單像素相機(jī)內(nèi)部元素對重構(gòu)矩陣性能的影響

吳小龍 程濤 楊明

摘? 要：單像素相機(jī)測量矩陣易于硬件實(shí)現(xiàn)，但對于單像素相機(jī)測量矩陣內(nèi)部元素的改變對重構(gòu)矩陣性能影響的研究較少.對于該問題，通過改變0-1循環(huán)矩陣中1的位置以及行和列的數(shù)量，對由基于0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣優(yōu)化得到的優(yōu)化矩陣和近似矩陣進(jìn)行分析來判斷重構(gòu)矩陣的性能.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于改變后的0-1循環(huán)矩陣得到的重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣對稀疏度為8～48的信號的重構(gòu)能力要比0-1循環(huán)矩陣中列數(shù)和移位步長都是偶數(shù)時(shí)提升至少15%.該方法使重構(gòu)矩陣的重構(gòu)性能達(dá)到了理想的狀態(tài).

關(guān)鍵詞：單像素相機(jī);內(nèi)部元素;重構(gòu)矩陣;移位步長;重構(gòu)性能

中圖分類號：TP391.41;TB852.1? ? ? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.01.011

0? ? 引言

壓縮感知理論的核心是能夠減少測量點(diǎn)數(shù)并精確或近似精確地恢復(fù)出原始信號[1-3].Rice大學(xué)基于壓縮感知理論提出的單像素相機(jī)系統(tǒng)具有一個(gè)很明顯的優(yōu)勢就是多光譜波段成像，這是基于壓縮感知理論和數(shù)字微鏡器件（digital micromirror decive，DMD）以及光電探測器的硬件特性而來的[4-6].單像素相機(jī)系統(tǒng)是壓縮感知在成像方面的一個(gè)重要應(yīng)用.與傳統(tǒng)的成像系統(tǒng)相比，它通過開發(fā)原始光信號的稀疏特性，在光電探測器檢測到光信號之前，使用特定的矩陣對光信號進(jìn)行調(diào)制，將所測數(shù)據(jù)導(dǎo)入恢復(fù)算法中，并依靠同步控制矩陣來重構(gòu)圖像.它不僅打破了奈奎斯特采樣定理的局限，也打破了傳統(tǒng)的系統(tǒng)只能在局部波段進(jìn)行成像的限制，為現(xiàn)在某些波段陣列傳感器價(jià)格昂貴、難以制備以及存儲成本高等問題提供了解決方案.

對于稀疏信號，不用再進(jìn)行稀疏變換，可以通過行正交和列單位化對測量矩陣進(jìn)行優(yōu)化，盡管重建效果比較好，但是無法確定優(yōu)化后測量矩陣的性質(zhì)，因此，仍然存在硬件難以實(shí)現(xiàn)的問題.參考文獻(xiàn)[7]提出了一種用于稀疏信號的測量矩陣的優(yōu)化算法，該算法在測量階段使用預(yù)先確定的測量矩陣來實(shí)現(xiàn)測量數(shù)據(jù)收集，在重建階段中使用優(yōu)化后的矩陣來重建信號，取得了良好的效果.對于可壓縮信號，將信號作稀疏變換后，可以近似地將其當(dāng)作稀疏信號.

上述研究更多是側(cè)重于測量矩陣與稀疏變換基之間的關(guān)聯(lián)，對測量矩陣本身的研究較少.本文通過改變0-1稀疏循環(huán)矩陣（簡稱0-1循環(huán)矩陣）中1的移位步長以及行和列的數(shù)量對重構(gòu)矩陣以及由重構(gòu)矩陣優(yōu)化得到的優(yōu)化矩陣和近似矩陣的性能進(jìn)行分析，從而使重構(gòu)矩陣的性能達(dá)到理想的狀態(tài).

