兩連通氣泡的平衡穩(wěn)定性

盛天爽,余邱昱

(1. 南京大學(xué) 理科實(shí)驗(yàn)班，江蘇 南京 210023；2. 南京大學(xué) 工科試驗(yàn)班，江蘇 南京 210023)

氣泡連通裝置在許多熱學(xué)問題中經(jīng)常出現(xiàn)[1].如圖1所示，在一根三通管的出氣口A和B上涂上肥皂水，當(dāng)向進(jìn)氣口吹氣時(shí)兩個(gè)出氣口處分別會(huì)形成氣泡A和B.在不考慮漏氣情況下，初始形成的兩個(gè)氣泡的大小會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生改變，在一些特定的情況下，兩氣泡可以維持在一個(gè)平衡狀態(tài)，但若有外界擾動(dòng)，兩氣泡可能又會(huì)向另外一個(gè)平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)化.

圖1 氣泡連通裝置示意圖

對(duì)氣泡連通裝置中氣泡平衡穩(wěn)定性的分析往往都是定性的，缺乏定量的計(jì)算.已有的少量文獻(xiàn)[2,3]中給出了一些定量計(jì)算方法，但計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果仍有較大差異.本文在對(duì)氣泡坐標(biāo)加以方便定義的基礎(chǔ)上，采用最小能量法準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)了對(duì)氣泡平衡穩(wěn)定性的定量分析，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量的結(jié)果之間平均誤差極小.

1 連通氣泡平衡穩(wěn)定性數(shù)學(xué)模型

1.1 氣泡連通裝置內(nèi)部的能量分析

氣泡連通裝置是一種三通管結(jié)構(gòu)，下面從4個(gè)方面考慮連通氣泡變化過程中裝置內(nèi)能量的變化情況.1) 由于氣泡內(nèi)氣壓等于氣泡外大氣壓和氣泡表面張力附加壓強(qiáng)之和，而附加壓強(qiáng)遠(yuǎn)小于大氣壓強(qiáng)，因此可以近似設(shè)定連通氣泡變化過程中管內(nèi)氣體壓強(qiáng)不變.2) 考慮到不漏氣情況下三通管內(nèi)氣體分子數(shù)不變，且外界壓強(qiáng)和溫度變化均可忽略，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，此時(shí)氣體體積不發(fā)生變化，即管內(nèi)氣體不對(duì)外做功.3) 若確保氣體沒有從外界吸熱，則根據(jù)熱力學(xué)第一定律，氣體的內(nèi)能不發(fā)生變化.4) 氣泡膜有一定的重力勢能，經(jīng)過推算可以證明其數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)小于表面張力能，故氣泡的重力勢能忽略不計(jì).基于以上4點(diǎn)考慮，可以大膽假設(shè)氣泡連通裝置中能量的變化僅源自于氣泡變大與縮小時(shí)表面張力能的改變，氣體在管內(nèi)的流動(dòng)使得能量可以在兩個(gè)氣泡之間轉(zhuǎn)移.因此，根據(jù)表面張力能方程，對(duì)連通氣泡內(nèi)的能量分析只需考慮兩個(gè)氣泡表面積的變化即可[4].

1.2 連通氣泡平衡穩(wěn)定性的最小能量法分析

為了便于分析，首先定義‘氣泡坐標(biāo)’.假設(shè)三通管管口半徑為r，取管口下方r處為原點(diǎn)，方向垂直向下，建立x軸坐標(biāo)系，如圖2所示.將氣泡頂點(diǎn)處的坐標(biāo)定義為氣泡坐標(biāo)，并明確氣泡坐標(biāo)x>0時(shí)為大于半球狀態(tài)，氣泡坐標(biāo)-r

圖2 大于半球和小于半球氣泡坐標(biāo)示意圖

無論氣泡形狀是大于半球還是小于半球，均可由勾股定理得到用hi和r表示的氣泡半徑Ri，

(1)

則根據(jù)球冠表面積和體積公式可以很容易推導(dǎo)出氣泡的表面積和體積分別為

(2)

(3)

為了不失一般性，假設(shè)左右兩個(gè)氣泡初始等大且氣泡坐標(biāo)為x1，則相應(yīng)的氣泡半徑和氣泡高度記為R1和h1.當(dāng)發(fā)生擾動(dòng)后，連通氣泡形態(tài)發(fā)生變化，記左邊管口的氣泡坐標(biāo)為x2，相應(yīng)的氣泡半徑和氣泡高度為R2和h2；右邊管口的氣泡坐標(biāo)為x3，相應(yīng)的氣泡半徑和氣泡高度為R3和h3；

規(guī)定氣泡坐標(biāo)為0時(shí)氣泡的表面張力能為0.則根據(jù)表面張力能公式，連通氣泡的能量E可由下式給出，其中α為表面張力系數(shù).

