卷積型非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)系列響應(yīng)求解的虛擬激勵(lì)法

李創(chuàng)第 賀王濤 葛新廣

摘? 要：針對(duì)卷積型非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)激勵(lì)下的隨機(jī)地震系列響應(yīng)功率譜，提出了顯式表達(dá)式.非粘滯阻尼模型其核函數(shù)卷積形式多采用指數(shù)型核函數(shù)，將其精確轉(zhuǎn)化為微分型本構(gòu)關(guān)系，便于與結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行解耦分析.首先重構(gòu)非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)方程，運(yùn)用復(fù)模態(tài)法對(duì)體系進(jìn)行解耦，獲得結(jié)構(gòu)廣義坐標(biāo)表示的一階狀態(tài)方程;然后，利用虛擬激勵(lì)法，獲得了結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)（各層相對(duì)于地面位移及層間位移）功率譜的統(tǒng)一顯式表達(dá)式;最后，通過(guò)多自由度算例驗(yàn)證了本文方法的正確性與簡(jiǎn)潔性，為大型復(fù)雜的實(shí)際工程響應(yīng)分析提供了新的路徑.

關(guān)鍵詞：非粘滯阻尼;隨機(jī)激勵(lì);復(fù)模態(tài)法;虛擬激勵(lì)法;顯式表達(dá)式

中圖分類(lèi)號(hào)：TU318? ? ? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.01.012

0? ? 引言

阻尼是用來(lái)描述結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過(guò)程中能量耗散的關(guān)鍵參數(shù)，阻尼作用機(jī)理較為復(fù)雜，因此，眾多阻尼模型先后被提出[1-2].其中粘滯阻尼模型認(rèn)為阻尼力與速度成正比，模型簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛，但實(shí)際上結(jié)構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)總是存在滯后現(xiàn)象，粘滯阻尼模型不能有效模擬滯后現(xiàn)象.Biot[3]首先提出考慮滯后效應(yīng)的阻尼模型，該模型中阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的時(shí)間歷程相關(guān)，在數(shù)學(xué)形式上用質(zhì)點(diǎn)速度同某一確定性核函數(shù)的卷積形式，并通過(guò)核函數(shù)形式的不同能描述不同機(jī)制的阻尼作用，與粘滯阻尼模型相比更具有一般性，故稱(chēng)之為非粘滯阻尼模型.段忠東等[4]利用拉普拉斯變換對(duì)非粘滯阻尼模型阻尼系數(shù)識(shí)別進(jìn)行研究，研究表明非粘滯阻尼模型在描述結(jié)構(gòu)耗能方面更具有一般性.Liu[5-6]對(duì)時(shí)程激勵(lì)下非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析進(jìn)行了研究，指出非粘滯阻尼特征是許多工程結(jié)構(gòu)地震耗能的主要形式.然而，非粘滯阻尼耗能結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析的文獻(xiàn)較少，且僅限于時(shí)程激勵(lì)下的分析.而大量的地震動(dòng)觀測(cè)資料研究表明，地震動(dòng)具有顯著的隨機(jī)性，且影響因素很多，為此，工程界提出了多種隨機(jī)地震動(dòng)模型，Kanai-Tajimi地震動(dòng)激勵(lì)模型、胡聿賢地震動(dòng)激勵(lì)模型、歐進(jìn)萍地震動(dòng)激勵(lì)模型、杜修力地震動(dòng)激勵(lì)模型等.其中Kanai-Tajimi地震動(dòng)激勵(lì)模型[7-8]由日本學(xué)者提出，而其他地震動(dòng)激勵(lì)模型均是在該模型的基礎(chǔ)上做出修正而來(lái)，因此，基于Kanai-Tajimi譜的非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的分析研究具有工程應(yīng)用及理論價(jià)值.

研究結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)[9]的方法主要有頻率響應(yīng)法和脈沖響應(yīng)法.兩種方法各有特點(diǎn).復(fù)模態(tài)法[10-11]是時(shí)域法的典型代表方法.然而，目前時(shí)域法基于Kainai-Tajimi的地震動(dòng)響應(yīng)分析所得結(jié)果均較為復(fù)雜[12-14].虛擬激勵(lì)法[12-15]和傳遞函數(shù)法[16]則是頻域法的典型代表，特別是虛擬激勵(lì)法，極大地提高了計(jì)算效率.李創(chuàng)第等[12-13]采用虛擬激勵(lì)法，將非平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)化為確定性荷載，利用擴(kuò)階法得到系統(tǒng)狀態(tài)方程;給出了系統(tǒng)響應(yīng)的精細(xì)積分解析解.王偉東等[14]利用高效的虛擬激勵(lì)法和精細(xì)積分算法分析非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的移動(dòng)手臂動(dòng)態(tài)響應(yīng)的算法.以上都是虛擬激勵(lì)法與精細(xì)積分法相結(jié)合進(jìn)行響應(yīng)分析，所得結(jié)果較為復(fù)雜.目前虛擬激勵(lì)法將隨機(jī)激勵(lì)化為確定性荷載，對(duì)于多自由度結(jié)構(gòu)在分析功率譜時(shí)采用矩陣運(yùn)算，具體結(jié)構(gòu)響應(yīng)表達(dá)式不明確，研究基于虛擬激勵(lì)法的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的顯式表達(dá)式對(duì)于進(jìn)一步提高分析效率具有重要意義.