1? ? 壓縮感知理論與單像素相機(jī)

由文獻(xiàn)[8-10]可知，壓縮感知中，可壓縮信號模型如下：

其中：[x=ΨTα，? ΦR=ΦΨT].[y]是測量信號，[y∈RM];[Φ]是測量矩陣，[Φ∈RM×N]，[Ψ]是稀疏變換基，[Ψ∈RN×N];[x]是可壓縮信號，[x∈RN];[α]為[x]的稀疏變換域系數(shù)，[α∈RN];[ΦR]為重構(gòu)矩陣.壓縮感知的核心過程為數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)重構(gòu).在測量階段，通過測量矩陣[Φ]采集到測量數(shù)據(jù)[y];在重構(gòu)階段，通過式（1）解算得到變換域系數(shù)[α]，從而求得信號[x].

圖1為單像素相機(jī)的實(shí)物圖，如圖所示，光束打到物體上，經(jīng)過透鏡1的光匯集到DMD上，DMD將光經(jīng)過透鏡2打到單點(diǎn)探測器上，探測器將同步信號的電壓值輸入采集卡，再通過電腦進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.單像素相機(jī)的核心是DMD，在DMD上，每個(gè)“1”狀態(tài)的微鏡表示光束可以經(jīng)過透鏡打到探測器上，每個(gè)“0”狀態(tài)的微鏡表示光束不能打到探測器上.DMD按照設(shè)定好的序列進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，通過DMD上所有“1”狀態(tài)的微鏡的疊加得到的是一個(gè)觀測值，DMD翻轉(zhuǎn)a次就可以得到a個(gè)觀測值.每個(gè)測量值相當(dāng)于壓縮感知中的測量矩陣[Φ]的一行與信號[x]的內(nèi)積.當(dāng)前DMD已經(jīng)達(dá)到百萬級的像素，可用波長范圍覆蓋350 nm紫外到? ? 2 500 nm近紅外波段.

2? ?基于不同移位步長的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣優(yōu)化前后的性能分析

DMD可以設(shè)定不同的序列，相應(yīng)測量矩陣設(shè)定也不一樣.測量矩陣大致可以分為3類：隨機(jī)矩陣[11]、部分正交矩陣[12]、確定型矩陣[13].其中確定型矩陣易于硬件實(shí)現(xiàn)，即確定型矩陣中循環(huán)矩陣又是最容易硬件實(shí)現(xiàn)的，所以采用0-1循環(huán)矩陣當(dāng)作測量矩陣.通過文獻(xiàn)[7]的測量矩陣優(yōu)化算法，得到的優(yōu)化和近似矩陣都具有更好的性能，可以很好地重構(gòu)稀疏信號.因此，在文獻(xiàn)[7]的測量矩陣優(yōu)化算法中加入離散余弦變換（discrete cosine transform，DCT）矩陣（稀疏變換基），即可變成適用于可壓縮信號的重構(gòu)矩陣（即：測量矩陣與稀疏變換基相乘后得到的矩陣）優(yōu)化算法：對測量矩陣[Φ]和稀疏變換基[Ψ]相乘后得到的重構(gòu)矩陣[ΦR]做行正交規(guī)范化和列單位化運(yùn)算n次（即：n次迭代，一般? ?n=100）后得到優(yōu)化矩陣[ΦO];然后，通過[T]=[ΦOΦTR（ΦRΦTR）-1]求得過渡矩陣[T];最后，通過[T]求得近似矩陣[ΦT]=[TΦR].

0-1循環(huán)矩陣中初始行為若干個(gè)隨機(jī)分布的1，其余元素為0，每一行由前一行元素向右移位一定的步長得到.設(shè)置測量矩陣為128×256維，當(dāng)首行放置32個(gè)隨機(jī)分布的1時(shí)，經(jīng)過不同的移位步長得到的基于0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣會有不同性質(zhì).經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)移位步長為偶數(shù)時(shí)，重構(gòu)矩陣的列最大相關(guān)系數(shù)均大于0.999 0;當(dāng)移位步長為奇數(shù)時(shí)，重構(gòu)矩陣的列最大相關(guān)系數(shù)會發(fā)生改變，移位步長取5時(shí)，重構(gòu)矩陣的列最大相關(guān)系數(shù)較小，為0.879 4.

本文主要研究基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣和基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣及其優(yōu)化和近似矩陣，共計(jì)6類，分別簡稱為：移位為2的重構(gòu)矩陣、移位為2的優(yōu)化矩陣、移位為2的近似矩陣、移位為5的重構(gòu)矩陣、移位為5的優(yōu)化矩陣、移位為5的近似矩陣.

