區(qū)域選為25.0D×10.0D，計(jì)算域網(wǎng)格采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，中心圓柱采用O型網(wǎng)格進(jìn)行加密.網(wǎng)格總節(jié)點(diǎn)數(shù)為46 012個(gè).圓柱表面為無滑移邊界條件，上下側(cè)采用對(duì)稱邊界，入口條件設(shè)置為速度入口，出口條件為充分發(fā)展的自由出流邊界條件.

圖1 計(jì)算域示意圖

采用SIMPLE算法進(jìn)行數(shù)值模擬，時(shí)間步長Δt=0.5 s.進(jìn)口來流條件為Re=80(進(jìn)口流速v=0.011 69 m·s-1)，選用層流模型，介質(zhì)為空氣，運(yùn)動(dòng)黏度為1.460 7×10-5m2·s-1，控制收斂精度為10-4，計(jì)算總步數(shù)設(shè)置為3 600 步，即模擬1 800 s的圓柱繞流非定常流場(chǎng)流動(dòng)過程.

1.2 數(shù)值模擬結(jié)果的驗(yàn)證

數(shù)值模擬的卡門渦形成過程的升力系數(shù)Cl時(shí)域圖如圖2所示.根據(jù)升力曲線的變化特征，將卡門渦的發(fā)展過程分為3個(gè)階段(見圖2中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ).第Ⅱ和第Ⅲ階段升力系數(shù)FFT變換后的主要頻率及幅值如表1所示.

圖2 升力系數(shù)時(shí)域圖

表1 升力系數(shù)主要頻率及幅值

斯特勞哈爾數(shù)為

(1)

式中：fo為旋渦脫落頻率, Hz；v為自由來流速度, m·s-1.

文獻(xiàn)[11]擬合的斯特勞哈爾數(shù)為

(2)

從表1可以看出：第Ⅲ階段(卡門渦穩(wěn)定脫落)升力系數(shù)主頻為0.018 6 Hz，由式(1)可得斯特勞哈爾數(shù)Sr為0.159 1，由式(2)計(jì)算的結(jié)果為0.154 7，兩者誤差為2.8%，說明數(shù)值計(jì)算準(zhǔn)確捕捉到了卡門渦脫落的動(dòng)態(tài)過程.同時(shí)，數(shù)值計(jì)算模擬的卡門渦非線性形成過程，與文獻(xiàn)[10，12]的計(jì)算結(jié)果一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了計(jì)算的準(zhǔn)確性.

1.3 卡門渦街發(fā)展過程

由圖2可知，卡門渦形成過程可以分為3個(gè)階段，各個(gè)階段渦形態(tài)分別如圖3-5所示.第Ⅰ階段(圖3)，邊界層開始分離，在圓柱后面形成對(duì)稱漩渦并逐漸向下游發(fā)展形成細(xì)長尾跡，直至出口，這一階段，對(duì)稱的尾渦雖然生長發(fā)展，但過程緩慢，始終呈現(xiàn)對(duì)稱狀態(tài)，因此升力系數(shù)波動(dòng)很微弱；第Ⅱ階段(圖4)，細(xì)長尾渦變得不穩(wěn)定，開始沿垂直方向擺動(dòng)，隨擺動(dòng)幅度增大，升力系數(shù)也逐漸增大，直至發(fā)展成為穩(wěn)定的卡門渦，此階段是非線性發(fā)展過程；第Ⅲ階段(圖5)，卡門渦處于穩(wěn)定周期性脫落過程，升力系數(shù)表現(xiàn)為穩(wěn)定周期性波動(dòng).

圖3 卡門渦形成階段

圖4 卡門渦發(fā)展階段

圖5 卡門渦穩(wěn)定脫落階段(t=1 300 s)

2 動(dòng)力學(xué)模態(tài)分解方法

數(shù)值計(jì)算后，可得N個(gè)時(shí)刻流場(chǎng)快照序列矩陣X=[x1x2…xN]，其中任意相鄰2個(gè)流場(chǎng)數(shù)據(jù)快照xi的時(shí)間間隔Δt很小，則向量xi+1和xi成線性映射關(guān)系，即

xi+1=Axi，

(3)

式中：A為高維矩陣.