本文就卷積型非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)系列響應(yīng)（各層相對(duì)于地面位移及層間位移）的顯式表達(dá)式進(jìn)行了研究，首先獲得了多自由度結(jié)構(gòu)非粘滯阻尼的等效微分本構(gòu)關(guān)系;其次重構(gòu)了非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)方程，運(yùn)用復(fù)模態(tài)法對(duì)其解耦，獲得結(jié)構(gòu)體系廣義坐標(biāo)的一階微分方程組.然后利用虛擬激勵(lì)法獲得了結(jié)構(gòu)響應(yīng)頻域的顯式表達(dá)式，并給出了結(jié)構(gòu)各層相對(duì)于地面位移及層間位移功率譜的統(tǒng)一簡(jiǎn)明顯式表達(dá)式.通過(guò)右特征向量矩陣[U]的不同行的響應(yīng)模態(tài)[ui]或[ui-ui-1]來(lái)獲得某一層或者某一層間位移（層間速度）的功率譜.避免了矩陣之間的運(yùn)算，提高了分析效率.

1? ?非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)地震動(dòng)方程重構(gòu)

如圖1所示，該結(jié)構(gòu)為[m]層的線性結(jié)構(gòu)，? ? ?式（1）為結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)微分學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程：

5? ? 算例

建立在7度區(qū)二類(lèi)場(chǎng)地上的3層框架結(jié)構(gòu)，框架結(jié)構(gòu)層質(zhì)量分別為：第1、2層結(jié)構(gòu)質(zhì)量均為[m=5×105 kg]，第3層結(jié)構(gòu)質(zhì)量[m=3×105 kg].各層的結(jié)構(gòu)剛度分別為：第1、2層結(jié)構(gòu)剛度均為[k=2×109 N/m]，第3層結(jié)構(gòu)剛度[k=8×108 N/m].各層阻尼[c=2×106 N·s/m];本文非粘滯阻尼核函數(shù)[Gt]采用雙指數(shù)形式（兩分支） [Gt=α1e-α1t+α2e-α2t]，[α1=125 s-1]，[α2=255 s-1].地震動(dòng)激勵(lì)采用Kanai-Tajimi譜，其參數(shù)取值：場(chǎng)地阻尼比為[ξg=0.72]，其特征頻率為[ωg=15.71] rad/s，Kanai-Tajimi譜的激勵(lì)功率譜中強(qiáng)度因子[S0=31.76×10-4 m2/s3].

5.1? ?地面位移功率譜對(duì)比分析

傳統(tǒng)方法中，非粘滯阻尼多自由度耗能結(jié)構(gòu)位移功率譜[Sxω]的表達(dá)式為：

由式（20）、式（32）可得本文方法與傳統(tǒng)方法中結(jié)構(gòu)1—3層位移響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)對(duì)比圖，對(duì)比積分區(qū)間范圍[0， 50]，頻率積分間距為2 [rad/s]，兩者完全吻合，說(shuō)明了本文方法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的正確性，如圖2—圖4所示.

5.2? 本文方法與傳統(tǒng)方法結(jié)構(gòu)響應(yīng)及響應(yīng)譜矩計(jì)算對(duì)比

根據(jù)式（21）、式（32）可得;傳統(tǒng)方法下各層結(jié)構(gòu)0—2階響應(yīng)譜矩[βi]的計(jì)算如下：

由式（33）—式（35）可得傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法下結(jié)構(gòu)位移0—2階響應(yīng)譜矩，式（22）—式（24）可得本文方法下結(jié)構(gòu)各層位移0—2階響應(yīng)譜矩，式（25）—式（27）可得本文方法下結(jié)構(gòu)各層間位移0—2階響應(yīng)譜矩.根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩與響應(yīng)方差的關(guān)系，由式（28）、式（29）可得各層結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差，式（30）、式（31）可得結(jié)構(gòu)各層間位移的響應(yīng)方差.虛擬激勵(lì)法采用數(shù)值積分在[[0， ∞）]區(qū)間進(jìn)行積分求解是很難實(shí)現(xiàn)的，根據(jù)功率譜密度函數(shù)可知，隨著頻率的增大功率譜數(shù)值越來(lái)越小，因此，本文算例積分區(qū)間取值范圍為[0， 10 000]，頻率積分間距為0.5 [rad/s]，兩種方法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差及響應(yīng)譜矩結(jié)果如表1、表2所示;各層間位移響應(yīng)方差與層間位移響應(yīng)譜矩如表3所示.

由表1、表2對(duì)比分析可知，通過(guò)改進(jìn)虛擬激勵(lì)法與傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差及0—2階響應(yīng)譜矩的計(jì)算結(jié)果基本相同，更進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的正確性.