表1為不同行列數(shù)的測量矩陣分別采用移位為2的0-1循環(huán)矩陣和移位為5的0-1循環(huán)矩陣，稀疏變換基采用DCT矩陣，n=100時(shí)，相應(yīng)重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣的列相關(guān)系數(shù)絕對值的最大值[μcmax].

根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，經(jīng)過行向量正交規(guī)范化和列向量單位化的優(yōu)化矩陣和近似矩陣的性質(zhì)與高斯矩陣相近，具備高斯矩陣[14-16]對各類稀疏信號的普適性.本文以此為依據(jù)，通過圖2—圖5分析基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣和移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣在迭代優(yōu)化過程中各自優(yōu)化矩陣和近似矩陣性質(zhì)的變化，圖2—圖5中測量矩陣均為128×256維，首行均放置32個(gè)隨機(jī)分布的1.

（a） 優(yōu)化矩陣

（b） 近似矩陣

圖2中的參考線是縱坐標(biāo)為[2]的水平線，由圖2（a）可以得知，基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化算法的迭代后，得到的優(yōu)化矩陣行模的最大值在第30次迭代后收斂于參考線，最小值也在第30次迭代后收斂于參考線;基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化后得到的優(yōu)化矩陣行模的最大值和最小值同樣在第30次迭代后收斂于參考線.由圖2（b）可知，基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣優(yōu)化后得到的近似矩陣行模的最大值在第20次迭代后收斂于參考線，最小值在第90次迭代后收斂于1;基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化后得到的近似矩陣行模的最大值在第70次迭代后收斂于1.397 6，接近于參考線，最小值在第40次迭代后收斂于1.031 6.

（a） 優(yōu)化矩陣

（b） 近似矩陣

由圖3（a）可知，基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化算法迭代后，得到的優(yōu)化矩陣行相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值在第10次迭代后收斂于0，列相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值在第2次迭代后收斂于0.999 4;基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化得到的優(yōu)化矩陣行相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值在第10次迭代后收斂于0，列相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值在第30次迭代后收斂于0.858 9.由圖3（b）可知，基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化后，得到的近似矩陣行相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值在第60次迭代后收斂于0.209 3，列相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值在第2次迭代后收斂于0.999 3;基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化后，得到的近似矩陣的行相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值在第80次迭代后收斂于0.120 7，列相關(guān)系數(shù)絕對值最大值在第10次迭代后收斂? ? ? ? ? ?于0.841 1.

由圖4（a）可知，基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化算法后，得到的優(yōu)化矩陣服從高斯分布的行由55迅速收斂于0，服從高斯分布的列由106迅速收斂于0;基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化得到的優(yōu)化矩陣服從高斯分布的行由52次在第30次迭代后收斂于0，服從高斯分布的列由96在第30次迭代后收斂于0.由圖4（b）可知，基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化得到的近似矩陣服從高斯分布的行由55迅速收斂于0，服從高斯分布的列由106迅速收斂于0;基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化得到的近似矩陣服從高斯分布的行由52在第30次迭代后收斂于0，服從高斯分布的列由96在第30次迭代后收斂于0.

由圖5可知，基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣經(jīng)過優(yōu)化后得到的近似矩陣列模的最大值在第5次迭代后收斂于1.207 0，最小值在第5次迭代后收斂于0.070 3;基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣經(jīng)過優(yōu)化得到近似矩陣列模的最大值在第5次迭代后收斂于1.2，最小值在第5次迭代后收斂于0.096 9.

通過分析圖2—圖5可知，隨著0-1循環(huán)矩陣移位的改變，其重構(gòu)矩陣優(yōu)化過程中優(yōu)化矩陣和近似矩陣各參數(shù)最大的改變在于列相關(guān)系數(shù)的變化.基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣，其重構(gòu)矩陣以及優(yōu)化后得到的優(yōu)化矩陣和近似矩陣列不相關(guān)性好于基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣.