(4)

同時(shí)，由于封閉管內(nèi)氣體的體積恒定，因此左右兩個(gè)氣泡的氣泡坐標(biāo)滿足式(5)所示的體積約束條件.

(x2+r)[3r2+(x2+r)2]+(x3+r)[3r2+(x3+r)2]=

2(x1+r)[3r2+(x1+r)2]

(5)

顯然，式(5)是關(guān)于x2和x3的非線性方程.根據(jù)式(1)—(3)，理論上可以用x3表示x2，然后代入能量公式(4)，將能量E表示為參數(shù)x3的函數(shù).再根據(jù)最小能量法的基本原理，首先計(jì)算出能量E的一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，此即為連通氣泡的平衡點(diǎn).進(jìn)而再計(jì)算出在平衡點(diǎn)處能量E的二階導(dǎo)數(shù)，如果E的二階導(dǎo)數(shù)大于零，則為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，如果E的二階導(dǎo)數(shù)小于零，則為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).需要指出的是，利用拉格朗日乘子法，使用式(5)和(4)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)也可以求出該平衡點(diǎn)的坐標(biāo).

1.3 滿足氣泡成形的約束條件

氣泡能夠真實(shí)存在，則要求連通氣泡必須平衡且穩(wěn)定.首先，假設(shè)氣泡膜的厚度各處均勻，且不考慮蒸發(fā)，則氣泡膜厚度隨著氣泡增大而減小，當(dāng)厚度小于極小值時(shí)，氣泡膜就會(huì)破裂.其次，三通管左右出氣口的氣泡坐標(biāo)均不得小于管口坐標(biāo)，否則氣泡就不再存在.根據(jù)這2個(gè)約束條件，可以給出氣泡坐標(biāo)的范圍.

而在實(shí)際情況中，由于三通管管口直徑較小，肥皂液足量，當(dāng)氣泡較小時(shí)，第一個(gè)約束條件總能夠滿足.因此最終的約束條件可以減少為以下兩個(gè)不等式:x2>-r，x3>-r.

2 連通氣泡平衡穩(wěn)定性的數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)

由于計(jì)算量大，因此無法通過解析方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析.本文通過編寫Mathematica程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，繪制出氣泡能量變化曲線圖，進(jìn)而準(zhǔn)確判定連通氣泡的平衡穩(wěn)定性.相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)表明數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好.

2.1 數(shù)值計(jì)算

選定三通管半徑r=3mm，分別給定以下3種典型狀態(tài)的初始?xì)馀葑鴺?biāo)：x1=1.8mm,x1=0mm和x1=-1.8mm.將這3種初始的氣泡坐標(biāo)分別代入能量方程，繪制系統(tǒng)能量E隨管口氣泡坐標(biāo)x3的變化曲線，如圖3所示.

從圖3可以看出，當(dāng)初始?xì)馀葑鴺?biāo)x1=-1.8mm時(shí)，氣泡為小于半球狀態(tài)，能量曲線在初始點(diǎn)處有極小值E=1.86×10-22J，表明初始情況即為連通氣泡的穩(wěn)定平衡點(diǎn).當(dāng)初始?xì)馀葑鴺?biāo)x1=0mm時(shí)，氣泡為等于半球狀態(tài)，這時(shí)能量曲線在初始點(diǎn)附近處處為0，滿足隨遇平衡條件.當(dāng)初始?xì)馀葑鴺?biāo)x1=1.8mm時(shí)，氣泡為大于半球狀態(tài)，此時(shí)能量曲線在初始點(diǎn)處有極大值E=1.5×10-21J，表明氣泡此時(shí)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，稍有微擾就會(huì)偏離平衡點(diǎn). 同時(shí)，在該能量曲線極大值點(diǎn)的左右兩側(cè)，分別存在一個(gè)極小值點(diǎn).左側(cè)為x3=-1.6mm，E=-1.2×10-6J；右側(cè)為x3=3.4mm，E=-1.2×10-6J.通過計(jì)算可知這兩個(gè)極小值點(diǎn)恰好各自對(duì)應(yīng)著一種特殊的穩(wěn)定平衡形態(tài)，即左右兩個(gè)氣泡的形狀合起來恰好為一整球.

圖3 3種典型初始狀態(tài)氣泡能量變化曲線

以上對(duì)3條能量曲線的定量分析結(jié)果與文獻(xiàn)[1]的定性分析結(jié)果完全一致，表明了使用最小能量法分析氣泡連通裝置平衡穩(wěn)定性的有效性.

