方格紙中暗藏的奧妙

蔣亦璇

在學(xué)完“銳角三角函數(shù)”這一章后，我感受到了發(fā)散思維對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。從那以后，我在解決數(shù)學(xué)問題時開始嘗試從不同的角度去思考，后來發(fā)現(xiàn)這些不同方法的背后往往又有一些相通之處，所以比較這些解法的相同與不同便是我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大樂趣。因為銳角三角函數(shù)本身就是用邊長的比值刻畫了一類相等角的共同點，所以這類角無論在怎樣的直角三角形中都能體現(xiàn)出邊與邊的比值不變這一特性，而這變化中的不變正是我思維發(fā)散的源泉。記得有一類方格紙問題給我留下的印象最為深刻，那道題我嘗試用了兩種不同的方法去解決，至今還記憶猶新。題目是這樣的：

在如圖1 的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D 都在格點處，AB 與CD 相交于點O，則tan∠BOD 的值等于。

當(dāng)我看到這道題的時候，首先對∠BOD 的位置不是很滿意。因為在方格紙中研究問題，我希望圖形的頂點盡可能在格點上，這樣既便于研究，也利于計算。但本題要研究的∠BOD 的頂點并不在格點上，于是我萌生了一個想法，對其中一條線作平移。于是，我將線段CD 平移到C′D′的位置，交AB 于點O′，如圖2 所示，則∠BO′D′=∠BOD。設(shè)每個小正方形的邊長為a，則O′B= 5 a，O′D′=2 2 a，BD′=3a，此時發(fā)現(xiàn)雖然角的頂點在格點上了，但是這個角并不在直角三角形中，依然求不出其三角函數(shù)值。于是我又作BE⊥O′D′于點E，構(gòu)造了一個關(guān)于∠BO′D′的直角三角形，發(fā)現(xiàn)BE 作為一條垂線段可以視為△BO′E 的高，我便用面積法求出了BE 的長，BE=

，最終求得tan∠BOD=tan∠BO′E=

。

我雖然做出了答案，但是感覺步驟略顯繁瑣。于是我又開始了第二次嘗試，能不能通過平移，既讓頂點在格點上，同時∠BOD 又在直角三角形中呢？我連接了AE、EF，如圖3 所示。因為AE∥CD，所以∠FAE= ∠BOD，則AE= 2 a，AF=2 5 a，EF=3 2 a，由于AE2+FE2=AF2，所以△FAE是直角三角形，則tan∠BOD=tan∠FAE=

。

初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有緊迫感的，但對于我來說，快樂更多一些，因為我將解題視為鍛煉思維的試金石，將自己定位于一個研究者，在不同解法的對比與優(yōu)化中實現(xiàn)自己思維能力的提升。就像上題中的方格紙一樣，在不同的格點組合中碰撞出了智慧的火花，看似普通卻奧妙無窮。數(shù)學(xué)之大，永無止境。

教師點評

蔣同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一章后，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)是一門需要研究的學(xué)科，嘗試著在變化中探索不變的規(guī)律，并將這種理念運用到解題中去。她在解決方格紙內(nèi)求一個角的三角函數(shù)值時，抓住了等角的三角函數(shù)值不變這一特征，發(fā)散地對圖形進(jìn)行平移與改造，致力于讓圖形呈現(xiàn)出最理想的狀態(tài)，并在尋求不同的解法中不斷地優(yōu)化與突破，感受到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，展現(xiàn)出了“樂學(xué)”“好學(xué)”的良好精神風(fēng)貌。

（指導(dǎo)教師：周煉）