(4)

(5)

(6)

式中：U為左奇異矩陣;Σ為奇異值對(duì)角矩陣；V*、U*分別為V、U的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

(7)

將特征值λi對(duì)數(shù)化，可得第i個(gè)模態(tài)對(duì)應(yīng)增長/衰減率σi和包含模態(tài)頻率信息的相速度ωi，即

(8)

頻率為

(9)

通過特征向量，構(gòu)建DMD動(dòng)態(tài)模型：

Φ=UW.

(10)

最后進(jìn)行流場(chǎng)數(shù)據(jù)重構(gòu)及預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)任意時(shí)刻流場(chǎng)重構(gòu)預(yù)測(cè)的方程式為

(11)

式中：b為模態(tài)幅值[13]bi構(gòu)成的向量；K為模態(tài)數(shù).

(12)

依據(jù)模態(tài)能量[14]標(biāo)準(zhǔn)提取主要模態(tài)，即

(13)

式中：I為模態(tài)能量；‖·‖F(xiàn)為Frobenius范數(shù).

為檢驗(yàn)重構(gòu)以及預(yù)測(cè)流場(chǎng)的準(zhǔn)確性，定義相對(duì)誤差函數(shù)為

(14)

式中：X(i)為流場(chǎng)第i時(shí)刻流場(chǎng)快照；XDMD(i)為DMD重構(gòu)預(yù)測(cè)流場(chǎng)第i時(shí)刻流場(chǎng)快照.

3 DMD結(jié)果及誤差變化分析

選取第Ⅱ、Ⅲ階段典型流場(chǎng)數(shù)據(jù)，研究DMD方法對(duì)非線性和周期性流場(chǎng)重構(gòu)和預(yù)測(cè)的誤差變化情況及其與樣本關(guān)系.從第Ⅱ階段提取3組數(shù)據(jù)樣本、第Ⅲ階段提取1組數(shù)據(jù)樣本用以研究各階段流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的主要特征，4組數(shù)據(jù)樣本如下： ① 300～450 s數(shù)據(jù)快照(見圖2中①)；② 450～600 s數(shù)據(jù)快照(見圖2中②)；③ 600～750 s數(shù)據(jù)快照(見圖2中③)；④ 1 100～1 250 s數(shù)據(jù)快照(見圖2中④).

動(dòng)態(tài)模態(tài)分解獲得的特征值λi實(shí)部(σi)為正，對(duì)應(yīng)模態(tài)系數(shù)發(fā)散；σi為負(fù)，對(duì)應(yīng)模態(tài)系數(shù)收斂；σi為0，對(duì)應(yīng)模態(tài)系數(shù)穩(wěn)定；虛部ωi表示包含模態(tài)頻率信息的相速度.在進(jìn)行穩(wěn)定性判斷時(shí)，同樣將λi置于復(fù)平面單位圓上判斷，單位圓內(nèi)，模態(tài)收斂；單位圓外，模態(tài)發(fā)散；單位圓上，則為穩(wěn)定模態(tài).

3.1 卡門渦發(fā)展階段

3.1.1 穩(wěn)定性分析

利用第②組數(shù)據(jù)樣本做DMD處理，得到特征值分布.發(fā)展階段模態(tài)特征值及對(duì)數(shù)化特征值實(shí)虛部關(guān)系如圖6所示.

圖6 發(fā)展階段模態(tài)特征值及對(duì)數(shù)化特征值實(shí)虛部關(guān)系圖

特征值以共軛復(fù)數(shù)形式成對(duì)出現(xiàn)的模態(tài)，稱共軛模態(tài)，實(shí)際上是1個(gè)模態(tài)(具有相同的動(dòng)力學(xué)特性).同時(shí)絕大多數(shù)模態(tài)位于單位圓內(nèi)，且非常接近單位圓，說明發(fā)展階段大多數(shù)模態(tài)均為衰減較慢的弱穩(wěn)定模態(tài)；極少數(shù)模態(tài)位于單位圓上，說明發(fā)展階段存在極少數(shù)極限穩(wěn)定的周期性循環(huán)模態(tài)，從圖6b可以看出，存在部分模態(tài)σi>0，說明模態(tài)發(fā)散.將模態(tài)能量按由大到小排序，因共軛模態(tài)實(shí)際為1個(gè)模態(tài)，故只取其中1個(gè)模態(tài)進(jìn)行分析，定義前i階模態(tài)所占能量比和第i階模態(tài)所占能量比分別為

N=1，2，…，R，

(15)

(16)

式中：R為去除共軛模態(tài)中的1個(gè)模態(tài)后剩余模態(tài)的總數(shù).