3? ? 基于不同移位步長與維數(shù)的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣?yán)碚摲治?/p>

通過表1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0-1循環(huán)矩陣的移位步長為偶數(shù)2時(shí)，矩陣行數(shù)不變，列數(shù)由偶數(shù)256變?yōu)槠鏀?shù)255后，基于移位為2的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣、近似矩陣的列最大相關(guān)系數(shù)均減小至0.9以下;矩陣列數(shù)不變，行數(shù)由128變?yōu)?27后，3種矩陣的列最大相關(guān)系數(shù)改變不大.當(dāng)0-1循環(huán)矩陣的移位步長為奇數(shù)5時(shí)，矩陣的行數(shù)不變，列數(shù)由256變?yōu)?55后，3種矩陣的列最大相關(guān)系數(shù)均變?yōu)?;矩陣列數(shù)不變，行數(shù)由128變?yōu)?27后，3種矩陣列最大相關(guān)系數(shù)變化不大.

由上述分析可知，0-1循環(huán)矩陣的列數(shù)與移位要滿足不能同時(shí)為偶數(shù)或不能同時(shí)為奇數(shù)，此時(shí)重構(gòu)矩陣的列不相關(guān)性可以達(dá)到較為理想的狀態(tài)，移位步長與0-1循環(huán)矩陣的行數(shù)無關(guān).進(jìn)一步分析可知，如果0-1循環(huán)矩陣的列數(shù)與移位均同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù)，此時(shí)矩陣中的所有元素經(jīng)過移位后均可以多次回到該列，導(dǎo)致0-1循環(huán)矩陣中列和列之間的相似度很大，因此，基于0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣各列就會非常相似，失去了隨機(jī)性，即使對重構(gòu)矩陣做優(yōu)化也不能提高其隨機(jī)性，導(dǎo)致各列依然高度相關(guān).

4? ? 基于不同移位步長的0-1循環(huán)矩陣的信號重構(gòu)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證循環(huán)重構(gòu)矩陣及其優(yōu)化和近似矩陣的性能，分別用移位為2的0-1循環(huán)重構(gòu)矩陣和移位為5的0-1循環(huán)重構(gòu)矩陣及其優(yōu)化和近似矩陣對高斯稀疏信號采用正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit，OMP）算法[17-18]重構(gòu).OMP算法是一種經(jīng)典的重構(gòu)算法，其核心是依次對每一列元素進(jìn)行重構(gòu).矩陣維數(shù)均為128×256，首行均放置32個(gè)隨機(jī)分布的1，對每個(gè)稀疏度的信號重復(fù)試驗(yàn)500次，準(zhǔn)確計(jì)算重構(gòu)概率，如圖6所示，該實(shí)驗(yàn)運(yùn)用的軟件為MatlabR2014b.

由圖6可見，當(dāng)測量矩陣為移位為5的0-1循環(huán)矩陣時(shí)，由其得到的重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣的信號重構(gòu)概率明顯好于基于移位為2的? ?0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣的信號重構(gòu)概率.稀疏度為8～48時(shí)，移位為5的重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣的信號重構(gòu)概率比移位為2的重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣的信號重構(gòu)概率均提升至少15%;當(dāng)信號稀疏度為24時(shí)，3種矩陣的信號重構(gòu)概率均提升了50%以上;當(dāng)信號稀疏度小于16時(shí)，基于移位為5的0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣的信號重構(gòu)概率均接近于1.

5? ? 結(jié)論

單像素相機(jī)中DMD的設(shè)計(jì)直接關(guān)系到重構(gòu)矩陣以及由重構(gòu)矩陣優(yōu)化得到的優(yōu)化矩陣和近似矩陣的性能，以及DMD編程和機(jī)械實(shí)現(xiàn)的難易.0-1循環(huán)矩陣作為易于硬件實(shí)現(xiàn)的測量矩陣，其內(nèi)部元素的設(shè)計(jì)非常重要，0-1循環(huán)矩陣的列數(shù)與移位步長要滿足不能同時(shí)為偶數(shù)或不能同時(shí)為奇數(shù)的要求，此時(shí)重構(gòu)矩陣的列不相關(guān)性可以達(dá)到較為理想的狀態(tài)，移位步長與0-1循環(huán)矩陣的行數(shù)無關(guān)，按照該思路設(shè)計(jì)的測量矩陣可以大大增強(qiáng)重構(gòu)矩陣以及優(yōu)化矩陣和近似矩陣對信號的重構(gòu)能力，這為單像素相機(jī)中DMD的設(shè)計(jì)提供了重要的參考.