基于同一CPU耗時(shí)對(duì)比：結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差及響應(yīng)譜矩的計(jì)算效率對(duì)比，表1本文方法耗時(shí) [t1=0.041 s]，表2傳統(tǒng)方法耗時(shí)[t2=0.295 s]，傳統(tǒng)方法耗時(shí)約為本文方法耗時(shí)的7倍.通過(guò)兩者對(duì)比可知本文方法效率更高.

6? ? 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)虛擬激勵(lì)法下進(jìn)行多自由度非粘滯阻尼耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析時(shí)，響應(yīng)值采用復(fù)雜矩陣運(yùn)算效率低，同時(shí)，不能針對(duì)具體響應(yīng)給出顯式表達(dá)式，不利于工程應(yīng)用的問(wèn)題，提出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)顯式表達(dá)式，獲得如下結(jié)論：

1）非粘滯阻尼模型采用指數(shù)型核函數(shù)時(shí)，利用核函數(shù)的卷積形式表示結(jié)構(gòu)的耗能部分，其具有精確等效的一階微分方程組，便于利用復(fù)模態(tài)方法進(jìn)行動(dòng)力系統(tǒng)的精確解耦分析.

2）運(yùn)用復(fù)模態(tài)法，對(duì)平穩(wěn)激勵(lì)下的重構(gòu)后的卷積型非粘滯阻尼多自由度耗能結(jié)構(gòu)微分型本構(gòu)方程組進(jìn)行解耦，得到廣義坐標(biāo)的一階微分狀態(tài)方程組，然后利用虛擬激勵(lì)法獲得了結(jié)構(gòu)響應(yīng)頻域的顯式表達(dá)式，即將結(jié)構(gòu)的某一響應(yīng)表示成復(fù)振動(dòng)特征值的線性組合，避免了復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，通過(guò)響應(yīng)方差及0—2階響應(yīng)譜矩計(jì)算對(duì)比，本文方法計(jì)算效率更高.

參考文獻(xiàn)

[1]? ? ?段紹偉，向湘林，沈蒲生.復(fù)雜阻尼結(jié)構(gòu)阻尼模型研究[J].振動(dòng)與沖擊，2011，30（2）：73-76.

[2]? ? ?尚守平，甘宜誠(chéng)，蔣林.結(jié)構(gòu)振動(dòng)阻尼理論模型探究及實(shí)驗(yàn)分析[J].地震工程與工程振動(dòng)，2015，35（2）：166-171.

[3]? ? ?BIOT M A. Linear thermodynamics and the mechanics of solids[C]//Proceedings of the Third U.S. National Congress of Applied Mechanics.Brown University，Providence，R.I.，June 11-14 ，1958.

[4]? ? ?段忠東，沈洪宇.非粘滯阻尼系統(tǒng)時(shí)程響應(yīng)分析的精細(xì)積分方法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（5）：638-644.

[5]? ? ?LIU Q M .Explicit computational method of dynamic response for non-viscously damped structure systems[J]. Mechanics Research Communications，2016（71）：48-55.

[6]? ? ?LIU Q M. Computational method of the dynamic response for nonviscously damped structure systems[J]. Journal of Engineering Mechanics，2014，140（11）：04014085.DOI：10.1061/（ASCE）EM.1943-7889.0000806.

[7]? ? ?KANAI K. Semi-empirical formula for the seismic characteristics of the ground[J]. Bulletin of the Earthquake Research Institute，University of Tokyo，1957，35：309-325.

[8]? ? ?TAJIMI H. A statistical method of determining the maximum response of a building structure during an earthquake[C]//Proceeding of Second World Conference on Earth Quake Engineering （WCEE）.Tokyo，Japan，1960.

[9]? ? ?方同.工程隨機(jī)振動(dòng)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1995.

[10]? ?李創(chuàng)第，陳俊忠，黃東梅，等. 多自由度“加層”結(jié)構(gòu)地震作用取值的復(fù)模態(tài)法[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41（4）：201-203.

[11]? ?李創(chuàng)第，丁曉華，陳俊忠，等. 基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)基于Clough-Penzien譜隨機(jī)地震響應(yīng)分析的復(fù)模態(tài)法[J]. 振動(dòng)與沖擊，2006，25（5）：162-165.

[12]? ?李創(chuàng)第，昌明靜，柏大煉，等.六參數(shù)粘彈性阻尼耗能減震系統(tǒng)非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析的精細(xì)積分法[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2019，30（4）：15-22，41.

[13]? ?李創(chuàng)第，王博文，昌明靜.設(shè)置支撐的Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2020，31（1）：50-58.

[14]? ?王偉東，吳冬梅，董為，等.基于虛擬激勵(lì)和精細(xì)積分的移動(dòng)手臂非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下振動(dòng)分析[J].振動(dòng)與沖擊，2013，32（20）：72-75.

[15]? ?林家浩. 隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[16]? ?李創(chuàng)第，丁昊，葛新廣.基于傳遞函數(shù)法的單自由粘彈性減震整體系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，28（3）：16-25，51.