前i階模態(tài)所占能量比與第i階模態(tài)所占能量比如圖7所示，發(fā)展階段，提取的前6階主要模態(tài)所占能量比大于96.00%，動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表2所示.1階模態(tài)的σ1與ω1均為0，這是靜態(tài)模態(tài)，表示樣本時(shí)間段內(nèi)流場(chǎng)平均特性，整體上不會(huì)隨著時(shí)間而變化，其能量占比為92.69%.其中2、3、5階模態(tài)的σ為正，但數(shù)值很小，對(duì)應(yīng)發(fā)散緩慢弱穩(wěn)定模態(tài).而4、6階模態(tài)σ為負(fù)，數(shù)值也很小，對(duì)應(yīng)衰減緩慢弱穩(wěn)定.同時(shí)應(yīng)用DMD方法獲取2階模態(tài)頻率0.017 7 Hz與FFT得到的第Ⅱ階段主頻0.017 7 Hz相同，這說明DMD方法可準(zhǔn)確提取主頻模態(tài).由于本階段各模態(tài)發(fā)散、收斂摻雜，所以表現(xiàn)為發(fā)展階段流場(chǎng)的非線性發(fā)展過程.

圖7 第②組數(shù)據(jù)前i階模態(tài)及第i階模態(tài)所占能量比

表2 發(fā)展階段提取的DMD模態(tài)動(dòng)力學(xué)特性參數(shù)

第②組數(shù)據(jù)模態(tài)能量分別與增長/衰減率σi及Sr的關(guān)系如圖8所示.

圖8 第②組數(shù)據(jù)模態(tài)能量分別與增長/衰減率及Sr的關(guān)系

從圖8可以看出，高能量模態(tài)全部分布在低增長/衰減率和低頻的狀態(tài)下，這說明對(duì)流場(chǎng)起主要作用的是低頻和低增長/衰減率模態(tài)，且大尺度相干結(jié)構(gòu)變化相較于小尺度相干結(jié)構(gòu)變化慢.

對(duì)第①組和第③組數(shù)據(jù)做同樣的DMD處理，發(fā)現(xiàn)模態(tài)特征值分布和動(dòng)力學(xué)信息與第②組相比，規(guī)律一致，但由于截取數(shù)組時(shí)間段不同，提取流場(chǎng)動(dòng)態(tài)信息也不完全相同.

3.1.2 非線性變化流場(chǎng)重構(gòu)與預(yù)測(cè)誤差變化

在此非線性流動(dòng)階段，選取第①、②、③組流場(chǎng)大數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行重構(gòu)預(yù)測(cè)研究，基于這3組數(shù)據(jù)用式(11)進(jìn)行流場(chǎng)重構(gòu)和預(yù)測(cè)，并利用式(14)分析重構(gòu)及預(yù)測(cè)流場(chǎng)誤差，結(jié)果如圖9所示.

圖9 3組數(shù)據(jù)重構(gòu)預(yù)測(cè)與實(shí)際流場(chǎng)的相對(duì)誤差

從圖9可以看出：對(duì)于重構(gòu)流場(chǎng)，DMD方法均可對(duì)提取的3組數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確重構(gòu)，誤差量級(jí)僅為10-13；對(duì)于預(yù)測(cè)流場(chǎng)，誤差較重構(gòu)流場(chǎng)階躍增大，但是在近似一定時(shí)間范圍內(nèi)(近似與樣本時(shí)間相同)，亦可較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)流場(chǎng)發(fā)展，誤差為10-3～10-5.在圓柱繞流非線性發(fā)展階段，第①、②組數(shù)據(jù)可以較為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其后150 s左右的流場(chǎng)，之后流場(chǎng)會(huì)隨時(shí)間增長，差值呈指數(shù)增大；第③組數(shù)據(jù)由于接近周期性波動(dòng)的第Ⅲ階段，預(yù)測(cè)流場(chǎng)誤差隨時(shí)間增長也變大，但變大速度緩慢，且有逐漸趨于平緩的趨勢(shì)，預(yù)測(cè)到1 000 s時(shí)，誤差接近10-3.這說明第③組數(shù)據(jù)DMD近似系統(tǒng)矩陣已基本包含卡門渦穩(wěn)定脫落階段周期性流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)信息.由上述分析可知，根據(jù)不同樣本數(shù)據(jù)近似得到的系統(tǒng)矩陣所包含的動(dòng)力學(xué)信息不完全一致.因而，DMD對(duì)非線性變化流場(chǎng)的預(yù)測(cè)能力有限.