2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用市售一次性吸管(管口直徑為6mm)和雜貨店中買到的兒童肥皂水(測得室溫下的表面張力系數(shù)為0.036N/m)，制成一個(gè)簡易的氣泡連通實(shí)驗(yàn)裝置，如圖4所示.先在三通管的兩個(gè)下端出氣口涂抹肥皂水，然后從上端進(jìn)氣口口向管內(nèi)鼓氣，直至在下端口獲得兩個(gè)完整的氣泡，最后用夾子夾住上端口.為了提高實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確性，可以用一次性針管將氣泡內(nèi)殘存的少量肥皂液吸走，也可以用針管向兩氣泡內(nèi)充氣或吸氣，對(duì)氣泡形狀進(jìn)行微調(diào)，以滿足實(shí)驗(yàn)要求.利用該簡易裝置，設(shè)置不同的初始?xì)馀葑鴺?biāo)進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)中通過對(duì)氣泡拍攝照片，測量照片上的像素個(gè)數(shù)進(jìn)而換算成長度的方法分別獲得兩個(gè)氣泡的氣泡坐標(biāo).實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)初始?xì)馀菪∮诎肭驎r(shí)，氣泡非常容易破裂，而氣泡等于半球的情況也不易達(dá)到，因此本實(shí)驗(yàn)僅針對(duì)兩個(gè)初始?xì)馀菥鶠榇笥诎肭驙顟B(tài)的情況進(jìn)行擾動(dòng)測量，最終穩(wěn)定時(shí)的測量結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表1所示.

圖4 氣泡連通實(shí)驗(yàn)裝置

表1 氣泡連通裝置穩(wěn)定性分析的測量值與計(jì)算值對(duì)比

實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了4組，其中x1測左和x1測右分別表示初始時(shí)左右兩個(gè)氣泡的坐標(biāo)，通過微調(diào)盡量使兩者接近.將兩個(gè)初始?xì)馀葑鴺?biāo)分別代入式(3)，計(jì)算出兩氣泡體積之和再除以2，得到平均氣泡體積，再利用式(3)解出平均氣泡坐標(biāo).數(shù)值計(jì)算時(shí)取平均氣泡坐標(biāo)為初始?xì)馀葑鴺?biāo)x1.另外，x2測和x3測分別表示系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)測定的左右氣泡坐標(biāo)，x3計(jì)算表示通過數(shù)值計(jì)算得到的右側(cè)氣泡坐標(biāo).從表1可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合良好，相對(duì)誤差優(yōu)于文獻(xiàn)3給出的比對(duì)結(jié)果.

此外，在第3組實(shí)驗(yàn)中，還利用Tracker軟件對(duì)左右兩個(gè)氣泡進(jìn)行了追蹤拍攝，獲得氣泡坐標(biāo)x2與x3的8組數(shù)據(jù).通過表面張力能公式分別計(jì)算出這8種狀態(tài)下連通氣泡內(nèi)的能量，繪制成氣泡能量曲線，與使用最小能量法獲得的數(shù)值計(jì)算結(jié)果相比較，如圖5所示.

圖5可以看出，通過實(shí)驗(yàn)得到的測量值與通過數(shù)值計(jì)算得到的理論值基本吻合.在氣泡坐標(biāo)x3小于3mm時(shí)，實(shí)驗(yàn)測量值與理論值略微產(chǎn)生偏差，且實(shí)驗(yàn)測量值比理論值偏大.分析認(rèn)為這是由于當(dāng)氣泡縮小時(shí)，會(huì)有少量肥皂液聚集在氣泡頂部，從而導(dǎo)致氣泡形狀發(fā)生改變，氣泡不再是完美的球冠，因此造成一定程度的偏差.

圖5 連通氣泡能量曲線的實(shí)驗(yàn)與計(jì)算對(duì)比

3 總結(jié)

1) 對(duì)連通氣泡中的能量變化進(jìn)行分析，判定通常情況下氣泡連通裝置中能量的變化僅源自于氣泡變大與縮小時(shí)表面張力能的改變.2) 定義氣泡坐標(biāo)概念，明確3種典型的氣泡狀態(tài)，并且規(guī)定等于半球狀態(tài)時(shí)氣泡的表面張力能為零.3) 通過對(duì)氣泡表面張力能的分析，利用最小能量法，計(jì)算連通氣泡的穩(wěn)定平衡點(diǎn)和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，從而對(duì)氣泡連通裝置的平衡穩(wěn)定性做出定量分析.4) 通過實(shí)驗(yàn)，對(duì)不同初始大小的氣泡進(jìn)行擾動(dòng)跟蹤，測量得的氣泡最終穩(wěn)定點(diǎn)與數(shù)值計(jì)算得到的理論值吻合度較高，實(shí)驗(yàn)與理論分析所獲得的連通氣泡能量變化曲線也基本吻合，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了使用最小能量法分析氣泡連通裝置平衡穩(wěn)定性的有效性和準(zhǔn)確性.