參考文獻(xiàn)

[1] CANDES E J，PLAN Y. A probabilistic and RIPless theory of compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2011，57（11）：7235-7254.

[2] CANDES E J，TAO T. Decoding by linear programming[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2005，51（12）：4203-4215.

[3] 勞興松，李思敏，唐智靈. 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的貝葉斯匹配追蹤信道估計(jì)算法[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，28（2）：8-16.

[4] KODAMA M，HARUYAMA S. Visible light communication using two different polarized DMD projectors for seamless location services[C]//Proceedings of the Fifth International Conference on Network，Communication and Computing，Kyoto，Japan，December 2016. Association for Computing Machinery，2016：272-276.

[5] VASILEIOS N，ZHAO S. Stronger L2/L2 compressed sensing;without iterating[C]// Proceedings of the 51st Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing，Phoenix，AZ，USA，June 2019. Association for Computing Machinery，2019： 289-297.

[6] 杜寶. 基于壓縮感知的平面近場聲全息理論與實(shí)驗(yàn)研究[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2017.

[7] 程濤，朱國賓，劉玉安. 基于0-1稀疏循環(huán)矩陣的測量矩陣分離研究[J].光學(xué)學(xué)報(bào)，2013，33（2）： 172-177.

[8] AHARON M，ELAD M. Sparse and redundant modeling of image content using an image-signature-dictionary[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2008，1（3）：228-247.

[9] BRUCKSTEIN A M，DONOHO D L，ELAD M. From sparse solutions of systems of equations to sparse modeling of signals and images[J].SIAM Review，2009，51（1）：34-81.

[10] 李春貴，陶佳偉，周愛霞. 基于鄰域能量的壓縮感知醫(yī)學(xué)圖像融合研究[J]. 廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，27（4）：15-20.

[11] UDDIN M N，ALVI S T，HOSSEN R，et al. Development of an effective cryptographic algorithm using random matrix shared key[C]//Proceedings of the 2019 3rd International Conference on Computer Science and Artificial Intelligence，Normal，USA，2019. Association for Computing Machinery，2019： 33-37.

[12] ZHANG W E，TAN M K，SHENG Q Z，et al. Efficient orthogonal non-negative matrix factorization over stiefel manifold[C]//Proceedings of the 25th ACM International on Conference on Information and Knowledge Management，Indianapolis，Indiana，USA，2016. Association for Computing Machinery，2016：1743-1752.

[13] GOLDREICH O，TAL A.Matrix rigidity of random toeplitz matrices[C]//Proceedings of the Forty-eighth Annual ACM Symposium on Theory of Computing，Cambridge，MA，USA，June 2016. Association for Computing Machinery，2016： 91-104.

[14] NEYKOV M，LIU J S，CAI T X. L1-regularized least squares for support recovery of high dimensional single index models with Gaussian designs[J]. Journal of Machine Learning Research，2016，17（1）：2976-3012.

[15] PAINSKY A，TISHBY N. Gaussian lower bound for the information bottleneck limit[J]. Journal of Machine Learning Research，2017，18（1）： 7908-7936.

[16] SUGIURA R，KAMAMOTO Y，HARADA N，et al. Optimal coding of generalized-Gaussian-distributed frequency spectra for low-delay audio coder with powered all-pole spectrum estimation[J].IEEE/ACM Transactions on Audio，Speech and Language Processing，2015，23（8）：1309-1321.

[17] NAKACHI T，KIYA H. Practical secure OMP computation and its application to image modeling [C]//Proceedings of the 2018 International Conference on Information Hiding and Image Processing，Manchester，United Kingdom，2018. Association for Computing Machinery，2018： 25-29.

[18] TROPP J A，GILBERT A C. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2007，53（12）： 4655-4666.