第③組數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)和仿真得到的1 000 s流場(chǎng)速度云圖如圖10所示.

圖10 第③組數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)與仿真得到的1 000 s流場(chǎng)速度云圖

從圖10可以看出：利用第③組數(shù)據(jù)可以預(yù)測(cè)1 000 s(卡門渦發(fā)展階段結(jié)束時(shí)間點(diǎn))流場(chǎng)的主要相干結(jié)構(gòu)和流場(chǎng)卡門渦主要形態(tài)，驗(yàn)證了上述誤差分析的準(zhǔn)確性；發(fā)展階段為非線性發(fā)展過程，因此預(yù)測(cè)流場(chǎng)速度云圖邊界沒有仿真計(jì)算的流場(chǎng)光滑.

3.2 卡門渦穩(wěn)定脫落階段

3.2.1 穩(wěn)定性分析

第④組數(shù)據(jù)進(jìn)行DMD計(jì)算得到的穩(wěn)定脫落階段模態(tài)特征值及對(duì)數(shù)化特征值實(shí)虛部關(guān)系如圖11所示.

圖11 穩(wěn)定脫落階段模態(tài)特征值及對(duì)數(shù)化特征值實(shí)虛部關(guān)系圖

從圖11a可以看出：穩(wěn)定脫落階段，有部分模態(tài)位于單位圓上，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定循環(huán)周期性模態(tài)，部分模態(tài)處于單位圓的內(nèi)部但非常接近單位圓，對(duì)應(yīng)衰減緩慢弱穩(wěn)定周期性模態(tài)，少部分模態(tài)位于距離單位圓較遠(yuǎn)的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)衰減較快的收斂模態(tài).結(jié)合圖11b，可準(zhǔn)確得出本階段無發(fā)散模態(tài).綜上可知，穩(wěn)定脫落階段流場(chǎng)體現(xiàn)為周期性穩(wěn)定的特性.

同理，通過式(15)、(16)可得穩(wěn)定脫落階段前i階模態(tài)所占能量比與第i階模態(tài)所占能量比，如圖12所示，1階模態(tài)占總能量的92.32%，前6階模態(tài)，所占能量比大于97.00%，本階段提取對(duì)流場(chǎng)起主要作用的前6階主要模態(tài)進(jìn)行研究.結(jié)合表3，可以定量看出前6階模態(tài)詳細(xì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)，1階模態(tài)σ與ω均為0，為靜態(tài)模態(tài)，不做考慮.其余能量占比較大的模態(tài)均表現(xiàn)為σ=0，對(duì)應(yīng)著穩(wěn)定周期性循環(huán)模態(tài)，進(jìn)一步說明了本階段流場(chǎng)表現(xiàn)為穩(wěn)定周期性循環(huán)狀態(tài).應(yīng)用DMD方法提取的2階模態(tài)頻率為0.018 9 Hz，與FFT分析的主頻0.018 6 Hz誤差為1.6%，說明此方法準(zhǔn)確地提取了繞流流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)信息.

圖12 穩(wěn)定脫落階段前i階模態(tài)及第i階模態(tài)所占能量比

表3 穩(wěn)定脫落階段提取的DMD模態(tài)動(dòng)力學(xué)特性參數(shù)

穩(wěn)定脫落階段模態(tài)能量與增長/衰減率及Sr的關(guān)系如圖13所示，高能量模態(tài)都處于低頻和低增長/衰減率狀態(tài)，高頻模態(tài)所具有的能量相對(duì)很小，對(duì)流場(chǎng)影響不大.這進(jìn)一步表明大尺度的相干結(jié)構(gòu)較小尺度的相干結(jié)構(gòu)變化較慢.

圖13 穩(wěn)定脫落階段模態(tài)能量分別與增長/衰減率及Sr的關(guān)系圖

模態(tài)向量虛部和實(shí)部刻畫的流場(chǎng)相干結(jié)構(gòu)形態(tài)相似，僅存在一定相位差異[12]，前6階模態(tài)刻畫的流場(chǎng)相干結(jié)構(gòu)云圖如圖14所示，vf為流速.

圖14 穩(wěn)定脫落階段前6階模態(tài)云圖

從圖14可以看出：第1階模態(tài)為靜態(tài)模態(tài)(即平均流場(chǎng))，它不隨時(shí)間變化而改變，代表流場(chǎng)的主要特性；第2階模態(tài)捕獲了明顯的漩渦交替脫落現(xiàn)象，其頻率與升力曲線的主要頻率相同，是卡門渦的主導(dǎo)相干結(jié)構(gòu)；隨著模態(tài)階數(shù)增高，其所含能量逐漸減小，相干結(jié)構(gòu)尺寸逐漸減小，脫落頻率逐漸增大，漩渦數(shù)量也在增多.

3.2.2 周期性流場(chǎng)重構(gòu)與預(yù)測(cè)誤差變化

穩(wěn)定脫落階段流場(chǎng)為周期性流動(dòng)，選擇第④組數(shù)據(jù)對(duì)本階段流場(chǎng)進(jìn)行流場(chǎng)重構(gòu)和預(yù)測(cè)，并分析重構(gòu)及預(yù)測(cè)流場(chǎng)誤差，結(jié)果如圖15所示.

圖15 第④組數(shù)據(jù)重構(gòu)預(yù)測(cè)與實(shí)際流場(chǎng)的相對(duì)誤差

從圖15可以看出： DMD方法能夠準(zhǔn)確重構(gòu)截取數(shù)據(jù)樣本的流場(chǎng)，誤差小于10-13，對(duì)于預(yù)測(cè)流場(chǎng)誤差同樣存在階躍增大，但誤差隨時(shí)間變化基本穩(wěn)定在10-4.

第④組數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)與仿真得到的1 800 s流場(chǎng)速度云圖如圖16所示，預(yù)測(cè)流場(chǎng)準(zhǔn)確捕捉到了穩(wěn)定脫落階段與仿真計(jì)算流場(chǎng)較為相似的流場(chǎng)主要相干結(jié)構(gòu).

圖16 第④組數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)與仿真得到的1 800 s流場(chǎng)速度云圖

4 結(jié) 論

1) DMD方法可以分解出圓柱繞流非定常流場(chǎng)中各單一頻率對(duì)應(yīng)的相干結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)信息，捕獲主頻下流場(chǎng)相干結(jié)構(gòu)的形狀及發(fā)生位置.低頻、低增長/衰減率、對(duì)應(yīng)的大尺度相干結(jié)構(gòu)具有較大能量，對(duì)流場(chǎng)起決定作用，而高頻，高增長/衰減率、小尺度相干結(jié)構(gòu)模態(tài)具有較小能量，對(duì)整個(gè)流場(chǎng)影響很小.

2) DMD方法可以準(zhǔn)確重構(gòu)流場(chǎng)，非線性變化和周期性變化重構(gòu)流場(chǎng)的誤差均小于10-10，與所選數(shù)據(jù)樣本無關(guān)；預(yù)測(cè)流場(chǎng)的誤差相比重構(gòu)流場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)階躍增長，但非線性流場(chǎng)在樣本時(shí)間內(nèi)，預(yù)測(cè)誤差小于10-3，預(yù)測(cè)流場(chǎng)能夠表現(xiàn)出原流場(chǎng)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)；超出樣本時(shí)間，預(yù)測(cè)流場(chǎng)誤差急劇增長，且無法實(shí)現(xiàn)對(duì)流場(chǎng)的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)；而對(duì)于周期流場(chǎng)的預(yù)測(cè)誤差變化穩(wěn)定在10-4，可實(shí)現(xiàn)任意時(shí)刻流場(chǎng)預(yù)測(cè).